1-variant: mavzulararo mashq

Bu mavzuda DTM nimani so'raydi

Davlat test markazi (DTM) imtihonlarida matematika savollari boblar bo'yicha emas, balki aralash tushadi.

Variant darsining maqsadi — bilimlarni imtihon sharoitida tez va aniq qo'llashni shakllantirishdir. Abituriyent har bir savolda kerakli formulani zudlik bilan eslab, hisoblashni ixcham bajarishi lozim.

Ushbu 10 ta savolli blok DTM modelini aks ettiradi: dastlabki savollar tezkor hisobga, o'rta qism tenglama va funksiyalarga, yakuniy qism esa stereometriya, hosila va integralga qaratilgan.

Vaqt rejasi va imtihon taktikasi

DTM imtihonida har bir savolga o'rtacha $2$–$2{,}5$ daqiqa ajratiladi. Ushbu 10 ta savolli variant uchun tavsiya etilgan vaqt — 25 daqiqa.

Tavsiya etiladigan 3 bosqichli strategiya:

1. 1-bosqich (Dastlabki 6–7 daqiqa — Oson ballar): 1, 2 va 7-savollar kabi qisqa hisoblanadigan masalalarni birinchi navbatda ishlang.
2. 2-bosqich (10–12 daqiqa — Standart hisob-kitob): 3, 4, 5 va 6-savollar (tenglamalar, progressiya, trigonometriya). Aniqlanish sohasiga diqqat qiling.
3. 3-bosqich (6–8 daqiqa — Murakkab savollar va tahlil): 8, 9 va 10-savollar (hosila, integral, stereometriya). Kerak bo'lsa variantlarni baholash usulidan foydalaning.

Mavzular xaritasi va tayyorgarlik jadvali

Agar biror savolda xatoga yo'l qo'ysangiz, quyidagi jadval orqali tegishli mavzu darsiga o'tib, bo'shliqlarni to'ldiring:

#	Savol mavzusi	Qiyinlik	Dars ID si
1	Oddiy va o'nli kasrlar ustida amallar	Oson	dtm-sonlar-amallar
2	Poyezdlar harakati va nisbiy tezlik	O'rta	dtm-harakat-masalalari
3	Modulli tenglama va nomanfiylik sharti	O'rta	dtm-modulli-irratsional
4	Arifmetik progressiya hadlari va yig'indisi	O'rta	dtm-progressiya-kombinatorika
5	Burchaklarni qo'shish formulalari	O'rta	dtm-trigonometriya
6	Logarifmik tenglama va Viyet teoremasi	O'rta	dtm-log-korsatkichli
7	To'g'ri burchakli uchburchakka ichki aylana	O'rta	dtm-planimetriya
8	Kesmada funksiyaning eng katta qiymati	Murakkab	dtm-hosila-integral
9	Egri chiziqli trapetsiya yuzi	Murakkab	dtm-hosila-integral
10	Muntazam piramida apofemasi va to'la sirti	Murakkab	dtm-stereometriya

Asosiy formulalar va usullar

• Harakat: Qarama-qarshi yo'nalishda tezliklar qo'shiladi: $v_y = v_1 + v_2$, uchrashuv vaqti $t = \frac{S}{v_1 + v_2}$.
• Modulli tenglama: $|f(x)| = g(x) \iff g(x) \ge 0$ va $[f(x) = g(x) \text{ yoki } f(x) = -g(x)]$.
• Arifmetik progressiya: $a_3 + a_7 = 2a_5$, $S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)d}{2} \cdot n$.
• Trigonometriya: $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$ va $\cos(\alpha \mp \beta) = \cos\alpha\cos\beta \pm \sin\alpha\sin\beta$.
• Ichki aylana radiusi: To'g'ri burchakli uchburchak uchun $r = \frac{a + b - c}{2}$.
• Kesmada eng katta qiymat: Hosila nollari va kesma uchlaridagi qiymatlar solishtiriladi.
• Muntazam piramida: $S_{tola} = S_{asos} + \frac{1}{2} P_{asos} h_a$, bu yerda $h_a = \sqrt{H^2 + r^2}$.

Yechilgan namunaviy misollar

1-misol. Darajali ifodani ixchamlash

Hisoblang: $\dfrac{2^{12} \cdot 9^4}{6^8 \cdot 4^2}$.

A) $0{,}5$ \quad B) $1$ \quad C) $2$ \quad D) $4$

Qadamma-qadam yechim: Tub asoslarga keltiramiz: $9 = 3^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $4 = 2^2$. $\frac{2^{12} \cdot 3^8}{(2 \cdot 3)^8 \cdot (2^2)^2} = \frac{2^{12} \cdot 3^8}{2^8 \cdot 3^8 \cdot 2^4} = \frac{2^{12} \cdot 3^8}{2^{12} \cdot 3^8} = 1.$

DTM tezkor usuli: Maxrajdagi $6^8$ soni $3^8 \cdot 2^8$ ga teng. Suratdagi $9^4 = 3^8$ bilan $3$ ning darajalari darhol qisqaradi. Qolgan sonlar: $\frac{2^{12}}{2^8 \cdot 16} = \frac{2^{12}}{2^{12}} = 1$.

Javob: B ($1$).

2-misol. Aralashma va konsentratsiya

$20\%$ li $40\text{ litr}$ tuzli eritmaga necha litr toza suv qo'shilsa, konsentratsiya $16\%$ bo'ladi?

A) $8\text{ litr}$ \quad B) $10\text{ litr}$ \quad C) $12\text{ litr}$ \quad D) $15\text{ litr}$

Qadamma-qadam yechim: Eritmadagi tuz miqdori: $m = 40 \cdot 0{,}20 = 8\text{ litr}$. Suv qo'shilganda tuz miqdori o'zgarmaydi. Yangi hajm $V$ bo'lsin: $\frac{8}{V} = 0{,}16 \implies V = \frac{8}{0{,}16} = 50\text{ litr}.$ Qo'shilgan suv: $50 - 40 = 10\text{ litr}$.

DTM tezkor usuli: Tuz o'zgarmasligi sababli: $c_1 V_1 = c_2 V_2 \implies 20 \cdot 40 = 16 \cdot V_2 \implies V_2 = 50\text{ litr}$. Qo'shilgan suv: $50 - 40 = 10\text{ litr}$.

Javob: B ($10\text{ litr}$).

3-misol. Viyet teoremasi tatbiqi

Agar $x_1$ va $x_2$ sonlari $x^2 - 7x + 10 = 0$ tenglama ildizlari bo'lsa, $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$ ni hisoblang.

A) $0{,}7$ \quad B) $1{,}4$ \quad C) $0{,}35$ \quad D) $7$

Qadamma-qadam yechim: Kasrlarni umumiy maxrajga keltiramiz: $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}.$ Viyet teoremasiga ko'ra $x_1 + x_2 = 7$ va $x_1 x_2 = 10$. Nisbat: $\frac{7}{10} = 0{,}7$.

DTM tezkor usuli: Ko'paytmasi $10$, yig'indisi $7$ bo'lgan ildizlar $2$ va $5$: $\frac{1}{2} + \frac{1}{5} = 0{,}5 + 0{,}2 = 0{,}7$.

Javob: A ($0{,}7$).

4-misol. Uchburchak medianasi va yuzi

$ABC$ uchburchakda $AB = 6\text{ sm}$, $BC = 8\text{ sm}$, $\angle B = 30^\circ$. $BM$ medianasi o'tkazilgan bo'lsa, $ABM$ uchburchak yuzini toping.

A) $3\text{ sm}^2$ \quad B) $6\text{ sm}^2$ \quad C) $12\text{ sm}^2$ \quad D) $24\text{ sm}^2$

Qadamma-qadam yechim: Butun uchburchak yuzi: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12\text{ sm}^2.$ Mediana uchburchak yuzini teng ikkiga bo'ladi: $S_{ABM} = \frac{S_{ABC}}{2} = \frac{12}{2} = 6\text{ sm}^2.$

DTM tezkor usuli: Mediana yuzani ikkiga bo'lishidan: $S = \frac{1}{4} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 30^\circ = 6\text{ sm}^2$.

Javob: B ($6\text{ sm}^2$).

5-misol. Trigonometrik yig'indi kvadrati

Agar $\sin\alpha + \cos\alpha = \dfrac{\sqrt{7}}{2}$ bo'lsa, $\sin 2\alpha$ ning qiymatini toping.

A) $0{,}25$ \quad B) $0{,}5$ \quad C) $0{,}75$ \quad D) $1$

Qadamma-qadam yechim: Ikkala tomonni kvadratga oshiramiz: $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \left(\frac{\sqrt{7}}{2}\right)^2 \implies \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha = \frac{7}{4}.$ $1 + \sin 2\alpha = \frac{7}{4} \implies \sin 2\alpha = \frac{7}{4} - 1 = 0{,}75$.

DTM tezkor usuli: Ayniyatdan foydalanamiz: $\sin 2\alpha = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 - 1 = \frac{7}{4} - 1 = 0{,}75$.

Javob: C ($0{,}75$).

Keng tarqalgan tuzoqlar

1. Modul va ildizlarda chet ildizlar:
   • ✗ Xato: $|f(x)| = g(x)$ tenglamani yechib, barcha sonlarni ildiz deb olish.
   • ✓ To'g'ri: $g(x) \ge 0$ shartini tekshirib, qanoatlantirmaganlarini chiqarib tashlang.
2. O'rtacha tezlikda o'rta arifmetik xatosi:
   • ✗ Xato: Borish va qaytish tezliklarining o'rta arifmetigini olish.
   • ✓ To'g'ri: O'rtacha tezlik har doim $v_{\text{o'rt}} = \frac{S_{\text{jami}}}{t_{\text{jami}}}$.
3. Logarifm aniqlanish sohasi:
   • ✗ Xato: $\log_a f(x) + \log_a g(x) = b$ da manfiy ildizlarni ham olish.
   • ✓ To'g'ri: Har bir ifoda qat'iy musbat bo'lishi shart ($f(x) > 0, g(x) > 0$).
4. Fazoviy shakllarda apofema:
   • ✗ Xato: Yon sirt yuzida apofema o'rniga piramida balandligini ishlatish.
   • ✓ To'g'ri: Apofema $h_a = \sqrt{H^2 + r^2}$ orqali topiladi.

O'zini tekshirish va tahlil qilish tartibi

Ushbu darsning yuqori qismidagi 10 ta test savolini ishlab bo'lgach, to'g'ri javoblaringiz sonini sanang:

• 9–10 ta to'g'ri: A'lo daraja. Imtihon tezligi va mavzulararo bog'lanish ko'nikmangiz yuqori. Keyingi 2-variantga o'ting.
• 7–8 ta to'g'ri: Yaxshi natija. Xato qilgan savollaringiz bo'yicha yuqoridagi jadvaldan mavzu darsini topib, tegishli bo'limni takrorlang.
• 6 ta va undan kam: Asosiy mavzularda bo'shliqlar bor. Jadvaldagi darslarni (ayniqsa tenglamalar va geometriya) qayta o'rganib chiqish lozim.