2-variant: mavzulararo mashq

Bu mavzuda DTM nimani so'raydi

Ushbu 2-variant darsi DTM imtihoniga tayyorgarlik ko'rayotgan abituriyentlar uchun mavzulararo ikkinchi integratsion sinov hisoblanadi.

Imtihon testlarida ko'pincha bitta masalaning o'zida bir nechta mavzu qoidalari birlashtiriladi: masalan, trigonometriyada kvadrat tenglama, stereometriyada planimetriya teoremalari, tengsizliklarda esa oraliqlar chegarasi va maxrajning nolga aylanmasligi.

Ushbu variantda asosiy e'tibor foizlar, qo'shma ish, kasrli tengsizliklar, ehtimollik nazariyasi, trigonometriya, ko'rsatkichli funksiya, hosila va aylanish jismlari (konus) masalalariga qaratilgan.

Vaqt rejasi va imtihon taktikasi

10 ta savoldan iborat ushbu blokni bajarish uchun tavsiya etilgan umumiy vaqt — 25 daqiqa (har bir savolga o'rtacha $2$–$2{,}5$ daqiqa).

Vaqtni to'g'ri boshqarish uchun quyidagi ketma-ketlikka rioya qiling:

1. 1-bosqich (Dastlabki 6–7 daqiqa — Tezkor hisob): 1-savol (ketma-ket foiz o'zgarishi), 2-savol (ish formulasi) va 8-savol (hosilaning geometrik ma'nosi) kabi tez yechiladigan masalalarni birinchi navbatda belgilang.
2. 2-bosqich (10–12 daqiqa — Mantiqiy ketma-ketlik): 3, 4, 5 va 6-savollar (tengsizliklar, ehtimollik, trigonometrik almashtirishlar). Har bir qadamni qog'ozda aniq yozing.
3. 3-bosqich (6–8 daqiqa — Geometriya va hisoblash): 7, 9 va 10-savollar (romb balandligi, integral, konus hajmi). Geometrik shakllarning asosiy chiziqli o'lchamlarini ketma-ket hisoblang.

Mavzular xaritasi va tayyorgarlik jadvali

Agar test davomida xatoga yo'l qo'ysangiz, jadvaldagi mos dars ID si orqali kerakli bo'limni takrorlang:

#	Savol mavzusi	Qiyinlik	Dars ID si
1	Foiz o'zgarishi va nisbat	Oson	dtm-foiz-nisbat-proporsiya
2	Birgalikda ishlash va hovuz	O'rta	dtm-ish-masalalari
3	Kasr-ratsional tengsizlik	O'rta	dtm-tenglama-tengsizlik
4	Klassik ehtimollik va kombinatorika	O'rta	dtm-progressiya-kombinatorika
5	Trigonometrik tenglama va oraliq	O'rta	dtm-trigonometriya
6	Ko'rsatkichli tengsizlik va asos	O'rta	dtm-log-korsatkichli
7	Romb diagonallari va balandligi	O'rta	dtm-planimetriya
8	Funksiya grafigiga urinma	Murakkab	dtm-hosila-integral
9	Trigonometrik ifodadan integral	Murakkab	dtm-hosila-integral
10	Konus o'q kesimi va hajmi	Murakkab	dtm-stereometriya

Asosiy formulalar va usullar

• Ketma-ket foiz o'zgarishi: Narx $p\%$ oshib, so'ng $p\%$ kamaysa, natija doimo $p^2 / 100\%$ ga kamayadi.
• Birgalikda ishlash: Quvurlar birgalikda hovuzni to'ldirganda: $\frac{1}{t} = \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \implies t = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2}$.
• Kasrli tengsizlik: $\frac{f(x)}{g(x)} \le 0$ intervallar usulida yechiladi, bunda $g(x) \neq 0$ sharti qat'iy inobatga olinadi.
• Ehtimollik: $P(A) = \frac{m}{n}$, bu yerda $m$ — qulay hodisalar soni, $n$ — barcha teng imkoniyatli hodisalar soni.
• Ko'rsatkichli tengsizlik: $a^{f(x)} \ge a^{g(x)}$ tengsizlikda $0 < a < 1$ bo'lsa, ishora teskarisiga o'zgaradi: $f(x) \le g(x)$.
• Urinmaning burchak koeffitsiyenti: $k = \text{tg}\,\alpha = y'(x_0)$.
• Konus: Asos yuzi $S_{asos} = \pi R^2$, hajmi $V = \frac{1}{3}\pi R^2 H$.

Yechilgan namunaviy misollar

1-misol. Qisqa ko'paytirish formulalari

Hisoblang: $\dfrac{73^3 + 27^3}{100} - 73 \cdot 27$.

A) $2000$ \quad B) $2116$ \quad C) $2304$ \quad D) $2500$

Qadamma-qadam yechim: Kublar yig'indisi: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$. Bu yerda $a + b = 73 + 27 = 100$: $\frac{100 \cdot (73^2 - 73 \cdot 27 + 27^2)}{100} - 73 \cdot 27 = 73^2 - 2 \cdot 73 \cdot 27 + 27^2 = (73 - 27)^2 = 46^2 = 2116.$

DTM tezkor usuli: $\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a+b} - ab = (a-b)^2$. To'g'ridan-to'g'ri: $(73 - 27)^2 = 46^2 = 2116$.

Javob: B ($2116$).

2-misol. Yoshga doir masala

Otaning yoshi o'g'linikidan 4 marta katta. 6 yildan keyin ota o'g'lidan 3 marta katta bo'ladi. Ota hozir necha yoshda?

A) $36$ \quad B) $40$ \quad C) $48$ \quad D) $52$

Qadamma-qadam yechim: O'g'il $x$, ota $4x$. 6 yildan so'ng: $4x + 6 = 3(x + 6) \implies 4x + 6 = 3x + 18 \implies x = 12.$ Otaning yoshi: $4 \cdot 12 = 48$.

DTM tezkor usuli: Variantdan 48 ni tekshiramiz: o'g'il 12 da. 6 yildan keyin 54 va 18; $54 : 18 = 3$. Mos keladi.

Javob: C ($48$).

3-misol. Modulli tengsizlik

$|2x - 3| \le 5$ tengsizlikning butun yechimlari yig'indisini toping.

A) $6$ \quad B) $9$ \quad C) $12$ \quad D) $15$

Qadamma-qadam yechim: $-5 \le 2x - 3 \le 5 \implies -2 \le 2x \le 8 \implies -1 \le x \le 4.$ Butun yechimlar: $-1, 0, 1, 2, 3, 4$. Yig'indisi: $9$.

DTM tezkor usuli: Oraliq simmetriya markazi: $x_0 = 1{,}5$. Butun sonlar $6$ ta bo'lgani uchun: $6 \cdot 1{,}5 = 9$.

Javob: B ($9$).

4-misol. Teng yonli trapetsiya yuzi

Teng yonli trapetsiyaning asoslari $8\text{ sm}$ va $14\text{ sm}$, yon tomoni $5\text{ sm}$. Trapetsiya yuzini hisoblang.

A) $36\text{ sm}^2$ \quad B) $40\text{ sm}^2$ \quad C) $44\text{ sm}^2$ \quad D) $48\text{ sm}^2$

Qadamma-qadam yechim: Asosdagi proyeksiyasi: $\frac{14 - 8}{2} = 3\text{ sm}$. Balandlik: $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\text{ sm}$. O'rta chiziq: $m = \frac{8 + 14}{2} = 11\text{ sm}$. Yuza: $S = 11 \cdot 4 = 44\text{ sm}^2$.

DTM tezkor usuli: $3-4-5$ to'g'ri burchakli uchburchakdan $h = 4$. Yuza: $\frac{8 + 14}{2} \cdot 4 = 44\text{ sm}^2$.

Javob: C ($44\text{ sm}^2$).

5-misol. Ko'rsatkichli tenglama

$3^{x+2} - 3^x = 72$ tenglamani yeching.

A) $1$ \quad B) $2$ \quad C) $3$ \quad D) $4$

Qadamma-qadam yechim: $3^x(3^2 - 1) = 72 \implies 3^x \cdot 8 = 72 \implies 3^x = 9 \implies x = 2.$

DTM tezkor usuli: $x = 2$ qo'yilganda: $3^4 - 3^2 = 81 - 9 = 72$. Tenglik to'g'ri.

Javob: B ($2$).

Keng tarqalgan tuzoqlar

1. Foizning foizga o'zgarishi:
   • ✗ Xato: Narx $20\%$ oshib, keyin $20\%$ tushsa, natija o'zgarmaydi deb o'ylash.
   • ✓ To'g'ri: Ikkinchi o'zgarish kattaroq yangi summaga nisbatan olinadi, shuning uchun yakuniy narx kamayadi: $1{,}2 \cdot 0{,}8 = 0{,}96$ ($4\%$ ga kamayish).
2. Kasrli tengsizlikda maxraj nolga aylanishi:
   • ✗ Xato: $\frac{f(x)}{x - a} \le 0$ tengsizlikda $x = a$ nuqtani ham yechimlar ichiga qo'shish.
   • ✓ To'g'ri: Tengsizlik noqat'iy ($\le$) bo'lsa ham, maxraj hech qachon nol bo'lishi mumkin emas ($x \neq a$).
3. Asosi birdan kichik ko'rsatkichli tengsizliklar:
   • ✗ Xato: $\left(\frac{1}{2}\right)^{f(x)} \ge \left(\frac{1}{2}\right)^{g(x)}$ tengsizlikda daraja ishorasini o'zgartirmasdan qoldirish.
   • ✓ To'g'ri: Asos $0 < a < 1$ bo'lganda, darajalarga o'tishda tengsizlik ishorasi teskarisiga o'zgaradi ($f(x) \le g(x)$).
4. Trigonometrik tenglamalarda chet ildizlar:
   • ✗ Xato: $\cos x = 2$ tenglamadan ham ildiz qidirish.
   • ✓ To'g'ri: Sinus va kosinus qiymatlari qat'iy $[-1; 1]$ oraliqda bo'ladi; $|t| > 1$ ildiz bermaydi.

O'zini tekshirish va tahlil qilish tartibi

Ushbu variantning yuqorisidagi 10 ta test savolini to'liq ishlab bo'lgach, natijangizni baholang:

• 9–10 ta to'g'ri: A'lo daraja. Siz imtihon formatiga to'liq tayyorsiz.
• 7–8 ta to'g'ri: Yaxshi natija. Xato qilgan savollaringiz bo'yicha jadvaldagi darslarga qayting va formulalarni mustahkamlang.
• 6 ta va undan kam: Qoniqarsiz. Asosiy e'tiborni kasrli tengsizliklar, ehtimollik va trigonometriya darslariga qarating.