Ikki noma'lumli chiziqli tenglama

Bu nima va nega kerak

Oldingi darslarda biz faqat bitta noma'lum qatnashgan tenglamalarni yechdik. Masalan, "Daftar 3 000 so'm tursa, 4 ta daftar necha pul bo'ladi?" kabi savollarda bitta noma'lum yetarli edi.

Ammo hayotda ko'pincha bir vaqtning o'zida ikkita noma'lum miqdor bilan to'qnashamiz.

Tasavvur qiling: do'kondan bir nechta daftar va ruchka sotib oldingiz. Jami 10 ta buyum xarid qildingiz. Nechta daftar va nechta ruchka olgansiz?

Agar daftarlar sonini $x$, ruchkalar sonini $y$ desak, quyidagi tenglik hosil bo'ladi:

$x + y = 10.$

Bu tenglamaning yagona javobi bormi? Yo'q!

• 1 ta daftar va 9 ta ruchka bo'lishi mumkin ($1 + 9 = 10$).
• 4 ta daftar va 6 ta ruchka bo'lishi mumkin ($4 + 6 = 10$).
• 7 ta daftar va 3 ta ruchka bo'lishi mumkin ($7 + 3 = 10$).

Ko'rib turganingizdek, bu yerda javob bitta son emas, balki ikkita son juftligi bo'ladi. Bunday tenglamalar fanda, iqtisodiyotda va kundalik hisob-kitoblarda doimiy uchraydi.

Asosiy g'oya

Ta'rif

$ax + by = c$ ko'rinishidagi tenglama ikki noma'lumli chiziqli tenglama deyiladi.

Bunda:

• $x$ va $y$ — noma'lumlar (o'zgaruvchilar);
• $a$ va $b$ — noma'lumlar oldidagi koeffitsientlar ($a$ va $b$ bir vaqtda 0 ga teng emas);
• $c$ — ozod had (son).

"Chiziqli" deyilishining sababi — har ikkala noma'lum ham birinchi darajada qatnashadi ($x^2$, $y^3$ yoki $xy$ ko'paytma yo'q). Agar bu tenglamaning grafigini koordinatalar tekisligida chizsak, to'g'ri chiziq hosil bo'ladi.

Tenglamaning yechimi nima?

Ikki noma'lumli $ax + by = c$ tenglamani to'g'ri sonli tenglikka aylantiruvchi $(x; y)$ sonlar juftligi shu tenglamaning yechimi (yoki ildizi) deyiladi.

Muhim qoida: Yechim doimo tartiblangan juftlik $(x; y)$ ko'rinishida yoziladi. Birinchi o'rinda albatta $x$ ning qiymati, ikkinchi o'rinda esa $y$ ning qiymati turadi. Masalan, $(2; 5)$ va $(5; 2)$ — umuman boshqa-boshqa juftliklar!

Yechimlar soni

Agar qo'shimcha shart bo'lmasa, bitta ikki noma'lumli chiziqli tenglama cheksiz ko'p yechimga ega bo'ladi.

Chunki biz $x$ ga istalgan sonni qo'yib, unga mos keluvchi $y$ ning qiymatini hisoblab topishimiz mumkin.

Bir noma'lumni ikkinchisi orqali ifodalash

Bu amaliyot tenglamalar sistemasini yechishda eng asosiy qurolimiz bo'ladi.

1. $y$ ni $x$ orqali ifodalash: $y$ qatnashgan hadni chapda qoldirib, qolganlarini o'ngga o'tkazamiz va $y$ ning koeffitsientiga bo'lamiz: $2x + y = 7 \;\implies\; y = 7 - 2x.$
2. $x$ ni $y$ orqali ifodalash: $x$ qatnashgan hadni chapda qoldirib, qolganlarini o'ngga o'tkazamiz: $x - 3y = 4 \;\implies\; x = 4 + 3y.$

Yechilgan misollar

1-misol. Berilgan juftlik yechim bo'lishini tekshirish

$2x + 3y = 19$ tenglama berilgan. Quyidagi sonlar juftliklaridan qaysilari ushbu tenglamaning yechimi bo'ladi: a) $(5; 3)$; b) $(2; 5)$; c) $(4; 4)$?

Yechish: Har bir juftlikdagi birinchi sonni $x$ o'rniga, ikkinchi sonni $y$ o'rniga qo'yib tekshiramiz:

• a) $(5; 3)$ juftligi: $x = 5$, $y = 3$. $2\cdot 5 + 3\cdot 3 = 10 + 9 = 19.$ $19 = 19$ — tenglik to'g'ri. Demak, $(5; 3)$ — yechim bo'ladi ✓.

• b) $(2; 5)$ juftligi: $x = 2$, $y = 5$. $2\cdot 2 + 3\cdot 5 = 4 + 15 = 19.$ $19 = 19$ — tenglik to'g'ri. Demak, $(2; 5)$ — yechim bo'ladi ✓.

• c) $(4; 4)$ juftligi: $x = 4$, $y = 4$. $2\cdot 4 + 3\cdot 4 = 8 + 12 = 20.$ $20 \neq 19$ — tenglik noto'g'ri. Demak, $(4; 4)$ — yechim emas ✗.

Javob: $(5; 3)$ va $(2; 5)$ juftliklari yechim bo'ladi.

---

2-misol. Bir noma'lumni ikkinchisi orqali ifodalash

$3x - y = 7$ tenglama berilgan. a) $y$ ni $x$ orqali ifodalang; b) $x = 1$, $x = 3$ va $x = 5$ bo'lganda $y$ ning mos qiymatlarini toping.

Yechish:

• a) $-y$ ni o'ng tomonga, 7 ni chap tomonga o'tkazamiz (yoki $-y = 7 - 3x$ deb, ikkala tomonni $-1$ ga ko'paytiramiz): $y = 3x - 7.$

• b) Topilgan ifodaga $x$ ning berilgan qiymatlarini qo'yamiz:

  • Agar $x = 1$ bo'lsa: $y = 3\cdot 1 - 7 = 3 - 7 = -4$. Juftlik: $(1; -4)$.
  • Agar $x = 3$ bo'lsa: $y = 3\cdot 3 - 7 = 9 - 7 = 2$. Juftlik: $(3; 2)$.
  • Agar $x = 5$ bo'lsa: $y = 3\cdot 5 - 7 = 15 - 7 = 8$. Juftlik: $(5; 8)$.

Javob: $y = 3x - 7$; mos juftliklar: $(1; -4)$, $(3; 2)$, $(5; 8)$.

---

3-misol. Noma'lum koeffitsientni topish

$(3; -2)$ sonlar juftligi $ax + 5y = 2$ tenglamaning yechimi ekani ma'lum. $a$ sonini toping.

Yechish: Juftlik yechim bo'lgani uchun $x = 3$ va $y = -2$ qiymatlar tenglamani to'g'ri tenglikka aylantiradi. Ularni tenglamaga qo'yamiz:

$a\cdot 3 + 5\cdot(-2) = 2.$

Hosil bo'lgan bir noma'lumli chiziqli tenglamani $a$ ga nisbatan yechamiz:

$3a - 10 = 2 \;\implies\; 3a = 2 + 10 \;\implies\; 3a = 12 \;\implies\; a = 4.$

Tekshirish: $4\cdot 3 + 5\cdot(-2) = 12 - 10 = 2$ ✓.

Javob: $a = 4$.

---

4-misol. Natural sonlardagi yechimlarni topish

$2x + 5y = 20$ tenglamaning barcha natural yechimlarini (ya'ni $x > 0, y > 0$ butun sonlar) toping.

Yechish: Avval bitta noma'lumni ikkinchisi orqali ifodalaymiz. Koeffitsienti kichikroq bo'lgan $x$ ni ifodalash qulay:

$2x = 20 - 5y \;\implies\; x = \frac{20 - 5y}{2}.$

$x$ natural son bo'lishi uchun ikkita shart bajarilishi kerak:

1. $20 - 5y > 0 \implies 5y < 20 \implies y < 4$. Demak, natural $y$ faqat 1, 2 yoki 3 bo'lishi mumkin.
2. $20 - 5y$ soni 2 ga qoldiqsiz bo'linishi kerak (ya'ni juft son bo'lishi lozim). 20 juft bo'lgani uchun, $5y$ ham juft bo'lishi shart, demak $y$ juft son.

$y < 4$ bo'lgan yagona juft natural son — bu $y = 2$. $y = 2$ bo'lganda: $x = \frac{20 - 5\cdot 2}{2} = \frac{20 - 10}{2} = \frac{10}{2} = 5.$

$x = 5$ va $y = 2$ — ikkalasi ham natural sonlar.

Javob: Yagona natural yechim: $(5; 2)$.

---

5-misol. Hayotiy masala

Sotuvchida faqat 2 000 so'mlik va 5 000 so'mlik kupyuralar bor. Xaridorga 23 000 so'm qaytimni shu kupyuralardan kamida bittadan ishlatib necha xil usulda berish mumkin?

Yechish:

• 5 000 so'mlik kupyuralar soni $x$ bo'lsin ($x \ge 1$, butun son).
• 2 000 so'mlik kupyuralar soni $y$ bo'lsin ($y \ge 1$, butun son).

Tenglama tuzamiz: $5000x + 2000y = 23000.$

Ikkala tomonni 1 000 ga bo'lib soddalashtiramiz: $5x + 2y = 23.$

$2y$ ni ajratamiz: $2y = 23 - 5x \;\implies\; y = \frac{23 - 5x}{2}.$

$y$ butun va musbat bo'lishi uchun $23 - 5x > 0 \implies 5x < 23 \implies x \le 4$. Shuningdek, $23 - 5x$ juft son bo'lishi kerak. 23 toq son, demak $5x$ toq bo'lishi lozim, ya'ni $x$ toq son: $x \in \{1, 3\}$.

1. Agar $x = 1$ bo'lsa: $y = \frac{23 - 5\cdot 1}{2} = \frac{18}{2} = 9$. (1 ta 5 000 so'mlik va 9 ta 2 000 so'mlik: $1\cdot 5000 + 9\cdot 2000 = 23000$ so'm).
2. Agar $x = 3$ bo'lsa: $y = \frac{23 - 5\cdot 3}{2} = \frac{8}{2} = 4$. (3 ta 5 000 so'mlik va 4 ta 2 000 so'mlik: $3\cdot 5000 + 4\cdot 2000 = 23000$ so'm).

Javob: 2 xil usulda berish mumkin: $(1; 9)$ va $(3; 4)$.

Mashq

Quyidagi topshiriqlarni daftaringizda mustaqil yeching, so'ng yechim yo'li bilan tekshiring:

1. $x + y = 14$ tenglamada $x = 6$ bo'lsa, $y$ ning qiymatini toping.
2. $(3; -2)$ juftligi $4x + 5y = 2$ tenglamaning yechimi bo'ladimi?
3. $2x - y = 5$ tenglamadan $y$ ni $x$ orqali ifodalang va $x = 4$ bo'lgandagi $y$ ning qiymatini hisoblang.
4. $x + 3y = 11$ tenglamadan $x$ ni $y$ orqali ifodalang va $y = 3$ bo'lgandagi $x$ ning qiymatini toping.
5. $3x + 2y = 24$ tenglamaning barcha natural yechimlarini toping.
6. $(k; 3)$ sonlar juftligi $5x - 2y = 14$ tenglamaning yechimi bo'lsa, $k$ sonini toping.
7. $x + 4y = 20$ tenglamada $x$ va $y$ o'zaro teng bo'lsa ($x = y$), bu son nechaga teng?
8. $3x - 7y = 1$ tenglamada $y = 2$ bo'lsa, $x$ ning qiymatini toping.
9. $ax + 3y = 15$ tenglamaning grafigi $(3; 1)$ nuqtadan o'tishi ma'lum bo'lsa, $a$ koeffitsientni toping.
10. $x$ va $y$ butun sonlar bo'lib, $x + y = 7$ va $x - y = 3$ shartlarni qanoatlantirsa, $(x; y)$ juftligini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $6 + y = 14 \implies y = 14 - 6 = 8$. Javob: $y = 8$.
2. Chap tomonga qo'yamiz: $4\cdot 3 + 5\cdot(-2) = 12 - 10 = 2$. O'ng tomon 2 ga teng. Javob: Ha, yechim bo'ladi.
3. $-y = 5 - 2x \implies y = 2x - 5$. $x = 4$ da: $y = 2\cdot 4 - 5 = 8 - 5 = 3$. Javob: $y = 2x - 5$; $y = 3$.
4. $x = 11 - 3y$. $y = 3$ da: $x = 11 - 3\cdot 3 = 11 - 9 = 2$. Javob: $x = 11 - 3y$; $x = 2$.
5. $2y = 24 - 3x \implies y = \frac{24 - 3x}{2}$. $y$ natural bo'lishi uchun $24 - 3x > 0 \implies 3x < 24 \implies x < 8$. Shuningdek, $3x$ juft bo'lishi kerak, demak $x$ juft son ($x \in \{2, 4, 6\}$):
   • $x = 2 \implies y = \frac{24 - 6}{2} = 9$;
   • $x = 4 \implies y = \frac{24 - 12}{2} = 6$;
   • $x = 6 \implies y = \frac{24 - 18}{2} = 3$. Javob: 3 ta juftlik: $(2; 9)$, $(4; 6)$, $(6; 3)$.
6. $x = k$ va $y = 3$ ni qo'yamiz: $5k - 2\cdot 3 = 14 \implies 5k - 6 = 14 \implies 5k = 20 \implies k = 4$. Javob: $k = 4$.
7. $x = y$ bo'lgani uchun $y$ o'rniga $x$ qo'yamiz: $x + 4x = 20 \implies 5x = 20 \implies x = 4$. Javob: $4$.
8. $3x - 7\cdot 2 = 1 \implies 3x - 14 = 1 \implies 3x = 15 \implies x = 5$. Javob: $x = 5$.
9. $x = 3, y = 1$ ni qo'yamiz: $a\cdot 3 + 3\cdot 1 = 15 \implies 3a + 3 = 15 \implies 3a = 12 \implies a = 4$. Javob: $a = 4$.
10. Ikkala tenglikni qo'shsak: $(x + y) + (x - y) = 7 + 3 \implies 2x = 10 \implies x = 5$. U holda $y = 7 - 5 = 2$. Tekshirish: $5 + 2 = 7$ va $5 - 2 = 3$ ✓. Javob: $(5; 2)$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Juftlikdagi $x$ va $y$ o'rnini almashtirib qo'yish. Masalan, $(2; 5)$ juftligini tekshirishda birinchi son $y$, ikkinchisi $x$ deb adashishadi. ✗ $2x + y = 9$ ga tekshirganda: $2\cdot 5 + 2 = 12$ deb yozish. ✓ Birinchi son doimo $x$, ikkinchisi $y$: $x = 2, y = 5$, demak $2\cdot 2 + 5 = 9$ ✓.

2. Noma'lumni ifodalashda ishoralarni unutish. ✗ $3x - y = 8 \implies y = 8 - 3x$ (minus yo'qotib yuborilgan). ✓ $-y = 8 - 3x \implies y = 3x - 8$.

3. "Bitta tenglamaning faqat bitta yechimi bor" deb o'ylash. ✗ $x + y = 10$ tenglamaning yagona yechimi $x = 5, y = 5$. ✓ Bitta chiziqli tenglama cheksiz ko'p juftlik yechimlariga ega: $(1; 9), (2; 8), (0; 10), (-3; 13), \dots$.

4. Koeffitsientga bo'lishda faqat bitta hadni bo'lish. ✗ $2x + 4y = 10 \implies x = 10 - 2y$ (ozod had 2 ga bo'linmay qolgan). ✓ Barcha hadlar 2 ga bo'linadi: $x + 2y = 5 \implies x = 5 - 2y$.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Bitta tenglamaning yechimlari cheksiz ko'p ekanini ko'rdik. Agar ikkita shart birdaniga bajarilishi kerak bo'lsa nima qilamiz? Keyingi darsda biz chiziqli tenglamalar sistemasi bilan tanishamiz va ikkita tenglamani birlashtirib yagona yechim topishni o'rganamiz.