Kvadratlar ayirmasi

Bu nima va nega kerak

Supermarketda aksiya: narxlar 95 000 so'mdan 105 000 so'mga ko'tarilgan edi, lekin siz eski va yangi narxni ko'paytirish kerak bo'lgan hisob-kitob qilmoqdasiz. Qo'lda: $95\,000 \times 105\,000$. Kalkulyator yo'q. Panika bo'ladimi?

Yo'q — agar kvadratlar ayirmasi formulasini bilsangiz:

$95\,000 \times 105\,000 = (100\,000 - 5\,000)(100\,000 + 5\,000) = 100\,000^2 - 5\,000^2.$

Bu bir necha soniyada bajariladi. Mana shu — kvadratlar ayirmasi formulasining amaliy qudrati.

Formulani DTMda ham, fizika va kimyo masalalarida ham, dasturlashda ham ishlatishingizga to'g'ri keladi. U qisqa ko'paytirish formulalarining eng asosiylaridan biri.

Asosiy g'oya

Nima uchun $(a+b)(a-b)$ ni ochsak $a^2 - b^2$ chiqadi? Avval mantiqini ko'raylik, keyin formulani yodlaymiz.

Ikki qavsni oddiy taqsimot qonuni bilan ochamiz:

$(a+b)(a-b) = a \cdot a + a \cdot (-b) + b \cdot a + b \cdot (-b).$

Ixchamlaymiz:

$= a^2 - ab + ab - b^2.$

O'rtadagi $-ab + ab = 0$ bo'lib qoladi — ular bir-birini bekor qiladi! Natijada:

$\boxed{(a+b)(a-b) = a^2 - b^2}$

Og'zaki ta'rif: "yig'indi va ayirma" ko'paytmasi — bu birinchining kvadratidan ikkinchining kvadratini ayirish.

Ikki yo'nalishda ishlaydi:

• Ko'paytirish: $(a+b)(a-b) \;\to\; a^2 - b^2$
• Ajratish (faktorizatsiya): $a^2 - b^2 \;\to\; (a+b)(a-b)$

Yechilgan misollar

1-misol. Oddiy holat

$(x+3)(x-3) = ?$

1-qadam. Formuladagi $a$ va $b$ ni aniqlaymiz: $a = x$, $b = 3$.

2-qadam. Formulani qo'llaymiz: $a^2 - b^2 = x^2 - 3^2$.

3-qadam. Hisoblaymiz: $3^2 = 9$.

Javob: $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$.

Tekshirish: qavsni to'liq ochib ko'ramiz: $x^2 - 3x + 3x - 9 = x^2 - 9$ ✓.

---

2-misol. Raqamli hisob (amaliy foyda)

$23 \cdot 17 = ?$

Ko'rinishi oddiy, lekin 7-sinfda qo'lda hisoblash vaqt oladi. Formula bilan — tezroq!

1-qadam. $23$ va $17$ ni bir o'rta sondan simmetrik yozamiz: $23 = 20+3$, $17 = 20-3$.

2-qadam. Formulani tanlaymiz: $(20+3)(20-3) = 20^2 - 3^2$.

3-qadam. Hisoblaymiz: $400 - 9 = 391$.

Javob: $23 \cdot 17 = 391$.

Bu usul har doim ishlaydi: agar ikkita son o'rta sonidan teng masofada bo'lsa — to'g'ridan formulani qo'llang.

---

3-misol. Koeffitsientlar bilan murakkab holat

$(2a + 5b)(2a - 5b) = ?$

1-qadam. $a$ va $b$ rolini aniqlaymiz: bu yerda "birinchi" $= 2a$, "ikkinchi" $= 5b$.

2-qadam. Formula: $(2a)^2 - (5b)^2$.

3-qadam. Har bir qismni kvadratga olamiz: $(2a)^2 = 4a^2$; $(5b)^2 = 25b^2$.

Javob: $(2a+5b)(2a-5b) = 4a^2 - 25b^2$.

Diqqat: $2a$ ning kvadrati $2a^2$ emas, balki $(2a)^2 = 4a^2$. Koeffitsient ham kvadratga olinadi!

---

4-misol. Teskari yo'nalish — ajratish

$x^2 - 16 = ?$

Bu yerda formula o'ngdan chapga ishlaydi: $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.

1-qadam. $16 = 4^2$ ekanini payqaymiz: $x^2 - 4^2$.

2-qadam. Ajratamiz: $a = x$, $b = 4$.

Javob: $x^2 - 16 = (x+4)(x-4)$.

Tekshirish: $(x+4)(x-4) = x^2 - 16$ ✓.

---

5-misol. Murakkab koeffitsient bilan ajratish

$9x^2 - 49 = ?$

1-qadam. Har ikkisini to'liq kvadrat ko'rinishida yozamiz: $9x^2 = (3x)^2$; $49 = 7^2$.

2-qadam. Ajratamiz: $a = 3x$, $b = 7$.

Javob: $9x^2 - 49 = (3x+7)(3x-7)$.

Tekshirish: $(3x+7)(3x-7) = 9x^2 - 21x + 21x - 49 = 9x^2 - 49$ ✓.

Mashq

Quyidagi masalalarni yeching. Formulani ko'paytirish yoki ajratish yo'nalishida qo'llang.

1. $(a+6)(a-6)$
2. $(3x+4)(3x-4)$
3. $m^2 - 81$
4. $100 - 9t^2$
5. $47 \cdot 53$
6. $999 \cdot 1001$
7. $4a^2 - 25b^2$
8. $(x^2+1)(x^2-1)$
9. $x^2 - \dfrac{1}{4}$
10. $(a+b)^2 - c^2$

Javoblar va yechim yo'llari

1. $(a+6)(a-6) = a^2 - 36$.

2. $(3x+4)(3x-4) = (3x)^2 - 4^2 = 9x^2 - 16$.

3. $m^2 - 81 = m^2 - 9^2 = (m+9)(m-9)$.

4. $100 - 9t^2 = 10^2 - (3t)^2 = (10+3t)(10-3t)$.

5. $47 \cdot 53 = (50-3)(50+3) = 50^2 - 3^2 = 2500 - 9 = 2491$.

6. $999 \cdot 1001 = (1000-1)(1000+1) = 1000^2 - 1^2 = 1\,000\,000 - 1 = 999\,999$.

7. $4a^2 - 25b^2 = (2a)^2 - (5b)^2 = (2a+5b)(2a-5b)$.

8. $(x^2+1)(x^2-1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$.

9. $x^2 - \dfrac{1}{4} = x^2 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \left(x+\dfrac{1}{2}\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$.

10. $(a+b)^2 - c^2$: bu yerda "birinchi" $= (a+b)$, "ikkinchi" $= c$. Demak, $(a+b+c)(a+b-c)$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Minusni plusga almashtirish. ✗ $(a+b)(a-b) = a^2 + b^2$ ✓ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ — o'rtadagi hadlar qisqaradi va minus qoladi.

2. Ayirmani to'liq kvadrat bilan adashtirish. ✗ $x^2 - 9 = (x-3)^2$ ✓ $x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$ — bu ikkita turli ko'paytuvchi, kvadrat emas.

3. Koeffitsientni kvadratga olmaslik. ✗ $(2x+3)(2x-3) = 2x^2 - 9$ ✓ $(2x+3)(2x-3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$ — $2x$ butunligicha kvadratga olinadi.

4. Formulani befoyda kengaytirish. ✗ $a^2 - b^2 = a^2 + b^2 - 2b^2$ (ortiqcha qadamlar) ✓ $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ — to'g'ridan formulani qo'llang.

5. $25 - x^2$ ni ajratmaslik. ✗ $25 - x^2$ ni shunday qoldirish (bu ajratilmagan ko'rinish) ✓ $25 - x^2 = (5+x)(5-x)$ — tartib muhim emas, $b^2 - a^2$ ham ajratiladi: $(b+a)(b-a)$.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.