Chiziqli funksiya va uning grafigi

Bu nima va nega kerak

Quyidagi savollar hayotdan olingan:

• Taksi 5 000 so'm boshlang'ich to'lov + har kilometr uchun 2 000 so'm oladi. 10 km uchun qancha to'laymiz?
• Muzxona har soat 3 gradusga soviydi. 4 soatdan keyin harorat qancha?

Ikkalasi ham bir xil ko'rinishdagi formulaga ega: $y = kx + b$. Bu — chiziqli funksiya. Uni bilsangiz, yuqoridagi kabi masalalarni sekundda yechasiz. Fizikada tezlik-vaqt, iqtisodda narx-miqdor munosabatlari ham chiziqli funksiya.

Asosiy g'oya

Ta'rif. $y = kx + b$ ko'rinishidagi funksiya chiziqli funksiya deyiladi. Bu yerda $k$ va $b$ — real sonlar, $k \neq 0$.

• $k$ — burchak koeffitsienti (grafik qanchalik tik yoki tekis ekanini bildiradi).
• $b$ — bo'sh had (grafik $Oy$ o'qini $y = b$ nuqtada kesadi).

Nima uchun "chiziqli"? Chunki bu funksiyaning grafigi — to'g'ri chiziq.

To'g'ri chiziqni chizish uchun ikkita nuqta yetarli. Odatda:

1. $x = 0$ qo'yib $y$ topiladi → $(0,\; b)$ nuqta.
2. $x = 1$ (yoki qulay boshqa qiymat) qo'yib $y$ topiladi → ikkinchi nuqta.
3. Ikki nuqta tutashtiriladi.

$k$ ning ma'nosi:

• $k > 0$: grafik chapdan o'ngga ko'tariladi.
• $k < 0$: grafik chapdan o'ngga tushadi.
• $|k|$ katta bo'lsa grafik tikroq; kichik bo'lsa yotiqroq.

Yechilgan misollar

1-misol. Grafik chizish: $y = 2x + 1$

Jadval tuzing:

$x$	$0$	$1$	$-1$
$y = 2x+1$	$1$	$3$	$-1$

Nuqtalar: $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(-1, -1)$. Ularni koordinata tekisligida belgilab, to'g'ri chiziq o'tkazing.

Tekshirish: $k = 2 > 0$ — grafik ko'tariladi ✓. $b = 1$ — $Oy$ o'qini $y=1$ da kesadi ✓.

2-misol. Grafikdan tenglamani topish

Grafik $(0, -3)$ va $(2, 1)$ nuqtalardan o'tadi. $y = kx + b$ ni toping.

• $(0, -3)$: $b = -3$.
• $(2, 1)$: $1 = k \cdot 2 + (-3) \Rightarrow 1 = 2k - 3 \Rightarrow 2k = 4 \Rightarrow k = 2$.

Javob: $y = 2x - 3$.

Tekshirish: $(2, 1)$: $y = 2 \cdot 2 - 3 = 1$ ✓.

3-misol. O'q kesma nuqtalarini topish

$y = 3x - 6$ funksiyasi uchun:

$Ox$ bilan kesishish ($y = 0$ da): $0 = 3x - 6 \implies 3x = 6 \implies x = 2.$ Nuqta: $(2, 0)$.

$Oy$ bilan kesishish ($x = 0$ da): $y = 3 \cdot 0 - 6 = -6.$ Nuqta: $(0, -6)$.

Grafik bu ikki nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziq.

4-misol. Ikki chiziqning kesishish nuqtasi

$y = x + 2$ va $y = -2x + 8$ grafiklar qayerda kesishadi?

Kesishishda ikkala funksiya bir xil $y$ beradi: $x + 2 = -2x + 8 \implies 3x = 6 \implies x = 2.$ $y = 2 + 2 = 4$.

Kesishish nuqtasi: $(2, 4)$.

Tekshirish: $y = -2 \cdot 2 + 8 = 4$ ✓.

$k$ va $b$ ning geometrik ma'nosi

$b$ — y-kesma: Grafik $Oy$ o'qini $(0, b)$ nuqtada kesadi. $b > 0$ bo'lsa yuqori yarmi, $b < 0$ bo'lsa pastki yarmi.

$k$ — og'ish: $x$ 1 birlikka ortganda $y$ qancha o'zgarishini bildiradi. Masalan, $k = 3$ — har bir qadam o'ngga 3 birlik yuqoriga; $k = -1$ — har bir qadam o'ngga 1 birlik pastga.

$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

(ikki nuqta berilsa, shunday hisoblanadi).

Mashq

1. $y = x + 3$ funksiyasi uchun jadval tuzing ($x \in \{-2, 0, 2\}$) va grafik chizing.
2. $y = -2x + 4$ funksiyasi grafigi qayerda $Ox$ o'qini kesadi?
3. $y = 3x - 9$ grafigi $Oy$ o'qini qayerda kesadi?
4. $(0, 2)$ va $(3, 8)$ nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini toping.
5. $(1, 5)$ va $(3, 11)$ nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziq tenglamasini toping.
6. $y = 2x - 1$ va $y = -x + 5$ grafiklar qayerda kesishadi?
7. $y = x - 3$ va $y = 2x - 7$ grafiklar kesishish nuqtasini toping.
8. $k$ qanday qiymatda $y = kx + 2$ grafigi $(3, -4)$ nuqtadan o'tadi?
9. Taksi: boshlang'ich 6 000 so'm + har km uchun 1 500 so'm. $y = f(x)$ ni yozing ($x$ — km). 8 km uchun to'lov qancha?
10. $y = -3x + 6$ grafikning qaysi chorakka kirmasligini aniqlang.

Javoblar va yechim yo'llari

$x$	$-2$	$0$	$2$
$y$	$1$	$3$	$5$
Grafik: nuqtalar $(−2,1)$, $(0,3)$, $(2,5)$ — ko'tarilib boruvchi to'g'ri chiziq.

2. $0 = -2x + 4 \Rightarrow x = 2$. Nuqta: $(2, 0)$.

3. $x=0$ da $y = -9$. Nuqta: $(0, -9)$.

4. $b = 2$ (chunki $(0,2)$ berilgan). $(3,8)$: $8 = 3k + 2 \Rightarrow k = 2$. Javob: $y = 2x + 2$.

5. $k = \dfrac{11 - 5}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3$. $b$: $5 = 3 \cdot 1 + b \Rightarrow b = 2$. Javob: $y = 3x + 2$.

6. $2x - 1 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$; $y = 3$. Nuqta: $(2, 3)$.

7. $x - 3 = 2x - 7 \Rightarrow -x = -4 \Rightarrow x = 4$; $y = 1$. Nuqta: $(4, 1)$.

8. $-4 = k \cdot 3 + 2 \Rightarrow 3k = -6 \Rightarrow k = -2$.

9. $y = 1500x + 6000$. 8 km: $y = 12000 + 6000 = 18\,000$ so'm.

10. $k = -3 < 0$, $b = 6 > 0$. Grafik III-chorakka kirmaydi (chunki $k < 0$ va $b > 0$ bo'lsa grafik I, II, IV choraklarda bo'ladi).

Keng tarqalgan xatolar

1. $k$ va $b$ ni aralashtirib yuborish. ✗ $y = 3x + 7$ da $k = 7$, $b = 3$ deb o'ylash. ✓ $y = kx + b$ da $x$ oldidagi son $k$: demak $k = 3$, $b = 7$.

2. Faqat bitta nuqta bilan grafik chizmoqchi bo'lish. ✗ Bitta nuqta aniqlab, tasodifiy to'g'ri chiziq o'tkazish. ✓ Kamida ikki nuqta kerak; uchинчи nuqta tekshirish uchun.

3. $Ox$ bilan kesishishni topishda $x=0$ qo'yish. ✗ $y=2x-6$ da $x=0$ qo'yib $Ox$ bilan kesishishni $y=-6$ deb aytish. ✓ $Ox$ bilan kesishish — $y=0$ qo'yiladi: $0=2x-6 \Rightarrow x=3$. Nuqta $(3,0)$.

4. Qiyalikni hisoblaganda tartibni aralashtirib yuborish. ✗ $k = \dfrac{x_2 - x_1}{y_2 - y_1}$ ✓ $k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — y farqi ustida, x farqi ostida.

5. Ikki chiziq kesishishini topishda bir tenglamani boshqasiga almashtirmaslik. ✗ Ikkala tenglamani alohida-alohida yechish. ✓ Kesishish uchun $y_1 = y_2$ qo'yiladi va $x$ topiladi, keyin shu $x$ orqali $y$ hisoblanadi.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Chiziqli funksiyaning grafigini bilib oldik. Endi ikki chiziqli tenglamalar sistemasini grafik usulda yechishni o'rganamiz — ikki to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasi sistema yechimi bo'lib chiqadi.