Kublar yig'indisi va ayirmasi

Bu nima va nega kerak

Sport ichimliklarini ishlab chiqaruvchi kompaniya mahsulotini ikki xil turdagi idishda chiqaradi: katta kub shaklidagi idish (yon tomoni $a$ sm) va kichik kub shaklidagi idish (yon tomoni $b$ sm). Sanoat kasrlarini hisoblashda ikki kubning ayirmasini tez ko'paytuvchilarga ajratish zarur bo'ladi: masalan, $a^3 - b^3$ ifodasini algebrik manipulyatsiya bilan soddalashtirish. Aynan shu masala kublar formulalari orqali bir qadamda yechiladi.

Kublar yig'indisi va ayirmasi formulalari matematikaning ko'p sohasida ishlatiladi: kasrlarni soddalashtirish, tenglamalar yechish va DTMdagi murakkabroq algebraik ifodalar bilan ishlash. Bu formulalarni o'zlashtirgan o'quvchi ko'p bosqichli hisoblashlarni bir necha soniya ichida bajaradi.

Asosiy g'oya

Oldin bir savol: $(a+b)^3$ va $a^3+b^3$ bir xilmi? Keling, tekshirib ko'raylik.

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Ko'rinib turibdiki, $a^3+b^3$ bilan aynan bir xil emas — orada $3a^2b + 3ab^2$ qo'shimcha hadlar bor. Demak, $a^3+b^3 \neq (a+b)^3$. Unda $a^3+b^3$ qanday ko'paytuvchilarga ajraladi?

Ko'paytmani ochib tekshiramiz. Faraz qilaylik, $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ deb ta'kidlaylik. O'ng tomonni ochamiz:

$$(a+b)(a^2-ab+b^2) = a\cdot a^2 - a\cdot ab + a\cdot b^2 + b\cdot a^2 - b\cdot ab + b\cdot b^2$$ $$= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$$ $$= a^3 + \underbrace{(-a^2b + a^2b)}_{0} + \underbrace{(ab^2 - ab^2)}_{0} + b^3 = a^3 + b^3 \quad \checkmark$$

Xuddi shunday yo'l bilan kublar ayirmasini ham tekshirish mumkin:

$$(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3+a^2b+ab^2 - a^2b - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3 \quad \checkmark$$

Shunday qilib, ikkita muhim formula:

$$\boxed{a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)}$$ $$\boxed{a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)}$$

Eslab qolish uchun qoida:

• Birinchi omil: ikki hadning yig'indisi yoki ayirmasi — $a \pm b$.
• Ikkinchi omil — uchhadli: $a^2$, keyin o'rta had (yig'indida minus, ayirmada musbat $ab$), keyin $b^2$.

Yechilgan misollar

1-misol. $x^3 + 8$ ni ajratish

1-qadam. Har bir hadni kub sifatida yozing: $x^3 + 8 = x^3 + 2^3$

2-qadam. Bu kublar yig'indisi: $a = x$, $b = 2$.

3-qadam. Formulani qo'llang: $(x+2)\bigl(x^2 - x\cdot 2 + 2^2\bigr)$

4-qadam. Hisoblang: $= (x+2)(x^2 - 2x + 4)$

Tekshirish: $(x+2)(x^2-2x+4) = x^3-2x^2+4x+2x^2-4x+8 = x^3+8$ ✓

---

2-misol. $27 - a^3$ ni ajratish

1-qadam. Kublarni aniqlang: $27 - a^3 = 3^3 - a^3$

2-qadam. Bu kublar ayirmasi: $a_0 = 3$ (kattaroq), $b_0 = a$ (o'zgaruvchi).

3-qadam. Formula: $(a_0 - b_0)(a_0^2 + a_0 b_0 + b_0^2)$: $(3 - a)(9 + 3a + a^2)$

4-qadam. Javob: $= (3-a)(a^2 + 3a + 9)$

---

3-misol. $8x^3 + 125$ ni ajratish

1-qadam. $8x^3 = (2x)^3$ va $125 = 5^3$ ekanini aniqlang.

2-qadam. $a = 2x$, $b = 5$ bilan kublar yig'indisi formulasi:

3-qadam. $(a+b) = (2x+5)$ va $a^2 - ab + b^2 = (2x)^2 - (2x)(5) + 5^2$:

4-qadam. Hisoblang: $8x^3 + 125 = (2x+5)(4x^2 - 10x + 25)$

---

4-misol. $64a^3 - 27b^3$ ni ajratish

1-qadam. $64a^3 = (4a)^3$ va $27b^3 = (3b)^3$.

2-qadam. Kublar ayirmasi: $p = 4a$, $q = 3b$.

3-qadam. $(4a - 3b)\bigl((4a)^2 + (4a)(3b) + (3b)^2\bigr)$

4-qadam. $= (4a-3b)(16a^2 + 12ab + 9b^2)$

---

5-misol. $\dfrac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2}$ ifodasini soddalashtiring

1-qadam. Suratni ajrating: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

2-qadam. Kasrga joylashtiring: $\frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)}{a^2-ab+b^2}$

3-qadam. $a^2-ab+b^2 \neq 0$ bo'lsa, qisqartiring: $= a + b$

---

Mashq

1. $a^3 + 27$ ni ko'paytuvchilarga ajrating.
2. $b^3 - 64$ ni ko'paytuvchilarga ajrating.
3. $8 + x^3$ ni ko'paytuvchilarga ajrating.
4. $125a^3 - 1$ ni ko'paytuvchilarga ajrating.
5. $27x^3 + 8y^3$ ni ko'paytuvchilarga ajrating.
6. $a^3 - 8b^3$ ni ko'paytuvchilarga ajrating.
7. $\dfrac{a^3+1}{a^2-a+1}$ ni soddalashtiring.
8. $\dfrac{27-x^3}{3-x}$ ni soddalashtiring.
9. $x^6 - 1$ ni ko'paytuvchilarga ajrating. (Maslahat: $x^6 = (x^2)^3$)
10. $(a+1)^3 - (a-1)^3$ ni hisoblang va soddalashtiring.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $a^3+27 = a^3+3^3 = (a+3)(a^2-3a+9)$.
2. $b^3-64 = b^3-4^3 = (b-4)(b^2+4b+16)$.
3. $8+x^3 = 2^3+x^3 = (2+x)(4-2x+x^2)$.
4. $125a^3-1 = (5a)^3-1^3 = (5a-1)(25a^2+5a+1)$.
5. $27x^3+8y^3 = (3x)^3+(2y)^3 = (3x+2y)(9x^2-6xy+4y^2)$.
6. $a^3-8b^3 = a^3-(2b)^3 = (a-2b)(a^2+2ab+4b^2)$.
7. $\dfrac{a^3+1}{a^2-a+1} = \dfrac{(a+1)(a^2-a+1)}{a^2-a+1} = a+1$.
8. $\dfrac{27-x^3}{3-x} = \dfrac{(3-x)(9+3x+x^2)}{3-x} = 9+3x+x^2$.
9. $x^6-1 = (x^2)^3 - 1^3 = (x^2-1)(x^4+x^2+1) = (x-1)(x+1)(x^4+x^2+1)$.
10. Kengaytiramiz: $(a+1)^3 = a^3+3a^2+3a+1$ va $(a-1)^3 = a^3-3a^2+3a-1$. Ayiramiz: $(a^3+3a^2+3a+1)-(a^3-3a^2+3a-1) = 6a^2+2$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Kublar yig'indisini kub yig'indisi bilan chalkastirish. ✗ $a^3+b^3 = (a+b)^3$ ✓ $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$; chunki $(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

2. Kublar ayirmasida noto'g'ri formula ishlatish. ✗ $a^3-b^3 = (a-b)^3$ ✓ $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

3. O'rta haddagi ishoraga e'tiborsizlik. ✗ $a^3+b^3 = (a+b)(a^2\mathbf{+}ab+b^2)$ — musbat qo'yish ✓ $a^3+b^3 = (a+b)(a^2\mathbf{-}ab+b^2)$ — yig'indida minus!

4. Ikkinchi omilda $a^2$ va $b^2$ ni noto'g'ri hisoblash. ✗ $8x^3+125 = (2x+5)(2x^2-10x+25)$ — $a^2=(2x)^2$ ni $2x^2$ deb yozish ✓ $(2x)^2 = 4x^2$, shuning uchun $(2x+5)(4x^2-10x+25)$

5. Kubni noto'g'ri ajratish: $8x^3 = 8\cdot x^3$ emas, $(2x)^3$. ✗ $8x^3+1=(8x+1)(\ldots)$ — asosni noto'g'ri tanlash ✓ $8x^3 = (2x)^3$, demak $a=2x$; to'g'ri: $(2x+1)(4x^2-2x+1)$

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va batafsil yechimi ko'rsatiladi.