Ko'phadlar, qo'shish va ayirish

Bu nima va nega kerak

Do'konda narx-navo o'zgaradi: bug'doy narxi $3p + 100$ so'm, sholi narxi $2p - 50$ so'm (bu yerda $p$ — bozor indeksi). Jami xarajat qancha? Ikki harfli ifodani qo'shish kerak.

Ko'phadlar — kundalik hayotdagi o'zgaruvchan kattaliklar modelidir. Fizikada jism yo'li $s = v_0t + \dfrac{at^2}{2}$ — bu uch hadli ko'phad. Daromad, foyda, masofa — hammasi ko'phadlar yordamida hisoblanadi. Ularni qo'sha va ayira bilish — keyingi barcha algebra mavzularining asosi.

Asosiy g'oya

Ta'rif. Birhadlarning algebraik yig'indisi ko'phad deyiladi. Har bir birhad ko'phadning hadi deyiladi.

Misollar:

• $5x + 3$ — ikki hadli (binomial)
• $a^2 - 2ab + b^2$ — uch hadli (trinomial)
• $3x^4 - x^2 + 2x - 7$ — to'rt hadli

Ko'phadning darajasi — eng katta darajali hadning darajasi. Masalan, $4x^3 - x + 2$ ning darajasi $3$.

Standart ko'rinish — ko'phadning hadlari darajasi kamayish tartibida yoziladi: $3x^4 - 2x^3 + x - 5.$

Ko'phadlarni qo'shish algoritmi:

1. Qavslarni oching.
2. O'xshash hadlarni (bir xil harf qismlilarni) birgalikda yig'ing.
3. Standart ko'rinishga keltirib yozing.

Ko'phadlarni ayirish: Ayiriluvchining har bir hadidan ayiradigan ko'phadning mos hadini ayiramiz. Bu amalda ikkinchi ko'phadning barchа hadlari ishorasini almashtirish bilan tengdir: $(A) - (B) = A + (-B).$

Yechilgan misollar

1-misol. Ko'phadlarni qo'shish

$(2x^2 + 3x - 1) + (x^2 - x + 4)$ ni soddalashtiring.

• Qavslarni ochamiz: $2x^2 + 3x - 1 + x^2 - x + 4$.
• O'xshash hadlarni yig'amiz:
  • $x^2$ lar: $2x^2 + x^2 = 3x^2$.
  • $x$ lar: $3x - x = 2x$.
  • Sonlar: $-1 + 4 = 3$.
• Javob: $3x^2 + 2x + 3$.

---

2-misol. Ko'phadlarni ayirish

$(5a^2 - 2a + 3) - (2a^2 + a - 1)$ ni soddalashtiring.

• Ikkinchi ko'phadning barcha ishoralarini almashtirish: $5a^2 - 2a + 3 - 2a^2 - a + 1$.
• O'xshash hadlar:
  • $a^2$: $5a^2 - 2a^2 = 3a^2$.
  • $a$: $-2a - a = -3a$.
  • Sonlar: $3 + 1 = 4$.
• Javob: $3a^2 - 3a + 4$.

---

3-misol. Uch ko'phadni qo'shish

$(x^2 - 3) + (2x + 5) + (-x^2 + 2x - 2)$ ni soddalashtiring.

• Qavslarni ochamiz: $x^2 - 3 + 2x + 5 - x^2 + 2x - 2$.
• $x^2$: $x^2 - x^2 = 0$.
• $x$: $2x + 2x = 4x$.
• Sonlar: $-3 + 5 - 2 = 0$.
• Javob: $4x$.

---

4-misol. Qiymat topish

$A = 3m^2 - 2m + 1$ va $B = m^2 + m - 3$ bo'lsa, $A - B$ ni $m = 2$ da hisoblang.

• Avval $A - B$ ni soddalashtiring: $(3m^2 - 2m + 1) - (m^2 + m - 3) = 2m^2 - 3m + 4$.
• Endi $m = 2$ qo'yamiz: $2\cdot4 - 3\cdot2 + 4 = 8 - 6 + 4 = 6$.
• Javob: 6.

---

Mashq

1. $(3x + 5) + (2x - 3)$ ni soddalashtiring.
2. $(a^2 + 2a - 1) + (3a^2 - a + 4)$ ni hisoblang.
3. $(7b - 2) - (3b + 4)$ ni soddalashtiring.
4. $(4x^2 - x + 2) - (x^2 - 3x - 1)$ ni soddalashtiring.
5. $A = 2n^2 - n + 3$ va $B = n^2 + n - 1$ uchun $A + B$ ni toping.
6. Yuqoridagi $A$ va $B$ uchun $A - B$ ni toping.
7. $(p^3 - p + 2) + (p^2 - p^3 + p - 2)$ ni soddalashtiring.
8. $(5t^2 - 3t + 1) - (5t^2 + 3t - 1)$ ni hisoblang.
9. Ko'phad $P = x^2 - 3x + c$ da $x = 2$ da $P = 3$ bo'lsa, $c$ ni toping.
10. $(2a - b) + (3b - a) - (a + 2b)$ ni soddalashtiring.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $(3+2)x + (5-3) = 5x + 2$.
2. $(1+3)a^2 + (2-1)a + (-1+4) = 4a^2 + a + 3$.
3. $(7-3)b + (-2-4) = 4b - 6$.
4. $(4-1)x^2 + (-1+3)x + (2+1) = 3x^2 + 2x + 3$.
5. $(2+1)n^2 + (-1+1)n + (3-1) = 3n^2 + 2$.
6. $(2-1)n^2 + (-1-1)n + (3+1) = n^2 - 2n + 4$.
7. $p^3 - p^3 = 0$; $p^2$; $-p + p = 0$; $2 - 2 = 0$. Javob: $p^2$.
8. $0 - 6t + 2 = -6t + 2$.
9. $4 - 6 + c = 3 \Rightarrow c = 5$.
10. $2a - a - a = 0$; $-b + 3b - 2b = 0$. Javob: $0$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Ayirganda ichki qavsni ochishni unutish (ishora almashmaslik). ✗ $(5a - 2) - (3a + 4) = 5a - 2 - 3a + 4 = 2a + 2$. ✓ $5a - 2 - 3a - 4 = 2a - 6$. (Minus qavs oldida — barcha ishoralar almashadi.)

2. O'xshash bo'lmagan hadlarni qo'shish. ✗ $3x^2 + 2x = 5x^2$. ✓ $3x^2 + 2x$ — bu allaqacha sodda; $x^2$ va $x$ — farqli.

3. Ko'phadning darajasini noto'g'ri aniqlash. ✗ $3x^4 - 2x^3 + x$ ning darajasi $3+4 = 7$. ✓ Daraja — eng katta ko'rsatkich: $4$.

4. Standart ko'rinishni teskari yozish. ✗ $1 - 2x + 3x^2$ — daraja o'sish tartibida. ✓ $3x^2 - 2x + 1$ — daraja kamayish tartibida.

5. Nol had hosil bo'lganda uni tark etmaslik. ✗ $x^2 - x^2 + 2x = x^2 + 2x$. ✓ $0 + 2x = 2x$.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Ko'phadlarni qo'shish va ayirishni o'rganib oldingiz. Endi eng muhim amal — ko'phadni ko'paytirish ga o'tamiz.