Sistemani o'rniga qo'yish va qo'shish usullari

Bu nima va nega kerak

Oldingi darsda biz chiziqli tenglamalar sistemasi nima ekanini va oddiy misollarni tanlash yoki mulohaza qilish yo'li bilan yechishni ko'rdik.

Ammo tasavvur qiling, sizga quyidagi sistema berildi: $\begin{cases} 3x + 4y = 25 \\ 2x - 3y = -6 \end{cases}$

Buni shunchaki boshda o'ylab, taxmin qilib topish juda qiyin. Agar koeffitsientlar katta bo'lsa yoki yechimlar manfiy chiqsa, taxmin qilish usuli umuman ish bermaydi.

Bizga har qanday chiziqli tenglamalar sistemasini xatosiz va tez yechishga imkon beruvchi aniq algebraik usullar kerak.

Algebraning eng muhim qoidasi: "Yangi va murakkab masalani avval o'rganilgan oddiy masalaga keltir!" Biz allaqachon bir noma'lumli chiziqli tenglamani yechishni bilamiz. Demak, maqsadimiz — ikki noma'lumdan birini yo'qotib, bitta noma'lumli tenglamaga o'tishdir.

Buning ikkita universal va qudratli usuli bor:

1. O'rniga qo'yish usuli
2. Algebraik qo'shish usuli

Asosiy g'oya

1-usul. O'rniga qo'yish (almashtirish) usuli

Bu usulning mantiqi juda oddiy: agar biz biror narsaning qiymatini bilsak, uni boshqa joydagi shu narsa o'rniga qo'yishimiz mumkin.

Bosqichma-bosqich algoritm:

1. Tenglamalardan biridan bir noma'lumni (masalan, $x$ yoki $y$ ni) ikkinchisi orqali ifodalang.

   Foydali maslahat: Oldidagi koeffitsienti $1$ yoki $-1$ bo'lgan noma'lumni tanlash eng qulaydir — shunda kasrlar hosil bo'lmaydi!

2. Hosil bo'lgan ifodani ikkinchi tenglamadagi shu noma'lum o'rniga qo'ying.
3. Natijada faqat bitta noma'lum qatnashgan oddiy chiziqli tenglama hosil bo'ladi. Uni yeching.
4. Topilgan sonni 1-qadamdagi ifodaga qo'yib, ikkinchi noma'lumni hisoblang.
5. Yechimni $(x; y)$ ko'rinishida yozing va dastlabki ikkala tenglamada tekshiring.

---

2-usul. Algebraik qo'shish usuli

Bu usul qarama-qarshi sonlarning ajoyib xossasiga asoslangan: qarama-qarshi sonlar yig'indisi nolga teng ($a + (-a) = 0$).

Agar bitta noma'lum oldidagi koeffitsientlar qarama-qarshi sonlar bo'lsa (masalan, $+3y$ va $-3y$), tenglamalarni hadma-had qo'shganimizda bu noma'lum butunlay yo'qoladi!

Bosqichma-bosqich algoritm:

1. Agar kerak bo'lsa, tenglamalardan birini yoki ikkalasini shunday sonlarga ko'paytiringki, noma'lumlardan birining oldidagi koeffitsientlar qarama-qarshi sonlar bo'lib qolsin.
2. Tenglamalarning chap tomonlarini chap tomonga, o'ng tomonlarini o'ng tomonga hadma-had qo'shing (bitta noma'lum yo'qoladi).
3. Hosil bo'lgan bir noma'lumli tenglamani yeching.
4. Topilgan qiymatni dastlabki tenglamalardan biriga qo'yib, ikkinchi noma'lumni toping.
5. Javobni tekshiring va yozing.

---

Qaysi usulni qachon tanlash kerak?

Vaziyat	Tavsiya etiladigan usul	Nega?
Noma'lumlardan birining koeffitsienti $1$ yoki $-1$ bo'lsa (masalan, $x - 3y = 5$)	O'rniga qo'yish usuli	$x = 5 + 3y$ deb oson ifodalanadi, kasr chiqmaydi
Biron noma'lum oldidagi koeffitsientlar qarama-qarshi bo'lsa ($+2y$ va $-2y$)	Qo'shish usuli	Hech narsani o'zgartirmasdan darhol qo'shish kifoya
Barcha koeffitsientlar birdan farqli bo'lsa ($3x + 4y = 25$, $2x - 3y = -6$)	Qo'shish usuli	O'rniga qo'yishda noqulay kasrlar chiqadi, ko'paytirib qo'shish esa butun sonlarda qoladi

Yechilgan misollar

1-misol. O'rniga qo'yish usuli (koeffitsienti 1 bo'lgan holat)

Quyidagi sistemani o'rniga qo'yish usulida yeching: $\begin{cases} x - 3y = 2 \\ 2x + 5y = 15 \end{cases}$

Yechish:

• 1-qadam. Birinchi tenglamada $x$ ning oldidagi koeffitsient 1 ga teng. Shuning uchun birinchi tenglamadan $x$ ni $y$ orqali ifodalaymiz: $x = 3y + 2.$

• 2-qadam. Ikkinchi tenglamadagi $x$ o'rniga $(3y + 2)$ ifodani qo'yamiz: $2(3y + 2) + 5y = 15.$

• 3-qadam. Qavslarni ochib, hosil bo'lgan bir noma'lumli tenglamani yechamiz: $6y + 4 + 5y = 15 \;\implies\; 11y + 4 = 15 \;\implies\; 11y = 11 \;\implies\; y = 1.$

• 4-qadam. $y = 1$ qiymatni 1-qadamdagi $x$ ning ifodasiga qo'yamiz: $x = 3\cdot 1 + 2 = 3 + 2 = 5.$

• 5-qadam. Tekshirish:

  • 1-tenglama: $5 - 3\cdot 1 = 5 - 3 = 2$ ✓.
  • 2-tenglama: $2\cdot 5 + 5\cdot 1 = 10 + 5 = 15$ ✓.

Javob: $(5; 1)$.

---

2-misol. Algebraik qo'shish usuli (tayyor qarama-qarshi koeffitsientlar)

Quyidagi sistemani algebraik qo'shish usulida yeching: $\begin{cases} 3x + 2y = 18 \\ 5x - 2y = 14 \end{cases}$

Yechish:

E'tibor bering: birinchi tenglamada $+2y$, ikkinchi tenglamada $-2y$ bor. Ular qarama-qarshi sonlar!

• 1-qadam. Tenglamalarni hadma-had qo'shamiz: $(3x + 5x) + (2y - 2y) = 18 + 14.$

• 2-qadam. Ixchamlaymiz: $8x + 0 = 32 \;\implies\; 8x = 32 \;\implies\; x = 4.$

• 3-qadam. $x = 4$ qiymatni birinchi tenglamaga qo'yib, $y$ ni topamiz: $3\cdot 4 + 2y = 18 \;\implies\; 12 + 2y = 18 \;\implies\; 2y = 6 \;\implies\; y = 3.$

• 4-qadam. Tekshirish:

  • 1-tenglama: $3\cdot 4 + 2\cdot 3 = 12 + 6 = 18$ ✓.
  • 2-tenglama: $5\cdot 4 - 2\cdot 3 = 20 - 6 = 14$ ✓.

Javob: $(4; 3)$.

---

3-misol. Bitta tenglamani songa ko'paytirish orqali qo'shish

Quyidagi sistemani yeching: $\begin{cases} 2x + 3y = 16 \\ 5x - y = 6 \end{cases}$

Yechish: Bu yerda $y$ ning oldida $+3$ va $-1$ koeffitsientlar turibdi. Agar ikkinchi tenglamaning barcha hadlarini 3 ga ko'paytirsak, $-3y$ hosil bo'ladi:

$\begin{cases} 2x + 3y = 16 \\ 3\cdot(5x - y) = 3\cdot 6 \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} 2x + 3y = 16 \\ 15x - 3y = 18 \end{cases}$

Endi ikkala tenglamani hadma-had qo'shamiz: $(2x + 15x) + (3y - 3y) = 16 + 18 \;\implies\; 17x = 34 \;\implies\; x = 2.$

Topilgan $x = 2$ ni dastlabki ikkinchi tenglamaga qo'yamiz: $5\cdot 2 - y = 6 \;\implies\; 10 - y = 6 \;\implies\; y = 10 - 6 = 4.$

Tekshirish:

• 1-tenglama: $2\cdot 2 + 3\cdot 4 = 4 + 12 = 16$ ✓.
• 2-tenglama: $5\cdot 2 - 4 = 10 - 4 = 6$ ✓.

Javob: $(2; 4)$.

---

4-misol. Ikkala tenglamani ham ko'paytirish talab etiladigan holat

Quyidagi sistemani yeching: $\begin{cases} 3x + 4y = 25 \\ 2x - 3y = -6 \end{cases}$

Yechish: Hech bir koeffitsient $1$ emas va biri ikkinchisiga bo'linmaydi. Shuning uchun ikkala tenglamani ham ko'paytiramiz: $y$ ning oldidagi koeffitsientlar 4 va $-3$. Ularning eng kichik umumiy karralisi 12. Demak, 1-tenglamani 3 ga, 2-tenglamani esa 4 ga ko'paytiramiz:

$\begin{cases} 3\cdot(3x + 4y) = 3\cdot 25 \\ 4\cdot(2x - 3y) = 4\cdot(-6) \end{cases} \;\implies\; \begin{cases} 9x + 12y = 75 \\ 8x - 12y = -24 \end{cases}$

Tenglamalarni hadma-had qo'shamiz ($+12y$ va $-12y$ qisqarib ketadi): $(9x + 8x) = 75 + (-24) \;\implies\; 17x = 51 \;\implies\; x = 3.$

Topilgan $x = 3$ ni birinchi tenglamaga qo'yamiz: $3\cdot 3 + 4y = 25 \;\implies\; 9 + 4y = 25 \;\implies\; 4y = 16 \;\implies\; y = 4.$

Tekshirish:

• 1-tenglama: $3\cdot 3 + 4\cdot 4 = 9 + 16 = 25$ ✓.
• 2-tenglama: $2\cdot 3 - 3\cdot 4 = 6 - 12 = -6$ ✓.

Javob: $(3; 4)$.

---

5-misol. Qavslar qatnashgan murakkabroq sistema

Quyidagi sistemani yeching: $\begin{cases} 2(x - 1) + 3y = 10 \\ x + 2(y + 1) = 9 \end{cases}$

Yechish:

• 1-qadam. Qavslarni ochib, o'xshash hadlarni ixchamlaymiz:
  • 1-tenglama: $2x - 2 + 3y = 10 \implies 2x + 3y = 12$.
  • 2-tenglama: $x + 2y + 2 = 9 \implies x + 2y = 7$.

Yangi soddalashtirilgan sistema: $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x + 2y = 7 \end{cases}$

• 2-qadam. Usulni tanlaymiz: 2-tenglamada $x$ ning oldidagi koeffitsient 1 ga teng. O'rniga qo'yish usuli juda qulay: $x = 7 - 2y.$

• 3-qadam. Bu ifodani 1-tenglamaga qo'yamiz: $2(7 - 2y) + 3y = 12 \;\implies\; 14 - 4y + 3y = 12 \;\implies\; 14 - y = 12 \;\implies\; y = 2.$

• 4-qadam. $x$ ning qiymatini hisoblaymiz: $x = 7 - 2\cdot 2 = 7 - 4 = 3.$

• 5-qadam. Boshlang'ich shart bo'yicha tekshirish:

  • 1-tenglama: $2(3 - 1) + 3\cdot 2 = 2\cdot 2 + 6 = 10$ ✓.
  • 2-tenglama: $3 + 2(2 + 1) = 3 + 2\cdot 3 = 3 + 6 = 9$ ✓.

Javob: $(3; 2)$.

Mashq

Quyidagi tenglamalar sistemalarini mustaqil yeching va yechim yo'llari bilan tekshiring:

1. $\begin{cases} x = 2y - 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}$ (o'rniga qo'yish usulida yeching).
2. $\begin{cases} x + y = 9 \\ 2x - y = 6 \end{cases}$ (qo'shish usulida yeching).
3. $\begin{cases} y = 3x - 5 \\ 2x + 3y = 18 \end{cases}$ (o'rniga qo'yish usulida yeching).
4. $\begin{cases} 4x + 3y = 22 \\ 4x - y = 14 \end{cases}$ (hadma-had ayirish usulida yeching).
5. $\begin{cases} 3x + 5y = 21 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$ (qo'shish usulida yeching).
6. $\begin{cases} 5x + 2y = 19 \\ 3x - 4y = 1 \end{cases}$ (qo'shish usulida yeching).
7. $\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases}$ sistemani qulay usulda yeching.
8. $\begin{cases} 3(x - 1) + 2y = 10 \\ 2x - (y + 1) = 3 \end{cases}$ sistemani yeching.
9. $\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 4 \\ x - y = 3 \end{cases}$ sistemani yeching.
10. $\begin{cases} 4x - 3y = 7 \\ 3x + 5y = 27 \end{cases}$ sistemani qo'shish usulida yeching.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $x$ ning ifodasini 2-tenglamaga qo'yamiz: $3(2y - 1) + y = 11 \implies 6y - 3 + y = 11 \implies 7y = 14 \implies y = 2$. U holda $x = 2\cdot 2 - 1 = 3$. Javob: $(3; 2)$.
2. Tenglamalarni hadma-had qo'shamiz: $3x = 15 \implies x = 5$. 1-tenglamadan: $5 + y = 9 \implies y = 4$. Javob: $(5; 4)$.
3. $y$ ning ifodasini 2-tenglamaga qo'yamiz: $2x + 3(3x - 5) = 18 \implies 2x + 9x - 15 = 18 \implies 11x = 33 \implies x = 3$. U holda $y = 3\cdot 3 - 5 = 4$. Javob: $(3; 4)$.
4. 1-tenglamadan 2-tenglamani hadma-had ayiramiz: $(4x - 4x) + (3y - (-y)) = 22 - 14 \implies 4y = 8 \implies y = 2$. 2-tenglamadan: $4x - 2 = 14 \implies 4x = 16 \implies x = 4$. Javob: $(4; 2)$.
5. 2-tenglamani 5 ga ko'paytiramiz: $10x - 5y = 5$. 1-tenglama bilan qo'shamiz: $13x = 26 \implies x = 2$. 2-tenglamadan: $2\cdot 2 - y = 1 \implies 4 - y = 1 \implies y = 3$. Javob: $(2; 3)$.
6. 1-tenglamani 2 ga ko'paytiramiz: $10x + 4y = 38$. 2-tenglama bilan qo'shamiz: $13x = 39 \implies x = 3$. 1-tenglamadan: $5\cdot 3 + 2y = 19 \implies 15 + 2y = 19 \implies 2y = 4 \implies y = 2$. Javob: $(3; 2)$.
7. Tenglamalarni qo'shamiz: $5x + 5y = 25 \implies x + y = 5$. Ikkinchi tenglamadan birinchisini ayiramiz: $x - y = -1$. Bu ikkalasini qo'shsak: $2x = 4 \implies x = 2$. U holda $y = 5 - 2 = 3$. Javob: $(2; 3)$.
8. Qavslarni ochamiz: $3x - 3 + 2y = 10 \implies 3x + 2y = 13$; ikkinchisi: $2x - y - 1 = 3 \implies 2x - y = 4$. Ikkinchi tenglamani 2 ga ko'paytiramiz: $4x - 2y = 8$. Birinchisi bilan qo'shamiz: $7x = 21 \implies x = 3$. U holda $2\cdot 3 - y = 4 \implies 6 - y = 4 \implies y = 2$. Javob: $(3; 2)$.
9. 1-tenglamaning ikkala tomonini 6 ga ko'paytiramiz: $3x + 2y = 24$. 2-tenglamadan: $x = y + 3$. Buni qo'yamiz: $3(y + 3) + 2y = 24 \implies 5y + 9 = 24 \implies 5y = 15 \implies y = 3$. U holda $x = 3 + 3 = 6$. Javob: $(6; 3)$.
10. 1-tenglamani 5 ga, 2-tenglamani 3 ga ko'paytiramiz: $20x - 15y = 35$ va $9x + 15y = 81$. Hadma-had qo'shamiz: $29x = 116 \implies x = 4$. 1-tenglamaga qo'yamiz: $4\cdot 4 - 3y = 7 \implies 16 - 3y = 7 \implies 3y = 9 \implies y = 3$. Javob: $(4; 3)$.

Keng tarqalgan xatolar

1. O'rniga qo'yishda ifodani yana o'sha tenglamaning o'ziga qo'yish. Agar $x$ ni birinchi tenglamadan ifodalab, yana birinchi tenglamaning o'zidagi $x$ o'rniga qo'ysangiz, barcha hadlar qisqarib $0 = 0$ yoki $2 = 2$ hosil bo'ladi va hech narsa topilmaydi! ✗ Birinchi tenglamadan olingan ifodani yana birinchi tenglamaga qo'yish. ✓ Ifodani albatta ikkinchi (boshqa) tenglamaga qo'yish shart.

2. Tenglamani songa ko'paytirishda ozod hadni unutish. Ko'pchilik faqat noma'lumlar oldidagi sonlarni ko'paytiradi, tenglikning o'ng tomonidagi sonni esa esdan chiqaradi. ✗ $2x + y = 5$ tenglamani 3 ga ko'paytirganda: $6x + 3y = 5$ deb yozish. ✓ Barcha hadlar, jumladan o'ng tomon ham ko'paytiriladi: $6x + 3y = 15$.

3. Hadma-had ayirishda ishoralarda adashish. Ayniqsa manfiy hadni ayirishda xatolik ko'p uchraydi: minus ketidan minus kelsa plyus bo'ladi! ✗ $(3y) - (-y) = 2y$. ✓ $3y - (-y) = 3y + y = 4y$.

4. Bitta noma'lumni topgach, ikkinchisini unutish. Masalan, $x = 3$ ni topib, dars yoki imtihonda javobga faqat $x = 3$ deb yozib ketish. ✓ Masala ikki noma'lumli bo'lgani uchun, javobda har doim ikkala noma'lum ham $(x; y)$ juftlik shaklida ko'rsatilishi shart!

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Endi siz chiziqli tenglamalar sistemasini algebraik usullarda mukammal yechishni bilasiz. Keyingi bo'limda bu sistemalarni koordinatalar tekisligida to'g'ri chiziqlar grafigi sifatida tasvirlashni — grafik usulni o'rganamiz!