Chiziqli tenglamalar sistemasi

Bu nima va nega kerak

Oldingi darsda biz bitta ikki noma'lumli tenglama cheksiz ko'p yechimga ega bo'lishini ko'rdik. Masalan, $x + y = 10$ tenglamani $(1; 9)$, $(2; 8)$, $(5; 5)$, $(0; 10)$ kabi istalgancha juftlik qanoatlantiradi.

Ammo hayotda bizga bitta emas, balki bir vaqtning o'zida bir nechta shart qo'yiladi.

Keling, oddiy bir jumboqni ko'raylik:

"Ikki sonning yig'indisi 10 ga teng, ularning ayirmasi esa 4 ga teng. Bu qanday sonlar?"

Bu yerda ikkita shart bor:

1. $x + y = 10$ (yig'indisi 10)
2. $x - y = 4$ (ayirmasi 4)

Faqat birinchi shartni olsak, variantlar cheksiz ko'p. Lekin har ikkala shartni bir vaqtda qanoatlantiradigan faqat bitta juftlik mavjud: $x = 7$ va $y = 3$. Haqiqatan ham: $7 + 3 = 10 \quad \text{va} \quad 7 - 3 = 4.$

Matematikada bir nechta shartning bir vaqtda bajarilishini ifodalash uchun tenglamalar sistemasi ishlatiladi.

Asosiy g'oya

Ta'rif

Birgalikda qaraladigan va umumiy yechimga ega bo'lishi talab qilinadigan ikki noma'lumli ikki (yoki undan ortiq) chiziqli tenglama chiziqli tenglamalar sistemasi deyiladi.

Sistemani yozishda tenglamalar chap tomondan jingalak qavs $\begin{cases} ... \end{cases}$ bilan birlashtiriladi:

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

Jingalak qavs "va" (bir vaqtda bajarilishi shart) degan ma'noni anglatadi.

Sistemaning yechimi nima?

Sistemaga kiruvchi har bir tenglamani to'g'ri tenglikka aylantiruvchi $(x; y)$ sonlar juftligi tenglamalar sistemasining yechimi deyiladi.

Sistemani yechish — bu uning barcha yechimlarini topish yoki uning yechimga ega emasligini ko'rsatish demakdir.

Eslatma: Agar biror juftlik tenglamalardan faqat bittasini to'g'ri qilib, ikkinchisini qanoatlantirmasa, u sistemaning yechimi bo'la olmaydi.

Sistemaning nechta yechimi bo'lishi mumkin?

Ikki noma'lumli chiziqli tenglamalar sistemasi yechimlari soniga ko'ra uch xil bo'lishi mumkin:

Koeffitsientlar nisbati	Yechimlar soni	Geometrik ma'nosi (to'g'ri chiziqlar)
$\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$	1 ta (yagona yechim)	Chiziqlar bitta nuqtada kesishadi
$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \neq \dfrac{c_1}{c_2}$	Yechim yo'q (0 ta)	Chiziqlar parallel, hech qachon kesishmaydi
$\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}$	Cheksiz ko'p yechim	Chiziqlar ustma-ust tushadi

Bu qoida tenglamalarni yechmasdan turib, sistemaning nechta yechimi borligini bir qarashda bilish imkonini beradi.

Yechilgan misollar

1-misol. Juftlikning sistema yechimi ekanini tekshirish

Quyidagi tenglamalar sistemasi berilgan: $\begin{cases} 2x + y = 11 \\ 3x - 2y = 6 \end{cases}$

a) $(3; 5)$ juftligi; b) $(4; 3)$ juftligi ushbu sistemaning yechimi bo'ladimi?

Yechish:

• a) $(3; 5)$ juftligini tekshiramiz ($x = 3, y = 5$):

  • 1-tenglama: $2\cdot 3 + 5 = 6 + 5 = 11$ ✓ (to'g'ri).
  • 2-tenglama: $3\cdot 3 - 2\cdot 5 = 9 - 10 = -1 \neq 6$ ✗ (noto'g'ri).

  Juftlik ikkinchi tenglamani qanoatlantirmadi. Demak, $(3; 5)$ sistemaning yechimi emas.

• b) $(4; 3)$ juftligini tekshiramiz ($x = 4, y = 3$):

  • 1-tenglama: $2\cdot 4 + 3 = 8 + 3 = 11$ ✓ (to'g'ri).
  • 2-tenglama: $3\cdot 4 - 2\cdot 3 = 12 - 6 = 6$ ✓ (to'g'ri).

  Juftlik ikkala tenglamani ham to'g'ri tenglikka aylantirdi.

Javob: $(4; 3)$ juftligi sistemaning yechimi bo'ladi, $(3; 5)$ esa yechim emas.

---

2-misol. Masala shartidan sistema tuzish va mantiqiy yechish

Ota va o'g'ilning yoshlari yig'indisi 40 da. Ota o'g'lidan 26 yosh katta. Ularning har biri necha yoshda?

Yechish:

• Otaning yoshini $x$ deb belgilaymiz.
• O'g'ilning yoshini $y$ deb belgilaymiz.

Masala shartlariga binoan sistema tuzamiz: $\begin{cases} x + y = 40 \\ x - y = 26 \end{cases}$

Ikkala tenglamani hadma-had qo'shamiz (chap tomonni chap tomonga, o'ng tomonni o'ng tomonga): $(x + y) + (x - y) = 40 + 26.$

O'xshash hadlarni ixchamlaymiz: $2x = 66 \;\implies\; x = 33.$

Demak, otaning yoshi 33 da. Endi o'g'ilning yoshini topamiz: $33 + y = 40 \;\implies\; y = 40 - 33 = 7.$

Tekshirish:

• Yig'indisi: $33 + 7 = 40$ ✓.
• Ayirmasi: $33 - 7 = 26$ ✓.

Javob: Ota 33 yoshda, o'g'il 7 yoshda. Yechim: $(33; 7)$.

---

3-misol. Yechimlar sonini koeffitsientlar bo'yicha aniqlash

Quyidagi sistemalarning har biri nechta yechimga ega ekanini aniqlang: a) $\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 6x - 2y = 7 \end{cases}$ b) $\begin{cases} 2x + 4y = 6 \\ x + 2y = 3 \end{cases}$ c) $\begin{cases} 2x - 3y = 1 \\ 4x + y = 9 \end{cases}$

Yechish:

• a) Koeffitsientlar nisbatini tuzamiz: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{5}{7}.$ Ko'rib turibmizki, $\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} \neq \dfrac{5}{7}$. Noma'lumlar oldidagi koeffitsientlar nisbati teng, lekin ozod hadlar nisbati boshqacha. Demak, sistema yechimga ega emas (0 ta yechim).

• b) Koeffitsientlar nisbatini tuzamiz: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{1} = 2, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{4}{2} = 2, \quad \frac{c_1}{c_2} = \frac{6}{3} = 2.$ Barcha nisbatlar o'zaro teng: $\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2} = 2$. Ikkinchi tenglamaning ikkala tomonini 2 ga ko'paytirsak, aynan birinchi tenglama hosil bo'ladi. Demak, sistema cheksiz ko'p yechimga ega.

• c) Koeffitsientlar nisbatini tuzamiz: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad \frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{1} = -3.$ $\dfrac{1}{2} \neq -3$, ya'ni $\dfrac{a_1}{a_2} \neq \dfrac{b_1}{b_2}$. Demak, sistema bitta (yagona) yechimga ega.

Javob: a) yechim yo'q; b) cheksiz ko'p; c) 1 ta yagona yechim.

---

4-misol. Parametrli sistema (yechimi bo'lmaslik sharti)

$k$ ning qanday qiymatida quyidagi sistema yechimga ega bo'lmaydi? $\begin{cases} 3x + ky = 9 \\ 6x + 8y = 15 \end{cases}$

Yechish: Sistema yechimga ega bo'lmasligi uchun quyidagi shart bajarilishi kerak: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}.$

Mos sonlarni qo'yamiz: $\frac{3}{6} = \frac{k}{8} \neq \frac{9}{15}.$

$\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ va $\dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$. Haqiqatan ham $\dfrac{1}{2} \neq \dfrac{3}{5}$.

Endi birinchi tenglikdan $k$ ni topamiz: $\frac{1}{2} = \frac{k}{8} \;\implies\; 2k = 8 \;\implies\; k = 4.$

Tekshirish: $k = 4$ bo'lganda birinchi tenglama $3x + 4y = 9$. Uni 2 ga ko'paytirsak: $6x + 8y = 18$. Lekin ikkinchi tenglamada $6x + 8y = 15$. Bir xil ifoda $6x + 8y$ bir vaqtda ham 18 ga, ham 15 ga teng bo'la olmaydi! Shuning uchun yechim yo'q.

Javob: $k = 4$.

---

5-misol. Yechimi ma'lum bo'lgan sistema

$(2; 1)$ sonlar juftligi quyidagi sistemaning yechimi ekani ma'lum: $\begin{cases} ax + 2y = 10 \\ 3x - by = 1 \end{cases}$ $a + b$ yig'indini toping.

Yechish: $(2; 1)$ juftlik yechim bo'lgani uchun $x = 2$ va $y = 1$ qiymatlarni ikkala tenglamaga qo'yamiz:

1. Birinchi tenglamadan: $a\cdot 2 + 2\cdot 1 = 10 \;\implies\; 2a + 2 = 10 \;\implies\; 2a = 8 \;\implies\; a = 4.$

2. Ikkinchi tenglamadan: $3\cdot 2 - b\cdot 1 = 1 \;\implies\; 6 - b = 1 \;\implies\; b = 6 - 1 = 5.$

Endi so'ralgan yig'indini hisoblaymiz: $a + b = 4 + 5 = 9.$

Javob: $a + b = 9$.

Mashq

Quyidagi topshiriqlarni daftaringizda mustaqil ishlang, so'ng yashirin yechimlar bilan solishtiring:

1. $(2; 1)$ juftligi $\begin{cases} x + 3y = 5 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$ sistemaning yechimi bo'ladimi?
2. $(3; -1)$ juftligi $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 2y = 4 \end{cases}$ sistemaning yechimi bo'ladimi?
3. $\begin{cases} x + y = 14 \\ x - y = 4 \end{cases}$ tenglamalar sistemasining yechimi bo'lgan $(x; y)$ juftlikni toping.
4. $\begin{cases} x + y = 24 \\ y = 3x \end{cases}$ tenglamalar sistemasini yeching.
5. $\begin{cases} 2x + 6y = 10 \\ x + 3y = 5 \end{cases}$ sistema nechta yechimga ega?
6. $\begin{cases} 4x - 2y = 5 \\ 2x - y = 7 \end{cases}$ sistema nechta yechimga ega?
7. $\begin{cases} kx + 3y = 7 \\ 2x + y = 4 \end{cases}$ sistema yagona yechimga ega bo'lishi uchun $k$ qanday shartni qanoatlantirishi kerak?
8. Ikki sonning yig'indisi 30 ga, ularning ayirmasi esa 8 ga teng. Shu sonlardan kattasini toping.
9. $\begin{cases} 2x + y = 9 \\ x = y + 3 \end{cases}$ tenglamalar sistemasini yeching.
10. $\begin{cases} ax + 3y = 11 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$ sistemaning yechimi $(2; 3)$ bo'lsa, $a$ ning qiymatini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. Qiymatlarni qo'yamiz: $2 + 3\cdot 1 = 5$ (to'g'ri) va $2\cdot 2 - 1 = 3$ (to'g'ri). Ikkala tenglik to'g'ri bo'lgani uchun: Ha, yechim bo'ladi.
2. 1-tenglama: $2\cdot 3 + (-1) = 5$ (to'g'ri). 2-tenglama: $3 - 2\cdot(-1) = 3 + 2 = 5 \neq 4$ (noto'g'ri). Javob: Yo'q, yechim bo'lmaydi.
3. Tenglamalarni qo'shamiz: $2x = 18 \implies x = 9$. U holda $y = 14 - 9 = 5$. Javob: $(9; 5)$.
4. 1-tenglamadagi $y$ o'rniga $3x$ qo'yamiz: $x + 3x = 24 \implies 4x = 24 \implies x = 6$. U holda $y = 3\cdot 6 = 18$. Javob: $(6; 18)$.
5. Nisbatlarni tekshiramiz: $\frac{2}{1} = \frac{6}{3} = \frac{10}{5} = 2$. Barcha nisbatlar teng bo'lgani uchun: Cheksiz ko'p yechimga ega.
6. Nisbatlarni tekshiramiz: $\frac{4}{2} = \frac{-2}{-1} = 2$, lekin ozod hadlar nisbati $\frac{5}{7} \neq 2$. Demak: Yechimga ega emas (0 ta yechim).
7. Yagona yechim bo'lishi uchun $\frac{k}{2} \neq \frac{3}{1}$ bo'lishi kerak. Bundan: $k \neq 6$. Javob: $k \neq 6$.
8. $\begin{cases} x + y = 30 \\ x - y = 8 \end{cases}$. Qo'shsak: $2x = 38 \implies x = 19$. Kichik son: $y = 30 - 19 = 11$. Katta son: 19. Javob: 19.
9. 1-tenglamadagi $x$ o'rniga $y + 3$ qo'yamiz: $2(y + 3) + y = 9 \implies 2y + 6 + y = 9 \implies 3y = 3 \implies y = 1$. U holda $x = 1 + 3 = 4$. Javob: $(4; 1)$.
10. $x = 2, y = 3$ ni 1-tenglamaga qo'yamiz: $a\cdot 2 + 3\cdot 3 = 11 \implies 2a + 9 = 11 \implies 2a = 2 \implies a = 1$. Tekshirish: $2\cdot 2 - 3 = 1$ ✓. Javob: $a = 1$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Tekshirishni faqat bitta tenglamada bajarish. Juftlik bitta tenglamani qanoatlantirsa ham, ikkinchisini qanoatlantirmasligi mumkin. ✗ " $(3; 5)$ juftligi $2x + y = 11$ ga to'g'ri keldi, demak u sistemaning yechimi." ✓ Har ikkala tenglamaga alohida qo'yib tekshirish shart: $3\cdot 3 - 2\cdot 5 = -1 \neq 6$ bo'lgani uchun yechim emas!

2. Yechimni bitta son deb o'ylash. ✗ "Sistemaning yechimi $x = 4$." ✓ Sistema yechimi doimo ikkita sonning tartiblangan juftligidir: $(4; 3)$ yoki $x = 4, y = 3$.

3. "Yechim yo'q" bilan $(0; 0)$ yechimni adashtirish. ✗ "Noma'lumlar 0 ga teng chiqsa, sistema yechimga ega emas." ✓ $(0; 0)$ juftligi — bu ham to'laqonli aniq bitta yechimdir (masalan, $\begin{cases} x + y = 0 \\ x - y = 0 \end{cases}$ ning yechimi $(0; 0)$). "Yechim yo'q" esa hech qanday sonlar jufti tengliklarni to'g'ri qila olmasligini bildiradi.

4. Nisbatlarni tekshirishda ishoralarni unutish. ✗ $\begin{cases} 2x - 3y = 4 \\ 4x + 6y = 8 \end{cases}$ da $\dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{6}$ deb xulosa qilish. ✓ $y$ ning oldidagi ishoralar har xil: $\dfrac{-3}{6} = -\dfrac{1}{2}$, lekin $\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$. Nisbatlar teng emas ($\dfrac{1}{2} \neq -\dfrac{1}{2}$), demak bu sistema yagona yechimga ega!

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Sistemalarni sinab ko'rish yoki mantiqiy taxmin qilish faqat eng sodda hollardagina yordam beradi. Murakkabroq koeffitsientli sistemalarni tez va xatosiz yechish uchun algebraik usullar zarur. Keyingi darsda biz eng muhim ikki usul — o'rniga qo'yish va algebraik qo'shish usullarini mukammal o'rganamiz.