Umumiy ko'paytuvchini qavsdan chiqarish

Bu nima va nega kerak

Do'konda 6 ta olma va 10 ta nok sotib oldingiz. Narxni hisoblashda ikki yo'l bor:

$6 + 10 = 16, \quad \text{keyin narxga ko'paytirish.}$

Yoki: ikkalasining ham narxi, aytaylik, 2 so'm bo'lsa:

$6 \cdot 2 + 10 \cdot 2 = 2 \cdot (6 + 10) = 2 \cdot 16 = 32.$

Ko'ring: $6 + 10 = 2(3 + 5)$ — bu umumiy ko'paytuvchini qavsdan chiqarish. Ikki raqamda umumiy bo'lak (2) bor edi, uni "oldinga oliq" deb, qolganlarni qavs ichiga yozdik.

Algebrada bu g'oya ko'phadlar bilan ishlashda juda keng qo'llaniladi: algebraik ifodani soddalashtirish, tenglamalarni yechish, kasrlarni qisqartirish — barchasi shu usulga tayanadi. DTM testlarida ko'phadlarni ko'paytuvchilarga ajratish bo'yicha savollar deyarli har yili uchraydi.

Asosiy g'oya

Taqsimot qonunini eslang:

$a(b + c) = ab + ac.$

Umumiy ko'paytuvchini qavsdan chiqarish — bu qonunning teskari yo'nalishi:

$ab + ac = a(b + c).$

Ya'ni, agar ko'phadning barcha hadlarida biror umumiy bo'lak ($a$) mavjud bo'lsa, uni qavsdan oldingi umumiy ko'paytuvchi sifatida ajratib, qolgan ifodani qavs ichiga yozamiz.

Nima uchun bu foydali?

• Ifoda qisqaradi va ko'rinishi soddalachadi.
• Tenglamalarni yechishda ildizlarni topish osonlashadi: agar $a \cdot b = 0$ bo'lsa, $a = 0$ yoki $b = 0$.
• Kasrlarni qisqartirish uchun surat va maxrajni ko'paytuvchilarga ajratish kerak.
• Murakkab ifodalarni solishtirish va tahlil qilish tezlashadi.

Qadamlar:

1. Koeffitsientlarning EUK (eng katta umumiy bo'luvchi)ni toping.
2. Har bir hadda mavjud bo'lgan o'zgaruvchilarni eng kichik darajasida oling.
3. Umumiy ko'paytuvchi = EUK × o'zgaruvchilar.
4. Qolgan ifodani qavs ichiga yozing.
5. Tekshiring: qavsni ochib, asl ifoda chiqishi kerak.

Yechilgan misollar

1-misol. Sonli EUK (koeffitsientlar uchun)

$6x + 9.$

• 1-qadam. Koeffitsientlar: 6 va 9. $\text{EUK}(6, 9) = 3$.
• 2-qadam. O'zgaruvchi: faqat birinchi hadda $x$ bor, ikkinchisida yo'q. Demak, o'zgaruvchi umumiy emas.
• 3-qadam. Umumiy ko'paytuvchi: $3$.
• 4-qadam. $6x + 9 = 3 \cdot 2x + 3 \cdot 3 = 3(2x + 3)$.
• Tekshirish: $3(2x+3) = 6x + 9$ ✓

$\boxed{6x + 9 = 3(2x + 3)}$

---

2-misol. O'zgaruvchi ham umumiy

$5a^2 - 15a.$

• 1-qadam. Koeffitsientlar: 5 va 15. $\text{EUK}(5, 15) = 5$.
• 2-qadam. O'zgaruvchi: birinchi hadda $a^2$, ikkinchisida $a^1$. Eng kichik daraja — $a^1 = a$.
• 3-qadam. Umumiy ko'paytuvchi: $5a$.
• 4-qadam. $5a^2 - 15a = 5a \cdot a - 5a \cdot 3 = 5a(a - 3)$.
• Tekshirish: $5a(a-3) = 5a^2 - 15a$ ✓

$\boxed{5a^2 - 15a = 5a(a - 3)}$

---

3-misol. Uch hadli ko'phad

$12x^3 - 8x^2 + 4x.$

• 1-qadam. Koeffitsientlar: 12, 8, 4. $\text{EUK}(12, 8, 4) = 4$.
• 2-qadam. O'zgaruvchi: $x^3$, $x^2$, $x^1$ — eng kichik daraja $x$.
• 3-qadam. Umumiy ko'paytuvchi: $4x$.
• 4-qadam.

$12x^3 - 8x^2 + 4x = 4x \cdot 3x^2 - 4x \cdot 2x + 4x \cdot 1 = 4x(3x^2 - 2x + 1).$

• Tekshirish: $4x(3x^2 - 2x + 1) = 12x^3 - 8x^2 + 4x$ ✓

$\boxed{12x^3 - 8x^2 + 4x = 4x(3x^2 - 2x + 1)}$

---

4-misol. Umumiy ko'paytuvchi — qavsli ifoda

$x(a+b) + y(a+b).$

• 1-qadam. Ikkala hadda ham $(a+b)$ iborasi bor — bu qavsli ifoda umumiy ko'paytuvchi bo'la oladi!
• 2-qadam. Umumiy ko'paytuvchi: $(a+b)$.
• 3-qadam.

$x(a+b) + y(a+b) = (a+b) \cdot x + (a+b) \cdot y = (a+b)(x + y).$

• Tekshirish: $(a+b)(x+y) = x(a+b) + y(a+b)$ ✓

$\boxed{x(a+b) + y(a+b) = (a+b)(x+y)}$

---

5-misol. Ikki o'zgaruvchili uch hadli ko'phad

$6a^2b - 9ab^2 + 3ab.$

• 1-qadam. Koeffitsientlar: 6, 9, 3. $\text{EUK}(6, 9, 3) = 3$.
• 2-qadam. O'zgaruvchi $a$: darajalar $a^2$, $a^1$, $a^1$ — eng kichik $a$. O'zgaruvchi $b$: darajalar $b^1$, $b^2$, $b^1$ — eng kichik $b$.
• 3-qadam. Umumiy ko'paytuvchi: $3ab$.
• 4-qadam.

$6a^2b - 9ab^2 + 3ab = 3ab \cdot 2a - 3ab \cdot 3b + 3ab \cdot 1 = 3ab(2a - 3b + 1).$

• Tekshirish: $3ab(2a-3b+1) = 6a^2b - 9ab^2 + 3ab$ ✓

$\boxed{6a^2b - 9ab^2 + 3ab = 3ab(2a - 3b + 1)}$

Mashq

Quyidagi ifodalardan umumiy ko'paytuvchini qavsdan chiqaring:

1. $4x + 12$
2. $7a - 7b$
3. $3x^2 + 6x$
4. $10a^2b - 15ab^2$
5. $a(x-1) + b(x-1)$
6. $8m^3 - 4m^2 + 12m$
7. $6x^3y - 9x^2y^2 + 3xy^3$
8. $x(a+b) - y(a+b) + z(a+b)$
9. $14p^2q - 21pq^2$
10. $5(a-b) - a(a-b)$

Javoblar va yechim yo'llari

1. $\text{EUK}(4,12)=4$; $4x+12 = 4(x+3)$.
2. $\text{EUK}(7,7)=7$, umumiy $a$ va $b$ yo'q; $7a-7b = 7(a-b)$.
3. $\text{EUK}(3,6)=3$, umumiy $x$; $3x^2+6x = 3x(x+2)$.
4. $\text{EUK}(10,15)=5$, umumiy $ab$; $10a^2b-15ab^2 = 5ab(2a-3b)$.
5. $(x-1)$ umumiy; $a(x-1)+b(x-1) = (x-1)(a+b)$.
6. $\text{EUK}(8,4,12)=4$, umumiy $m$; $8m^3-4m^2+12m = 4m(2m^2-m+3)$.
7. $\text{EUK}(6,9,3)=3$, umumiy $xy$; $6x^3y-9x^2y^2+3xy^3 = 3xy(2x^2-3xy+y^2)$.
8. $(a+b)$ umumiy; $x(a+b)-y(a+b)+z(a+b) = (a+b)(x-y+z)$.
9. $\text{EUK}(14,21)=7$, umumiy $pq$; $14p^2q-21pq^2 = 7pq(2p-3q)$.
10. $(a-b)$ umumiy; $5(a-b)-a(a-b) = (a-b)(5-a)$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Faqat bir hadni bo'lib, ikkinchisini o'zgartirmaslik.

$\text{✗} \quad 6x + 9 = 3(2x + 9)$ $\text{✓} \quad 6x + 9 = 3(2x + 3)$

Qavsdan chiqarganingizda barcha hadlar umumiy ko'paytuvchiga bo'linishi kerak.

---

2. EUK o'rniga faqat 1 ga bo'lish.

$\text{✗} \quad 12x + 8 = 1(12x + 8) \quad \text{(bu hech narsani o'zgartirmadi)}$ $\text{✓} \quad 12x + 8 = 4(3x + 2) \quad [\text{EUK}(12,8)=4]$

Har doim eng katta umumiy bo'luvchini toping — shundagina ifoda to'liq soddalashadi.

---

3. O'zgaruvchi darajasini noto'g'ri tanlash.

$\text{✗} \quad 5a^2 - 15a = 5a^2\!\left(1 - \tfrac{3}{a}\right)$ $\text{✓} \quad 5a^2 - 15a = 5a(a - 3)$

O'zgaruvchi uchun eng kichik darajani oling, eng kattasini emas. Aks holda qavs ichida kasr paydo bo'ladi.

---

4. Tekshirmaslik.

$\text{✗} \quad \text{Yechimni yozib, tekshirmay qoldirish.}$ $\text{✓} \quad 3(2x+3) \xrightarrow{\text{qavsni och}} 6x+9 \checkmark$

Tekshirish 10 soniya oladi va ko'pchilik xatoni ushlaydi. Qavsni ochib, asl ifoda chiqishi shart.

---

5. Barcha hadlarda yo'q o'zgaruvchini umumiy deb hisoblash.

$\text{✗} \quad a^2 + b^2 \xrightarrow{?} a(\ldots) \quad \text{(}b^2\text{ da } a \text{ yo'q!)}$ $\text{✓} \quad a^2 + b^2 \text{ — bu ifodaning umumiy ko'paytuvchisi yo'q (1 dan tashqari).}$

O'zgaruvchi faqat barcha hadlarda mavjud bo'lsagina umumiy ko'paytuvchi bo'la oladi.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Ko'phadlarni ko'paytuvchilarga ajratishning yana bir kuchli usuli — guruhlab ajratish (grouping). Bu usulda hamma hadlarda umumiy ko'paytuvchi bo'lmasa ham, hadlarni juft-juft guruhlab, har guruhdan umumiy ko'paytuvchini chiqarib, keyin yana umumiy ko'paytuvchini topish mumkin.