Funksiya tushunchasi

Bu nima va nega kerak

Termometr haroratni ko'rsatadi. Dala tomchi soni vaqtga bog'liq. Mashina tezligi — o'tgan yo'lga bog'liq. Bularning barchasida bir kattalik ikkinchisiga bog'liq.

Matematikada bu bog'liqlikka aniq nom berilgan: funksiya. Funksiya — algebraning kaliti. Chiziqli funksiya, kvadrat funksiya, trigonometrik funksiya — hammasi shu bir tushunchadan boshlanadi. DTMda funksiya mavzusidan har doim 3–5 ta savol keladi.

Asosiy g'oya

Tasavvur qiling, do'konda har bir narsa o'z bahosiga ega. Bir kilogramm olma — 8 000 so'm. Ikki kilogramm — 16 000 so'm. Miqdor ($x$) berilsa, narx ($y$) aniq chiqadi: $y = 8000 \cdot x$.

Bu — funksiyaning mohiyati: bitta kirish — bitta chiqish.

Ta'rif. $x$ qiymatlar to'plamidan $y$ qiymatlar to'plamiga shunday qoida bo'lsinki, har bir $x$ ga aynan bitta $y$ mos kelsin. Bunday qoidani $y$ ning $x$ bo'yicha funksiyasi deyiladi va $y = f(x)$ deb yoziladi.

Bu yerda:

• $x$ — argument (mustaqil o'zgaruvchi, kirish),
• $y$ — funksiya qiymati (bog'liq o'zgaruvchi, chiqish),
• $f$ — funksiyani bildiruvchi harf (lot. functio — harakat, vazifa).

Muhim: agar bitta $x$ ga ikki xil $y$ mos kelsa, bu funksiya emas.

Yechilgan misollar

1-misol. Funksiya qiymatini hisoblash

$f(x) = 2x + 5$ bo'lsin. $f(3)$, $f(0)$, $f(-2)$ ni toping.

• $f(3) = 2 \cdot 3 + 5 = 6 + 5 = 11$.
• $f(0) = 2 \cdot 0 + 5 = 0 + 5 = 5$.
• $f(-2) = 2 \cdot (-2) + 5 = -4 + 5 = 1$.

Har safar $x$ o'rniga raqam qo'yildi va hisoblandi.

2-misol. Qiymat jadvalini tuzish

$f(x) = x^2 - 1$ funksiyasi uchun $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ da jadval tuzing.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$x^2 - 1$	$3$	$0$	$-1$	$0$	$3$

Tekshirish: $f(-2) = (-2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$ ✓.

3-misol. Noma'lumni funksiyadan topish

$f(x) = 3x - 7$ va $f(a) = 8$ bo'lsa, $a$ ni toping.

Qoida: $f(a) = 3a - 7$. Bu $8$ ga teng deyilmoqda:

$3a - 7 = 8 \implies 3a = 15 \implies a = 5.$

Tekshirish: $f(5) = 3 \cdot 5 - 7 = 15 - 7 = 8$ ✓.

4-misol. Funksiyami yoki yo'qmi?

Quyidagi qoidalar funksiyami?

a) "Har bir o'quvchiga uning yoshi mos keladi." — Ha, har bir o'quvchining bitta yoshi bor.

b) "Har bir kishiga uning do'stlari mos keladi." — Yo'q, bir kishining bir nechta do'sti bo'lishi mumkin: bitta kirishga bir nechta chiqish mos keladi, bu funksiya talabiga zid.

c) "$y^2 = x$" qoidasi funksiyami? — $x = 4$ da $y = 2$ ham, $y = -2$ ham. Bitta $x$ ga ikki xil $y$ — funksiya emas.

d) "$y = \sqrt{x}$ faqat musbat qiymatlar uchun" — Ha, funksiya: har bir $x \geq 0$ ga bitta $y \geq 0$ mos keladi.

Funksiyaning sohasini tushunish

Funksiya ta'rif qilingan $x$ qiymatlar to'plami — ta'rif sohasi (aniqlanish sohasi) deyiladi.

Oddiy hollarda:

• $f(x) = 2x + 1$: barcha sonlar uchun aniqlanadi.
• $f(x) = \dfrac{1}{x}$: $x = 0$ da ma'nosi yo'q — ta'rif sohasi $x \neq 0$.
• $f(x) = \sqrt{x}$: $x < 0$ da ma'nosi yo'q — ta'rif sohasi $x \geq 0$.

7-sinfda aksariyat hollarda ta'rif sohasi maxsus ko'rsatilmasa, barcha haqiqiy sonlar nazarda tutiladi.

Mashq

1. $f(x) = 4x - 3$ bo'lsa, $f(2)$, $f(-1)$, $f(0)$ ni hisoblang.
2. $g(x) = x^2 + x$ bo'lsa, $g(3)$, $g(-3)$, $g(0)$ ni hisoblang.
3. $f(x) = 5x + 1$ va $f(a) = 16$ bo'lsa, $a$ ni toping.
4. $f(x) = 2x - 4$ va $f(b) = 0$ bo'lsa, $b$ ni toping.
5. $f(x) = x^2 - 4$ uchun $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ da jadval tuzing.
6. Quyidagilardan qaysilari funksiya? Tushuntiring: a) Har bir songa uning kvadrati mos keladi. b) Har bir songa uning ildizlari mos keladi.
7. $f(x) = 3x + 2$. Qaysi $x$ da $f(x) = f(x+1)$? (Tekshiring: bu mumkinmi?)
8. $f(x) = \dfrac{x+1}{x-2}$ funksiyasi qaysi $x$ da aniqlanmaydi?

Javoblar va yechim yo'llari

1. $f(2) = 8 - 3 = 5$; $f(-1) = -4 - 3 = -7$; $f(0) = -3$.
2. $g(3) = 9 + 3 = 12$; $g(-3) = 9 - 3 = 6$; $g(0) = 0$.
3. $5a + 1 = 16 \Rightarrow 5a = 15 \Rightarrow a = 3$.
4. $2b - 4 = 0 \Rightarrow 2b = 4 \Rightarrow b = 2$.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$x^2-4$	$0$	$-3$	$-4$	$-3$	$0$

6. a) Ha, funksiya: har bir songa bitta kvadrat mos keladi. b) Yo'q: manfiy sonlarning haqiqiy ildizi yo'q (ya'ni ta'rif sohasi cheklangan), musbat songa esa ikkita ildiz mos kelishi mumkin ($\pm$) — funksiya emas.
7. $3x + 2 = 3(x+1) + 2 = 3x + 5$ — bu $2 = 5$ noto'g'ri tenglikka olib keladi. Demak, hech qanday $x$ da bu o'rinli emas.
8. $x - 2 = 0$, ya'ni $x = 2$ da maxraj nolga teng — aniqlanmaydi.

Keng tarqalgan xatolar

1. $f(x)$ ni ko'paytma deb o'ylash. ✗ $f(3) = f \cdot 3$ ✓ $f(3)$ — funksiyaning $x=3$ dagi qiymati, $f$ harf-belgisi, ko'paytma emas.

2. $f(a+b) = f(a) + f(b)$ deb hisoblash. ✗ $f(x) = x^2$ da $f(2+3) = f(5) = 25$, lekin $f(2) + f(3) = 4 + 9 = 13 \neq 25$. ✓ Har doim avval qavsni oching, keyin hisoblang.

3. Funksiya va munosabatni aralashtirib yuborish. ✗ $y^2 = x$ — funksiya (bir $x$ ga ikki $y$). ✓ $y^2 = x$ — funksiya emas, munosabat; $y = \sqrt{x}$ ($y \geq 0$) funksiya.

4. Manfiy $x$ da noto'g'ri hisoblash. ✗ $f(-3) = 2 \cdot -3 + 5 = -6 - 5 = -11$ (manfiy $x$ ga musbat $b$ qo'shishni unutish). ✓ $f(-3) = 2 \cdot (-3) + 5 = -6 + 5 = -1$.

5. Ta'rif sohasini e'tiborsiz qoldirish. ✗ $f(x) = \dfrac{1}{x}$ da $f(0) = \dfrac{1}{0} = 0$ deb yozish. ✓ $f(0)$ aniqlanmagan — ta'rif sohasiga kirmaydi.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Funksiyani tasavvur qilishning eng qulay usuli — grafik. Keyingi darsda chiziqli funksiyaning grafigini qanday chizishni va undan qanday ma'lumot o'qishni o'rganamiz.