Yig'indi va ayirma kvadrati

Bu nima va nega kerak

Tasavvur qiling, do'konda kvadrat shaklidagi yer maydoniga plitkalar yotqizyapsiz. Tomonining uzunligi $(a + b)$ metr bo'lsa, butun maydon $(a + b)^2$ kvadrat metr. Uni hisoblash uchun avval yer bo'laklarga bo'linadi: katta kvadrat $a^2$, ikkita to'rtburchak $ab$ dan, va kichik kvadrat $b^2$. Jami: $a^2 + 2ab + b^2$.

Mana shu — yig'indi kvadrati formulasi. Bu formula nafaqat geometriyada, balki kundalik hisob-kitoblarda ham ishlatiladi. Masalan, $101^2$ ni kalkulatorsiz saniyalar ichida topish mumkin — buni quyida ko'ramiz.

DTMda qisqa ko'paytirish formulalari deyarli har yili uchraydi. Ularni tez va xatosiz qo'llashni o'rganish — yuqori ball uchun zarur ko'nikma.

Asosiy g'oya

Nima uchun $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$? Ko'pchilik shu xatoga tushadi. Sababi — kvadrat bu faqat ko'rsatkich emas, balki o'z-o'ziga ko'paytirish:

$(a + b)^2 = (a + b)\cdot(a + b).$

Ko'paytmani ochaylik — har bir had har bir had bilan ko'paytiriladi:

$(a + b)(a + b) = a\cdot a + a\cdot b + b\cdot a + b\cdot b = a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2.$

Ko'rib turibmiz: o'rtada ikkita $ab$ hosil bo'ladi. Aynan mana shu $2ab$ — eng ko'p unutiladigan had.

Formulalar:

$\boxed{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$

$\boxed{(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$

Ayirma uchun ham xuddi shunday: $(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - ab - ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$. E'tibor bering: oxirgi had $b^2$ har doim musbat, chunki $(-b)^2 = b^2$.

Eslab qolish usuli. Formula uch qismdan iborat:

$(\text{birinchi})^2 \;\pm\; 2\cdot(\text{birinchi})\cdot(\text{ikkinchi}) \;+\; (\text{ikkinchi})^2.$

O'rta haddagi ishora — qavs ichidagi ishora bilan bir xil ($+$ yoki $-$), oxirgi had esa har doim musbat.

Yechilgan misollar

1-misol. Oddiy holat

$(x + 4)^2 = ?$

• Birinchi had: $x$, ikkinchi had: $4$.
• Birinchi hadning kvadrati: $x^2$.
• Ikki marta ko'paytma: $2 \cdot x \cdot 4 = 8x$.
• Ikkinchi hadning kvadrati: $4^2 = 16$.
• Formulani qo'llamiz: $(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16$.

Javob: $x^2 + 8x + 16$.

---

2-misol. Koeffitsientli ifoda

$(2a - 3)^2 = ?$

• Birinchi had: $2a$, ikkinchi had: $3$, ishora: ayirma.
• $(2a)^2 = 4a^2$.
• $2 \cdot (2a) \cdot 3 = 12a$ — o'rta had manfiy bo'ladi.
• $3^2 = 9$.
• Formulani qo'llamiz: $(2a-3)^2 = 4a^2 - 12a + 9$.

Javob: $4a^2 - 12a + 9$.

---

3-misol. Kalkulatorsiz hisoblash — $101^2$

$101$ ni $100 + 1$ ko'rinishida yozamiz va formulani qo'llaymiz:

$101^2 = (100 + 1)^2 = 100^2 + 2\cdot100\cdot1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201.$

Javob: $10201$.

---

4-misol. Ikki son — $103^2$ va $97^2$

a) $103^2 = (100 + 3)^2 = 10000 + 600 + 9 = \mathbf{10609}$.

b) $97^2 = (100 - 3)^2 = 100^2 - 2\cdot100\cdot3 + 3^2 = 10000 - 600 + 9 = \mathbf{9409}$.

E'tibor bering: ikkinchi holda o'rta had manfiy, lekin $3^2 = 9$ musbat qoldi.

---

5-misol. Teskari yo'nalish — to'liq kvadratni aniqlash

$x^2 + 6x + 9$ ifodasini to'liq kvadrat ko'rinishida yozing.

• Birinchi had $x^2$ — bu $x$ning kvadrati.
• Oxirgi had $9 = 3^2$ — bu $3$ning kvadrati.
• O'rta hadni tekshiramiz: $2 \cdot x \cdot 3 = 6x$ ✓ — mos keladi!
• Demak: $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.

Javob: $(x + 3)^2$.

Mashq

Quyidagi misollarni yechib, natijangizni tekshiring.

1. $(x + 5)^2$
2. $(a - 8)^2$
3. $(2x + 3)^2$
4. $(4a - b)^2$
5. $102^2$ (formula yordamida)
6. $98^2$ (formula yordamida)
7. $x^2 + 12x + 36$ ni to'liq kvadrat ko'rinishida yozing.
8. $4a^2 - 20ab + 25b^2$ ni to'liq kvadrat ko'rinishida yozing.
9. $(x + 1)^2 + (x - 1)^2$ ni soddalashtiring.
10. $(a + b)^2 - (a - b)^2$ ni soddalashtiring.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $(x+5)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot5 + 25 = x^2 + 10x + 25$.
2. $(a-8)^2 = a^2 - 2\cdot a\cdot8 + 64 = a^2 - 16a + 64$.
3. $(2x+3)^2 = (2x)^2 + 2\cdot2x\cdot3 + 9 = 4x^2 + 12x + 9$.
4. $(4a-b)^2 = 16a^2 - 2\cdot4a\cdot b + b^2 = 16a^2 - 8ab + b^2$.
5. $102^2 = (100+2)^2 = 10000 + 400 + 4 = 10404$.
6. $98^2 = (100-2)^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604$.
7. $x^2 + 12x + 36$: oxirgi had $36 = 6^2$, o'rta had $12x = 2\cdot x\cdot6$ ✓. Javob: $(x+6)^2$.
8. $4a^2 - 20ab + 25b^2 = (2a)^2 - 2\cdot2a\cdot5b + (5b)^2$. Javob: $(2a - 5b)^2$.
9. $(x+1)^2 + (x-1)^2 = (x^2+2x+1) + (x^2-2x+1) = 2x^2 + 2$.
10. $(a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) = 4ab$.

Keng tarqalgan xatolar

1. O'rta hadni unutish. ✗ $(a+b)^2 = a^2 + b^2$ ✓ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ — $2ab$ haddini hech qachon tushirib qoldirmang!

2. Faqat birinchi hadni kvadratga olish. ✗ $(x-3)^2 = x^2 - 9$ ✓ $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$ — $(-3)^2 = 9$ va $2\cdot x\cdot3 = 6x$ ham yozilishi kerak.

3. Koeffitsientni kvadratga olmaslik. ✗ $(2x+1)^2 = 2x^2 + 4x + 1$ ✓ $(2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$ — birinchi had $(2x)^2 = 4x^2$, $2^2$ ni unutmang.

4. To'liq kvadratni kvadratlar ayirmasi bilan adashtirish. ✗ $x^2 + 6x + 9 = (x+3)(x-3)$ ✓ $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$ — bu kvadratlar ayirmasi emas! $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$ bo'ladi.

5. Ayirma kvadrati manfiy bo'ladi deb o'ylash. ✗ $(a-b)^2$ manfiy bo'lishi mumkin deb hisoblash. ✓ $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$ — har doim nomanfiy, chunki bu haqiqiy sonning kvadrati.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.