Tenglama tuzib masala yechish

Bu nima va nega kerak

Matematika faqat tenglamalarni yechishni emas, hayotiy masalalarni tenglamaga aylantira bilishni ham o'rgatadi. DTMda algebra masalalarining katta qismi matnli masalalar bo'ladi — ularni tenglamaga o'girish ko'nikmasi eng muhim ko'nikmalardan biri.

Oddiy misol: "Ikki qo'shni sonning yig'indisi 37 ga teng. Bu sonlarni toping." Bu masalani ko'pchilik sinab-yanglish usulida hal qilishga harakat qiladi. Lekin tenglama tuzish usuli har qanday murakkablikdagi masalada ishlaydigan universal vositadir.

Asosiy g'oya: noma'lumni harfga almashtirish

Qoida. Matnli masalani tenglama tuzib yechish uchun:

1. Noma'lum miqdorni aniqlang: masala nimani topishni so'rayapti?
2. Uni $x$ (yoki boshqa harf) bilan belgilang va birligini yozing.
3. Qolgan miqdorlarni $x$ orqali ifodalang.
4. Masala shartidan tenglama tuzing.
5. Tenglamani yeching.
6. Javobni masala shartida tekshiring (faqat tenglamada emas, asl matnga qarab).

Oxirgi qadam ayniqsa muhim: tenglama to'g'ri yechilgan bo'lsa-da, noto'g'ri tuzilgan bo'lishi mumkin. Shuning uchun doimo asl shart bilan tekshiring.

Masalalar asosiy turlari:

• Sonlar haqidagi masalalar
• Harakat masalalari
• Ish va unumdorlik masalalari
• Yosh masalalari
• Foiz masalalari

Yechilgan misollar

1-misol. Sonlar haqidagi masala

Masala. Ikki sonning yig'indisi 48. Katta son kichikdan 12 ga katta. Sonlarni toping.

Yechim.

Kichik sonni $x$ deb belgilaymiz. U holda katta son $x + 12$ bo'ladi.

Shartdan: $x + (x + 12) = 48.$

Yechamiz: $2x + 12 = 48,$ $2x = 36,$ $x = 18.$

Kichik son $18$, katta son $18 + 12 = 30$.

Tekshirish: $18 + 30 = 48$ ✓; $30 - 18 = 12$ ✓.

---

2-misol. Yosh masalasi

Masala. Hozir otaning yoshi o'g'lining yoshidan 3 marta katta. 10 yildan keyin ota o'g'lidan 20 yoshga katta bo'ladi. Hozir ularning har biri necha yoshda?

Yechim.

O'g'ilning hozirgi yoshini $x$ deb belgilaymiz. Otaning hozirgi yoshi $3x$.

10 yildan keyin: o'g'il $x + 10$, ota $3x + 10$ yoshda bo'ladi.

Shartdan: $(3x + 10) - (x + 10) = 20.$

Yechamiz: $3x + 10 - x - 10 = 20,$ $2x = 20,$ $x = 10.$

O'g'il hozir 10 yosh, ota 30 yosh.

Tekshirish: $30 = 3 \times 10$ ✓. 10 yildan keyin: ota $40$, o'g'il $20$; $40 - 20 = 20$ ✓.

---

3-misol. Harakat masalasi

Masala. Ikki shahar orasidagi masofa 300 km. Ikkala shahardan bir vaqtda qarama-qarshi yo'nalishda ikkita avtomobil yo'lga chiqdi. Birinchisining tezligi 60 km/soat, ikkinchisiniki 90 km/soat. Ular qancha vaqtdan keyin uchrashadi?

Yechim.

Uchrashish vaqtini $t$ soat deb belgilaymiz.

Birinchi avtomobil $t$ soatda $60t$ km, ikkinchisi $90t$ km yuradi. Qarama-qarshi yo'nalishda harakatlanayotganligi sababli yo'llar qo'shiladi: $60t + 90t = 300,$ $150t = 300,$ $t = 2.$

Ular 2 soatdan keyin uchrashadi.

Tekshirish: $60 \times 2 + 90 \times 2 = 120 + 180 = 300$ ✓.

---

4-misol. Ish masalasi

Masala. Birinchi usta ishni 8 kunda, ikkinchisi 12 kunda bajara oladi. Ular birgalikda ishlasa, necha kunda tugatadilar?

Yechim.

Birgalikda ishlash vaqtini $t$ kun deb belgilaymiz.

$1$ kunda birinchi usta butun ishning $\dfrac{1}{8}$ qismini, ikkinchisi $\dfrac{1}{12}$ qismini bajaradi.

$t$ kunda ular barcha ishni bajaradilar: $t \cdot \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{12}\right) = 1.$

$\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{24} + \dfrac{2}{24} = \dfrac{5}{24}$ ni hisoblaymiz: $t \cdot \frac{5}{24} = 1,$ $t = \frac{24}{5} = 4{,}8 \text{ kun.}$

Tekshirish: $4{,}8 \times \dfrac{5}{24} = 1$ ✓.

Masala yechish algoritmi

1. Noma'lumni aniqlang: "Nima topilishi kerak?"
2. Uni $x$ bilan belgilang, birligini yozing.
3. Qolgan miqdorlarni $x$ orqali ifodalang.
4. Shartdan tenglama tuzing.
5. Tenglamani yeching.
6. Javobni asl masala matni bilan tekshiring.
7. Javobni to'liq yozing (birlik bilan).

Mashq

1. Ikki sonning yig'indisi 71. Katta son kichikdan 15 ga katta. Sonlarni toping.
2. Uch ketma-ket natural sonning yig'indisi 48. Bu sonlarni toping.
3. Ota hozir 42 yoshda, o'g'il 14 yoshda. Necha yildan keyin ota o'g'lidan 2 marta katta bo'ladi?
4. Do'konda ko'ylak va shim bor. Shim ko'ylakdan 2 marta qimmat. Ikkalasining narxi jami 15 000 so'm. Ko'ylak necha so'm?
5. Ikki shahar orasida 450 km. Bir shahardan 80 km/soat, ikkinchisidan 70 km/soat tezlikda bir vaqtda ikki mashina yo'lga chiqdi. Ular qachon uchrashadi?
6. Birinchi quvur hovuzni 5 soatda, ikkinchisi 10 soatda to'ldiradi. Birgalikda necha soatda to'ldiradi?
7. O'quvchi 240 betlik kitobni o'qiydi. Har kuni 30 bet o'qisa, necha kunda tugatadi?
8. Mahsulot narxi 20% ko'tarildi va 36 000 so'm bo'ldi. Dastlabki narx qancha edi?
9. Ikki ishchi birga 6 kunda ishni tugatadi. Birinchisi yolg'iz 10 kunda bajaradi. Ikkinchisi yolg'iz necha kunda bajaradi?
10. Raqamlarning yig'indisi 9 bo'lgan ikki xonali sonni toping, agar o'nlar raqami birlar raqamidan 3 ga katta bo'lsa.

Javoblar va yechim yo'llari

1. Kichik son $x$: $x + (x+15) = 71$, $2x = 56$, $x = 28$. Sonlar: 28 va 43.
2. Birinchi son $x$: $x + (x+1) + (x+2) = 48$, $3x + 3 = 48$, $3x = 45$, $x = 15$. Sonlar: 15, 16, 17.
3. $n$ yildan keyin ota $42+n$, o'g'il $14+n$: $(42+n) = 2(14+n)$, $42+n = 28+2n$, $n = 14$. 14 yildan keyin.
4. Ko'ylak $x$ so'm, shim $2x$: $x + 2x = 15000$, $3x = 15000$, $x = 5000$. Ko'ylak 5 000 so'm.
5. Uchrashish vaqti $t$ soat: $80t + 70t = 450$, $150t = 450$, $t = 3$. 3 soatdan keyin.
6. $t\!\left(\tfrac{1}{5}+\tfrac{1}{10}\right)=1$, $\tfrac{3}{10}t=1$, $t=\tfrac{10}{3}\approx 3{,}33$ soat. $3\tfrac{1}{3}$ soat.
7. $30n = 240$, $n = 8$. 8 kun.
8. $1{,}2x = 36000$, $x = 30000$. 30 000 so'm.
9. $\tfrac{1}{10}+\tfrac{1}{n}=\tfrac{1}{6}$, $\tfrac{1}{n}=\tfrac{1}{6}-\tfrac{1}{10}=\tfrac{2}{30}=\tfrac{1}{15}$, $n=15$. 15 kun.
10. O'nlar raqami $a$, birlar raqami $b$: $a+b=9$, $a-b=3$. $a=6$, $b=3$. Son: 63.

Keng tarqalgan xatolar

1. Tenglamani masalaga qaytarib tekshirmaslik. ✗ Faqat tenglamada tekshirish kifoya deb o'ylash. ✓ Javobni asl masala matni bilan tekshir — tenglama noto'g'ri tuzilgan bo'lishi mumkin.

2. Foiz masalalarida asosni noto'g'ri tanlash. ✗ Narx 20% oshdi va 1200 so'm bo'ldi: $x + 20 = 1200$, $x = 1180$. ✓ $x + 0{,}2x = 1200$, $1{,}2x = 1200$, $x = 1000$ so'm.

3. Harakat masalasida yo'nalishni hisobga olmaslik. ✗ Qarama-qarshi yo'nalishda: yo'llar ayiriladi. ✓ Qarama-qarshi yo'nalishda harakatlanuvchi jismlarning yo'llari qo'shiladi.

4. Ish masalasida ulushlarni emas, kunlarni qo'shish. ✗ Birinchisi 8 kunda, ikkinchisi 12 kunda — birgalikda $8+12=20$ kunda. ✓ 1 kunda bajariladigan ulushlar qo'shiladi: $\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{5}{24}$, vaqt: $\frac{24}{5}=4{,}8$ kun.

5. Birliklarni aralashtirish. ✗ Tezlik km/soatda berilgan, vaqt minutda — bevosita ko'paytirish. ✓ Avval bir xil birlikka o'tkazing (minutni soatga: $\div 60$).

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Keyingi darsda ikki noma'lumli chiziqli tenglamani o'rganamiz — masalalar yanada qiziqarli va real hayotga yaqinlashadi.