Guruhlash usuli

Bu nima va nega kerak

Ko'cha bozorida bir sotuvchi 4 xil meva sotadi: olma, nok, olcha va gilos. Ularni tartibli joylashtirish uchun u avval olmalar bilan noklarni bir savatga (ikkisi ham yumshoq meva), olcha bilan gilosni esa boshqa savatga (ikkisi ham danchali meva) yig'adi. Keyin har savatni alohida boshqaradi.

Matematikada ham xuddi shunday qilamiz: guruhlash usuli bilan ko'p hadli ifodani «savatlar» — guruhlar — ga bo'lib, har guruhdan umumiy ko'paytuvchi chiqaramiz va oxirida butun ifodani ko'paytma shaklida yozamiz.

Bu usul DTM va olimpiadalarda tez-tez uchraydi: 4 va undan ko'p hadli ko'phadlarni soddalashtirish, kasrni qisqartirish, tenglama yechish — bularning hammasi guruhlashdan boshlanadi.

Asosiy g'oya

Ko'phadda 4 va undan ko'p had bo'lsa, biz ularni mos guruhlarga bo'lib, har guruhdan umumiy ko'paytuvchi chiqara olamiz. Shunda guruhlar o'rtasida yangi umumiy ko'paytuvchi paydo bo'ladi va uni ham chiqaramiz. Natijada butun ko'phad ko'paytma ko'rinishga keladi.

Algoritm — 4 qadam:

1. Bo'l: hadlarni mos guruhlarga ajrat (odatda ikkitadan-ikkita).
2. Chiqar: har guruhdan o'z umumiy ko'paytuvchisini ol.
3. Yana chiqar: agar yangi umumiy ko'paytuvchi hosil bo'lsa — uni ham chiqar.
4. Tekshir: ko'paytmani ochib, asl ifodani qayta oling.

Muhim: Guruhlarni turlicha tashkil qilish mumkin — asosiysi natija to'g'ri chiqsin. Masalan, $ax + ay + bx + by$ ni $ax + ay + bx + by = a(x+y)+b(x+y) = (x+y)(a+b)$ yoki $ax + bx + ay + by = x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)$ tarzida guruhlash mumkin — ikkisi ham bir xil natija beradi.

Yechilgan misollar

1-misol. Klassik to'rt hadli ko'phad

$ax + ay + bx + by$

1-qadam. Dastlabki ikkita had va keyingi ikkita hadni guruhlaymiz:

$(ax + ay) + (bx + by)$

2-qadam. Har guruhdan umumiy ko'paytuvchi chiqaramiz:

$a(x + y) + b(x + y)$

3-qadam. $(x+y)$ — ikkala guruhning umumiy ko'paytuvchisi, chiqaramiz:

$(x + y)(a + b)$

4-qadam. Tekshirish: $(x+y)(a+b) = ax+bx+ay+by$ ✓

---

2-misol. Kubli hadlar qatnashgan ifoda

$x^3 + x^2 + x + 1$

1-qadam. Guruhlash:

$(x^3 + x^2) + (x + 1)$

2-qadam. Umumiy ko'paytuvchilar:

$x^2(x + 1) + 1 \cdot (x + 1)$

3-qadam. $(x+1)$ ni chiqaramiz:

$(x + 1)(x^2 + 1)$

4-qadam. Tekshirish: $(x+1)(x^2+1) = x^3+x+x^2+1$ ✓

---

3-misol. Manfiy koeffitsientlar bilan ishlash

$2a^2 - 6a + ab - 3b$

1-qadam. Guruhlash:

$(2a^2 - 6a) + (ab - 3b)$

2-qadam. Umumiy ko'paytuvchilar:

$2a(a - 3) + b(a - 3)$

3-qadam. $(a-3)$ ni chiqaramiz:

$(a - 3)(2a + b)$

4-qadam. Tekshirish: $(a-3)(2a+b) = 2a^2+ab-6a-3b$ ✓

---

4-misol. Manfiy umumiy ko'paytuvchi

$3xy - 6x - y^2 + 2y$

1-qadam. Guruhlash:

$(3xy - 6x) + (-y^2 + 2y)$

2-qadam. Birinchi guruhdan $3x$, ikkinchisidan $-y$ chiqaramiz:

$3x(y - 2) - y(y - 2)$

3-qadam. $(y-2)$ ni chiqaramiz:

$(y - 2)(3x - y)$

4-qadam. Tekshirish: $(y-2)(3x-y) = 3xy - y^2 - 6x + 2y$ ✓

---

5-misol. DTM uslubidagi misol

$m^2 - mn + 2m - 2n$

1-qadam. Guruhlash:

$(m^2 - mn) + (2m - 2n)$

2-qadam. Umumiy ko'paytuvchilar:

$m(m - n) + 2(m - n)$

3-qadam. $(m-n)$ ni chiqaramiz:

$(m - n)(m + 2)$

4-qadam. Tekshirish: $(m-n)(m+2) = m^2+2m-mn-2n$ ✓

Mashq

Quyidagi ko'phadlarni guruhlash usuli bilan ko'paytuvchilarga ajrating:

1. $ac + bc + ad + bd$
2. $x^2 + x + 3x + 3$
3. $2ab - 4a - 3b + 6$
4. $m^3 + m^2 + m + 1$
5. $6x^2 - 9x + 2x - 3$
6. $a^2b - a^2 - ab + a$
7. $xy - xz + y^2 - yz$
8. $3x^2 - 6xy - 5x + 10y$
9. $a^3 - 2a^2 + a - 2$
10. $mn - m - n^2 + n$

Javoblar va yechim yo'llari

1. $(ac+bc)+(ad+bd)=c(a+b)+d(a+b)=(a+b)(c+d)$

2. $(x^2+x)+(3x+3)=x(x+1)+3(x+1)=(x+1)(x+3)$

3. $(2ab-4a)+(-3b+6)=2a(b-2)-3(b-2)=(b-2)(2a-3)$

4. $(m^3+m^2)+(m+1)=m^2(m+1)+1(m+1)=(m+1)(m^2+1)$

5. $(6x^2-9x)+(2x-3)=3x(2x-3)+1(2x-3)=(2x-3)(3x+1)$

6. $(a^2b-a^2)+(-ab+a)=a^2(b-1)-a(b-1)=a(b-1)(a-1)=a(a-1)(b-1)$

7. $(xy-xz)+(y^2-yz)=x(y-z)+y(y-z)=(y-z)(x+y)$

8. $(3x^2-6xy)+(-5x+10y)=3x(x-2y)-5(x-2y)=(x-2y)(3x-5)$

9. $(a^3-2a^2)+(a-2)=a^2(a-2)+1(a-2)=(a-2)(a^2+1)$

10. $(mn-m)+(-n^2+n)=m(n-1)-n(n-1)=(n-1)(m-n)$

Keng tarqalgan xatolar

1. Guruhlashdan keyin tekshirmaslik.

✗ Ko'paytma hosil bo'ldi, deb to'xtab qolish. ✓ Doimo ko'paytmani ochib, asl ko'phadni qayta oling — 10 soniya oladi, lekin xatoni ushlaydi.

---

2. Faqat bitta guruhlash yo'li bor deb o'ylash.

✗ $ax+ay+bx+by$ faqat $a(x+y)+b(x+y)$ tarzida guruhlanadi deb hisoblash. ✓ $x(a+b)+y(a+b) = (a+b)(x+y)$ — bu ham to'g'ri. Har qanday to'g'ri guruhlash ishlaydi.

---

3. Guruhda umumiy ko'paytuvchi yo'q deb to'xtab qolish.

✗ Birinchi urinishda guruh chiqmadi — umuman bo'lmaydi deb qaror qilish. ✓ Hadlar tartibini o'zgartiring va qayta urining. Masalan, $x^2+2x+x+2$ o'rniga $x^2+x+2x+2$ ko'rinishida yozib ko'ring.

---

4. Ishoraga e'tiborsizlik.

✗ $a(x+y) - b(x+y) = (x+y)(a+b)$ ✓ $(x+y)(a-b)$ — manfiy guruh bilan chiqarganda ishora saqlanadi.

---

5. Uchta yoki notekis guruh qilishga urinish.

✗ To'rtta hadi bor ko'phadni 3+1 yoki 1+3 tarzida guruhlash har doim ham ishlamaydi. ✓ Avval 2+2 bo'linishni sinang. Agar ishlamasa, 3+1 yoki boshqacha tartibni ko'ring.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.