Natural ko'rsatkichli daraja

Bu nima va nega kerak

Bakteriyalar har soatda ikki baravarga ko'payadi. 1 ta bakteriya bor edi. 10 soatdan keyin nechta bo'ladi?

Hisoblaymiz: $1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdots$ (10 marta) $= 2^{10} = 1024$.

Agar daraja tushunchasi bo'lmasa, bu sonni yozish qiyin. Daraja — bir xil ko'paytuvchini qayta-qayta yozmaslik uchun qulay yozuv.

Fizikada maydon $S = a^2$, hajm $V = a^3$, yorug'lik tezligi $c = 3\times10^8$ m/s — bularning hammasi daraja. DTMda daraja va uning xossalarini bilmasdan ko'plab masalalarni yechib bo'lmaydi.

Asosiy g'oya

Ta'rif. $a$ ning natural $n$ ko'rsatkichli darajasi — $a$ ni $n$ marta o'z-o'ziga ko'paytirish:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n \text{ ta}}.$

Bu yerda $a$ — asos, $n$ — ko'rsatkich (daraja ko'rsatkichi).

Maxsus holatlar:

• $a^1 = a$
• $a^0 = 1$ (nolga teng bo'lmagan har qanday $a$ uchun)

Darajaning xossalari ($a \neq 0$, $m, n$ — natural sonlar):

Xossa	Formula
Ko'paytirish	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
Bo'lish	$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Darajani darajaga ko'tarish	$(a^m)^n = a^{m\cdot n}$
Ko'paytmaning darajasi	$(ab)^n = a^n b^n$
Kasrning darajasi	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$

Muhim: Bu xossalar faqat bir xil asosga ega darajalar uchun ishlaydi ($a^m \cdot a^n$). Turli asoslar ($a^m \cdot b^n$) bevosita qo'shilmaydi.

Yechilgan misollar

1-misol. Darajani hisoblash

$3^4$ ni hisoblang.

• $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81$.

Javob: 81.

Qo'shimcha: $3^4 \neq 3 \cdot 4 = 12$. Ko'paytirish va daraja — farqli amallar!

---

2-misol. Ko'paytirish xossasi

$x^5 \cdot x^3$ ni soddalashtiring.

• Asoslar bir xil ($x$), ko'rsatkichlarni qo'shamiz: $x^{5+3} = x^8$.

Javob: $x^8$.

---

3-misol. Darajani darajaga ko'tarish va ko'paytmaning darajasi

$(2a^3)^4$ ni hisoblang.

• Ko'paytmaning darajasi: $(2a^3)^4 = 2^4 \cdot (a^3)^4$.
• $2^4 = 16$.
• $(a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12}$.
• Jami: $16a^{12}$.

Javob: $16a^{12}$.

---

4-misol. Manfiy asos va daraja

$(-3)^3$ va $(-3)^4$ ni hisoblang.

• $(-3)^3 = (-3)\cdot(-3)\cdot(-3) = 9\cdot(-3) = -27$. Toq ko'rsatkich → manfiy.
• $(-3)^4 = (-3)\cdot(-3)\cdot(-3)\cdot(-3) = 9 \cdot 9 = 81$. Juft ko'rsatkich → musbat.

Qoida: Manfiy sonning:

• juft ko'rsatkichli darajasi — musbat;
• toq ko'rsatkichli darajasi — manfiy.

---

5-misol. Darajalar bilan ifodani soddalashtirish

$\dfrac{a^6 \cdot a^2}{a^3}$ ni soddalashtiring ($a \neq 0$).

• Avval suratni: $a^6 \cdot a^2 = a^8$.
• Keyin bo'lamiz: $\dfrac{a^8}{a^3} = a^{8-3} = a^5$.

Javob: $a^5$.

---

Mashq

1. $5^3$ ni hisoblang.
2. $2^6$ ni hisoblang.
3. $(-1)^{101}$ ni hisoblang.
4. $a^4 \cdot a^7$ ni soddalashtiring.
5. $\dfrac{b^{10}}{b^4}$ ni soddalashtiring ($b \neq 0$).
6. $(x^2)^5$ ni soddalashtiring.
7. $(3b)^3$ ni oching.
8. $\left(\dfrac{a}{2}\right)^4$ ni hisoblang.
9. $2^3 \cdot 2^2 \div 2^4$ ni soddalashtiring.
10. $(-2)^3 + (-2)^4$ ni hisoblang.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $5\cdot5\cdot5 = 125$.
2. $2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 64$.
3. $(-1)^{101} = -1$ (toq ko'rsatkich).
4. $a^{4+7} = a^{11}$.
5. $b^{10-4} = b^6$.
6. $x^{2\cdot5} = x^{10}$.
7. $3^3 \cdot b^3 = 27b^3$.
8. $\dfrac{a^4}{2^4} = \dfrac{a^4}{16}$.
9. $2^{3+2-4} = 2^1 = 2$.
10. $(-8) + 16 = 8$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Darajani ko'paytirish bilan aralashtirish. ✗ $3^4 = 3 \cdot 4 = 12$. ✓ $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.

2. Turli asosli darajalarning ko'rsatkichlarini qo'shish. ✗ $a^3 \cdot b^2 = ab^5$. ✓ $a^3 \cdot b^2$ — bu allaqacha sodda, qo'shib bo'lmaydi.

3. Manfiy soning darajasida qavsni tushirish. ✗ $-3^2 = (-3)^2 = 9$. ✓ $-3^2 = -(3^2) = -9$, lekin $(-3)^2 = 9$. Farq bor!

4. Ko'rsatkichni ko'paytmaga ko'chirishni unutish. ✗ $(2a)^3 = 2a^3$. ✓ $(2a)^3 = 2^3 \cdot a^3 = 8a^3$.

5. $a^0 = 0$ deyish. ✗ $5^0 = 0$. ✓ $5^0 = 1$ (har qanday noldan farqli $a$ da $a^0 = 1$).

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Daraja tushunchasini o'rganib, endi birhadlar mavzusiga o'tamiz — daraja bilan yozilgan algebraik ifodalarning eng oddiy turiga.