Birhadlar va ular ustida amallar

Bu nima va nega kerak

Dars jadvalida "2 soat matematika" deb yozilgan. Bu yerda "2" va "soat matematika" birgalikda bitta kattalikni ifodalaydi. Algebrada ham shunday: $5x^2y$ — bitta yaxlit ifoda bo'lib, uni bo'laklarga ajratmasdan ishlatamiz.

Birhad (monomial) — bu eng asosiy "qurilish g'isht"i. Ko'phadlar, tenglamalar, funksiyalar — hammasi birhadlardan quriladi. Birhadlarni to'g'ri qo'sha, ko'paytirishni bilmay turib, algebraning yuqori qismlariga o'tib bo'lmaydi.

Asosiy g'oya

Ta'rif. Sonlar va harflarning ko'paytmasi (yoki bitta son yoki bitta harf) birhad deyiladi.

Misollar: $5$, $-3x$, $4a^2b$, $\dfrac{1}{2}xy^3$, $-7$ — bularning hammasi birhad.

Birhad emas: $3x + 2$ (qo'shish bor), $\dfrac{a}{b+1}$ (maxrajda qo'shish bor).

Birhadning tuzilishi:

• Koeffitsient — sonli omil (masalan, $4a^2b$ da koeffitsient $4$).
• Harf qismi — o'zgaruvchilar va ularning darajalari (masalan, $a^2b$).
• Daraja — barcha o'zgaruvchilarning ko'rsatkichlari yig'indisi (masalan, $4a^2b$ ning darajasi $2+1=3$).

O'xshash hadlar. Harf qismlari bir xil bo'lgan birhadlar o'xshash hadlar deyiladi: $3x^2y$ va $-7x^2y$ — o'xshash. Faqat o'xshash hadlarni qo'shish va ayirish mumkin.

Yechilgan misollar

1-misol. Birhadni tanishtirish

$-6a^3b^2$ birhadining koeffitsienti, harf qismi va darajasini aniqlang.

• Koeffitsient: $-6$.
• Harf qismi: $a^3b^2$.
• Daraja: $3 + 2 = 5$.

Javob: koeff. $-6$, harf qismi $a^3b^2$, daraja $5$.

---

2-misol. O'xshash hadlarni qo'shish

$7mn^2 + (-4mn^2) + mn^2$ ni soddalashtiring.

• Harf qismi barcharida $mn^2$ — o'xshash.
• Koeffitsientlarni yig'amiz: $7 + (-4) + 1 = 4$.
• Javob: $4mn^2$.

Qoida: Faqat koeffitsientlar qo'shiladi, harf qismi o'zgarmaydi.

---

3-misol. Birhadlarni ko'paytirish

$(5a^2b) \cdot (-2ab^3)$ ni hisoblang.

• Koeffitsientlar: $5 \cdot (-2) = -10$.
• $a$: $a^{2+1} = a^3$.
• $b$: $b^{1+3} = b^4$.
• Javob: $-10a^3b^4$.

Qoida: Ko'paytirishda koeffitsientlar ko'paytiriladi, bir xil harflarning ko'rsatkichlari qo'shiladi.

---

4-misol. Birhadlarga bo'lish

$\dfrac{15x^4y^3}{-3x^2y}$ ni soddalashtiring ($x, y \neq 0$).

• Koeffitsientlar: $15 \div (-3) = -5$.
• $x$: $x^{4-2} = x^2$.
• $y$: $y^{3-1} = y^2$.
• Javob: $-5x^2y^2$.

Qoida: Bo'lishda koeffitsientlar bo'linadi, ko'rsatkichlar ayiriladi.

---

Mashq

1. $3x^2$ va $-5x^2$ ning yig'indisini toping.
2. $2ab + 7ab - ab$ ni soddalashtiring.
3. $(4p^2) \cdot (3p^3)$ ni hisoblang.
4. $(-2xy^2) \cdot (5x^3y)$ ni hisoblang.
5. $\dfrac{18m^5}{6m^2}$ ni soddalashtiring ($m \neq 0$).
6. $\dfrac{-8a^3b^4}{4a^3b}$ ni soddalashtiring ($a, b \neq 0$).
7. $5x^2y$ va $3xy$ o'xshash hadmi? Izohlaymiz.
8. $(2a^2)^3$ ni hisoblang.
9. $\left(\dfrac{3x}{y}\right)^2$ ni hisoblang ($y \neq 0$).
10. $3n^2 - 7n^2 + 2n^2$ ni soddalashtiring.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $(3-5)x^2 = -2x^2$.
2. $(2+7-1)ab = 8ab$.
3. $4\cdot3 = 12$, $p^{2+3} = p^5$. Javob: $12p^5$.
4. $(-2)\cdot5 = -10$, $x^{1+3} = x^4$, $y^{2+1} = y^3$. Javob: $-10x^4y^3$.
5. $18\div6 = 3$, $m^{5-2} = m^3$. Javob: $3m^3$.
6. $-8\div4 = -2$, $a^{3-3} = a^0 = 1$, $b^{4-1} = b^3$. Javob: $-2b^3$.
7. Yo'q. Harf qismlari farqli: $x^2y \neq xy$. O'xshash emas.
8. $2^3 \cdot a^{2\cdot3} = 8a^6$.
9. $\dfrac{3^2x^2}{y^2} = \dfrac{9x^2}{y^2}$.
10. $(3-7+2)n^2 = -2n^2$.

Keng tarqalgan xatolar

1. O'xshash bo'lmagan hadlarni qo'shish. ✗ $3x^2 + 5x = 8x^2$ yoki $8x$. ✓ $3x^2 + 5x$ — bu allaqacha sodda ifoda; qo'shib bo'lmaydi (harf qismlari farqli).

2. Ko'paytirishda koeffitsientlarni qo'shish. ✗ $4a \cdot 2a = 6a^2$. ✓ $4a \cdot 2a = 4\cdot2 \cdot a^{1+1} = 8a^2$.

3. Ko'rsatkichlarni noto'g'ri qo'shish. ✗ $a^2 \cdot a^3 = a^6$. ✓ $a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$ (ko'rsatkichlar qo'shiladi, ko'paytirilmaydi).

4. Birhadda koeffitsient ishorasini tushirib qolish. ✗ $-5a^2$ ning koeffitsienti $5$. ✓ Koeffitsient $-5$ (minus birga kiradi).

5. Bo'lishda ko'rsatkichlarni ayirmasdan ko'paytirish. ✗ $\dfrac{a^6}{a^2} = a^{12}$. ✓ $\dfrac{a^6}{a^2} = a^{6-2} = a^4$.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Birhadlarni yaxshi o'rganib oldingiz. Endi bir necha birhadni qo'shib hosil bo'lgan ko'phadlar bilan tanishamiz.