Bir noma'lumli chiziqli tenglama

Bu nima va nega kerak

Tasavvur qiling, do'kondan 3 ta bir xil daftar va 4 000 so'mlik qalam sotib oldingiz, jami 13 000 so'm to'ladingiz. Daftar necha so'm turadi?

Buni yozsak: $3x + 4000 = 13000$. Bu — tenglama. Biz noma'lum $x$ ni (daftar narxini) topishimiz kerak.

Tenglamalar matematikaning "tili"dir. Fizikada tezlik, iqtisodda foyda, DTMda deyarli har bir masala oxir-oqibat tenglamaga keladi. Shuning uchun bu mavzu — butun yo'lning poydevori.

Asosiy g'oya: tarozi

Tenglamani muvozanatdagi tarozi deb o'ylang. Chap pallada — chap tomon, o'ng pallada — o'ng tomon. Tenglik "=" tarozi muvozanatda ekanini bildiradi.

Muvozanatni buzmasdan nima qilish mumkin? Ikkala pallada bir xil ish qilish:

1. Ikkala tomonga bir xil sonni qo'shish yoki ayirish.
2. Ikkala tomonni nolga teng bo'lmagan bir xil songa ko'paytirish yoki bo'lish.

Bu ikki qoida butun mavzuning mohiyati. Qolgani — ulardan to'g'ri foydalanish.

Ta'rif. $ax + b = 0$ ko'rinishiga keltiriladigan tenglama (bunda $a$, $b$ — sonlar, $x$ — noma'lum) bir noma'lumli chiziqli tenglama deyiladi. Tenglamani to'g'ri tenglikka aylantiradigan $x$ qiymati uning ildizi deyiladi.

Ko'chirish qoidasi. Ikkala tomondan bir xil son ayirish natijasida hadni bir tomondan ikkinchi tomonga ishorasini o'zgartirib ko'chirish mumkin bo'ladi:

$x + 5 = 9 \;\Longrightarrow\; x = 9 - 5.$

Yechilgan misollar

1-misol. Eng oddiy holat

$2x + 3 = 11.$

• Avval $x$ li hadni yolg'iz qoldiramiz: ikkala tomondan 3 ni ayiramiz: $2x = 8$.
• Endi ikkala tomonni 2 ga bo'lamiz: $x = 4$.

Tekshirish: $2\cdot 4 + 3 = 11$ ✓. Javob: $x = 4$.

2-misol. Noma'lum ikkala tomonda

$5x - 7 = 3x + 9.$

• $x$ li hadlarni chapga, sonlarni o'ngga yig'amiz (ko'chirganda ishora almashadi): $5x - 3x = 9 + 7$.
• Ixchamlaymiz: $2x = 16$.
• Bo'lamiz: $x = 8$.

Tekshirish: chap tomon $5\cdot 8 - 7 = 33$, o'ng tomon $3\cdot 8 + 9 = 33$ ✓.

3-misol. Qavslar bor

$3(x - 2) = 2(x + 1) + 4.$

• Qavslarni ochamiz (taqsimot qonuni): $3x - 6 = 2x + 2 + 4$.
• O'ng tomonni ixchamlaymiz: $3x - 6 = 2x + 6$.
• Ko'chiramiz: $3x - 2x = 6 + 6$.
• $x = 12$.

Tekshirish: $3\cdot 10 = 30$ va $2\cdot 13 + 4 = 30$ ✓.

4-misol. Kasrlar bor

$\frac{x+1}{2} - \frac{x-1}{3} = 1.$

• Kasrdan qutulamiz: ikkala tomonni maxrajlarning eng kichik umumiy karralisi — 6 ga ko'paytiramiz: $6\cdot\frac{x+1}{2} - 6\cdot\frac{x-1}{3} = 6\cdot 1 \;\Longrightarrow\; 3(x+1) - 2(x-1) = 6.$
• Qavslarni ochamiz. Diqqat: $-2$ ikkala had bilan ko'paytiriladi: $3x + 3 - 2x + 2 = 6$.
• Ixchamlaymiz: $x + 5 = 6$, demak $x = 1$.

Tekshirish: $\dfrac{2}{2} - \dfrac{0}{3} = 1$ ✓.

5-misol. Ildizi bo'lmagan yoki cheksiz ko'p ildizli holatlar

a) $2(x + 3) = 2x + 6$. Qavsni ochsak: $2x + 6 = 2x + 6$. Bu har qanday $x$ da to'g'ri. Ildizlar cheksiz ko'p (har qanday son).

b) $3x + 1 = 3x + 5$. $3x$ ni qisqartirsak: $1 = 5$ — noto'g'ri tenglik. Ildiz yo'q.

Umuman, $ax = b$ tenglamada:

Shart	Ildizlar
$a \neq 0$	bitta: $x = \dfrac{b}{a}$
$a = 0,\; b = 0$	cheksiz ko'p
$a = 0,\; b \neq 0$	yo'q

Tenglama yechish algoritmi

1. Kasr bo'lsa — umumiy maxrajga ko'paytirib qutul.
2. Qavslarni och.
3. $x$ li hadlarni bir tomonga, sonlarni ikkinchi tomonga ko'chir (ishorani almashtirib).
4. O'xshash hadlarni ixchamla: $ax = b$.
5. $x = \dfrac{b}{a}$ ni topib, tekshir.

Mashq

1. $x + 9 = 15$
2. $4x = 28$
3. $7x - 5 = 16$
4. $3x + 4 = x + 10$
5. $2(x - 3) = x + 5$
6. $5 - 2x = 11$
7. $\dfrac{x}{3} + 2 = 5$
8. $\dfrac{2x-1}{3} = \dfrac{x+4}{2}$
9. $3(x+2) - 2(x-1) = x + 8$
10. $4x - 3 = 4(x + 1)$

Javoblar va yechim yo'llari

1. $x = 15 - 9 = 6$.
2. $x = 28 : 4 = 7$.
3. $7x = 21$, $x = 3$.
4. $3x - x = 10 - 4$, $2x = 6$, $x = 3$.
5. $2x - 6 = x + 5$, $x = 11$.
6. $-2x = 6$, $x = -3$.
7. $\dfrac{x}{3} = 3$, $x = 9$.
8. Ikkala tomonni 6 ga ko'paytiramiz: $2(2x-1) = 3(x+4)$, $4x - 2 = 3x + 12$, $x = 14$. Tekshirish: $\dfrac{27}{3} = 9 = \dfrac{18}{2}$ ✓.
9. $3x + 6 - 2x + 2 = x + 8$ ⟹ $x + 8 = x + 8$. Ildizlar cheksiz ko'p.
10. $4x - 3 = 4x + 4$ ⟹ $-3 = 4$. Ildiz yo'q.

Keng tarqalgan xatolar

1. Ko'chirganda ishorani almashtirmaslik. ✗ $x + 5 = 9 \Rightarrow x = 9 + 5$ ✓ $x = 9 - 5 = 4$

2. Qavsni ochganda minusni unutish. ✗ $-2(x-1) = -2x - 2$ ✓ $-2(x-1) = -2x + 2$

3. Kasrli tenglamada faqat bitta hadni ko'paytirish. ✗ $\dfrac{x}{2} + 1 = 3 \Rightarrow x + 1 = 6$ ✓ Barcha hadlar ko'paytiriladi: $x + 2 = 6$, $x = 4$.

4. Noma'lum oldidagi sonni ayirib yuborish. ✗ $3x = 12 \Rightarrow x = 12 - 3 = 9$ ✓ $3x$ — ko'paytma, shuning uchun bo'lamiz: $x = 12 : 3 = 4$.

5. Tekshirmaslik. Tekshirish 10 soniya oladi va ko'pchilik xatoni ushlaydi. Imtihonda ham shunday qiling.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Endi tenglamani o'zingiz tuzishni o'rganamiz: matnli masalani tenglamaga aylantirish. Bu — DTMda eng ko'p uchraydigan ko'nikma.