Harfli ifodalar va ularning qiymati

Bu nima va nega kerak

Do'konda qalam 1 500 so'm turadi. Siz $n$ ta qalam olmoqchisiz. Jami narxni aytib berish uchun kassir $n$ ning qiymatini bilishi kerak. Lekin biz oldindan bitta formulani yozishimiz mumkin: jami = $1500 \cdot n$.

Bu yerda $n$ — harf, u istalgan musbat son bo'lishi mumkin. Ana shunday harflardan tuzilgan yozuv — harfli ifoda.

Harfli ifodalar matematik tilning asosi. Fizikada $F = ma$, iqtisodda foyda $= daromad - xarajat$, DTM masalalarida deyarli har doim biror formula ishlatiladi. Shuning uchun harfli ifodalarni o'qish, yozish va qiymatini hisoblash — butun matematikaning boshlang'ich ko'nikmasi.

Asosiy g'oya

Harfli ifoda — sonlar, harflar va arifmetik amallar (+, −, ·, ÷) yordamida yozilgan yozuv.

Harflar o'zgaruvchi deyiladi, chunki ularga turli sonlar qo'ysa bo'ladi. O'zgaruvchiga ma'lum qiymat berganmizda va hisob-kitob bajarganimizda, ifodaning qiymatini topamiz.

Muhim yozuv qoidalari:

• $2 \cdot a$ o'rniga odatda $2a$ yoziladi (ko'paytirish belgisi tushiriladi).
• $a \cdot b$ o'rniga $ab$.
• $a \div b$ o'rniga $\dfrac{a}{b}$.
• Harf birinchi bo'lsa ham bo'ladi: $a2$ emas, $2a$ yozamiz (son oldinga chiqadi).

Ifodadagi harflarga qo'yiladigan sonlar uning qiymati domenini belgilaydi (masalan, bo'luvchi nolga teng bo'lmasligi kerak).

Yechilgan misollar

1-misol. Ifodaning qiymatini topish

$a = 4, b = 3$ bo'lsa, $3a - 2b + 5$ ning qiymatini toping.

• $a$ o'rniga 4, $b$ o'rniga 3 qo'yamiz: $3\cdot 4 - 2\cdot 3 + 5$.
• Chapdan o'ngga hisoblaymiz: $12 - 6 + 5 = 11$.

Javob: 11.

---

2-misol. Ikki o'zgaruvchili ifoda

$x = 2, y = 5$ bo'lsa, $x^2 + xy - y$ ning qiymatini toping.

• $x^2 = 2^2 = 4$.
• $xy = 2 \cdot 5 = 10$.
• Jami: $4 + 10 - 5 = 9$.

Javob: 9.

---

3-misol. Kasrli ifoda

$a = 6, b = 2$ bo'lsa, $\dfrac{a + b}{a - b}$ ning qiymatini toping.

• Suratda: $a + b = 6 + 2 = 8$.
• Maxrajda: $a - b = 6 - 2 = 4$.
• $\dfrac{8}{4} = 2$.

Javob: 2.

Eslatma: $a = b$ bo'lganda maxraj nolga teng bo'lib, ifoda ma'nosi yo'qoladi. Bunday qiymatlar ta'rif sohasidan chiqariladi.

---

4-misol. So'z masalasini ifodaga aylantirish

Poyezdning tezligi $v$ km/soat, yo'l $s$ km. Ketgan vaqtni ifodalaymiz.

Vaqt $= \dfrac{s}{v}$ soat.

Agar $s = 300$, $v = 60$ bo'lsa: $\dfrac{300}{60} = 5$ soat.

---

Mashq

1. $x = 3$ bo'lsa, $4x - 7$ ning qiymatini toping.
2. $a = 2, b = 5$ bo'lsa, $a^2 + 2ab + b^2$ ning qiymatini toping.
3. $m = 10, n = 4$ bo'lsa, $\dfrac{m}{n} + mn$ ni hisoblang.
4. $p = 1, q = -2$ bo'lsa, $p^2 - q^2$ ni toping.
5. $x = 0$ bo'lsa, $5x^2 - 3x + 7$ ni hisoblang.
6. $a = 3, b = 3$ bo'lsa, $\dfrac{a^2 - b^2}{a - b}$ ning qiymatini toping. (Maxrajga diqqat!)
7. Tovarning narxi $t$ so'm, 20% chegirma berilsa, chegirmadagi narxni harfli ifoda bilan yozing.
8. Uchburchak tomonlari $a$, $b$, $c$. Perimetrini ifodalaymiz.
9. $k = -1$ bo'lsa, $k^3 - k$ ning qiymatini toping.
10. $x = 4, y = 0{,}5$ bo'lsa, $2x \cdot y - x + y$ ni hisoblang.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $4\cdot3 - 7 = 12 - 7 = 5$.
2. $4 + 20 + 25 = 49$. (Yoki: $(a+b)^2 = 7^2 = 49$ — erta tekshirish.)
3. $\dfrac{10}{4} + 10\cdot4 = 2{,}5 + 40 = 42{,}5$.
4. $1 - 4 = -3$.
5. $0 - 0 + 7 = 7$.
6. $a = b = 3$ bo'lganda maxraj $= 0$; ifoda ta'riflanmaydi.
7. $t - 0{,}2t = 0{,}8t$ so'm.
8. $P = a + b + c$.
9. $(-1)^3 - (-1) = -1 + 1 = 0$.
10. $2\cdot4\cdot0{,}5 - 4 + 0{,}5 = 4 - 4 + 0{,}5 = 0{,}5$.

Keng tarqalgan xatolar

1. O'zgaruvchi o'rniga qiymat qo'yishni unutish. ✗ $2a + 3$, $a = 5$ bo'lsa: "$2a + 3 = 2a + 3$" — hisob qilinmadi. ✓ $2\cdot5 + 3 = 13$.

2. Daraja amali ustuvorligini unutish. ✗ $a = 3$: $2a^2 = (2\cdot3)^2 = 36$. ✓ $2a^2 = 2\cdot3^2 = 2\cdot9 = 18$. (Avval daraja, keyin ko'paytirish.)

3. Maxraj nolga teng bo'lganda hisoblash. ✗ $a = b$ bo'lsa $\dfrac{a-b}{a-b} = 0$ deyish. ✓ Maxraj $= 0$ bo'lsa, ifoda ta'riflanmaydi.

4. Manfiy son bilan ishorani aralashtirish. ✗ $x = -2$: $x^2 = -4$. ✓ $(-2)^2 = 4$ (manfiy soning kvadrati musbat).

5. Ko'paytirish belgisini tushirish joyini noto'g'ri tushunish. ✗ $a3$ — noto'g'ri yozuv. ✓ $3a$ — son harfdan oldin yoziladi.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Endi harfli ifodalar bilan yanada murakkab amal — daraja bilan tanishamiz. Daraja ko'plab formulalarda uchraydi: kvadrat, kub, va yuqori ko'rsatkichli darajalar.