Sistemani grafik usulda yechish

Bu nima va nega kerak

Oldingi darsda ikki chiziqning kesishish nuqtasini algebraik (tenglamalarni tenglab) topdik. Lekin ba'zida grafikni ko'z bilan ko'rish juda foydali: qayerda kesishadi, kesishadimi umuman, bir-biriga mos kelishi mumkinmi?

Grafik usul — tenglamalar sistemasini ko'rish imkoni. Fizikada ikki harakat qachon uchrashishi, iqtisodda talab va taklif muvozanati — hammasi grafik kesishishi.

Asosiy g'oya

Chiziqli tenglamalar sistemasi:

$\begin{cases} y = k_1 x + b_1 \\ y = k_2 x + b_2 \end{cases}$

Yechim — ikkala tenglamani bir vaqtda qanoatlantiruvchi $(x, y)$ juftligi. Geometrik ma'nosi: ikkala to'g'ri chiziqning kesishish nuqtasi.

Uch holat mumkin:

Holat	Grafikdagi ko'rinish	Yechimlar soni
$k_1 \neq k_2$	Kesishadi	1 ta
$k_1 = k_2$, $b_1 \neq b_2$	Parallel	0 ta
$k_1 = k_2$, $b_1 = b_2$	Ustma-ust tushadi	Cheksiz ko'p

Yechilgan misollar

1-misol. Oddiy kesishish

Sistemani grafik usulda yeching:

$\begin{cases} y = x + 2 \\ y = -x + 6 \end{cases}$

1-chiziq $y = x + 2$: jadval tuzing.

$x$	$0$	$2$	$4$
$y$	$2$	$4$	$6$

2-chiziq $y = -x + 6$: jadval tuzing.

$x$	$0$	$3$	$6$
$y$	$6$	$3$	$0$

Ikkala chiziqni bir koordinata tekisligiga chizsangiz, ular $(2, 4)$ da kesishadi.

Tekshirish: $y = 2 + 2 = 4$ ✓; $y = -2 + 6 = 4$ ✓.

Algebraik tekshirish: $x + 2 = -x + 6 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$, $y = 4$.

2-misol. Parallel chiziqlar — yechim yo'q

$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = 2x - 3 \end{cases}$

Ikkala chiziqning $k = 2$ bir xil — parallel chiziqlar. $b$ lar farqli ($1 \neq -3$). Ular hech qachon kesishmaydi.

Algebraik tekshirish: $2x + 1 = 2x - 3 \Rightarrow 1 = -3$ — noto'g'ri.

Yechim yo'q.

3-misol. Ustma-ust tushish — cheksiz yechim

$\begin{cases} y = 3x - 2 \\ 2y = 6x - 4 \end{cases}$

Ikkinchi tenglamani 2 ga bo'lsak: $y = 3x - 2$. Bu birinchi tenglama bilan bir xil. Demak, ikkala chiziq ustma-ust tushadi — har qanday $(x, y)$ bu tenglamani qanoatlantirsa, sistemani ham qanoatlantiradi.

Yechimlar cheksiz ko'p.

4-misol. Umumiy ko'rinishdagi tenglama bilan ishlash

Sistemani grafik usulda yeching (avval $y = ...$ ko'rinishiga keltiring):

$\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$

1-tenglama: $y = 5 - x$.

$x$	$0$	$5$
$y$	$5$	$0$

2-tenglama: $y = 2x - 1$.

$x$	$0$	$1$	$3$
$y$	$-1$	$1$	$5$

Grafikdan: kesishish nuqtasi $(2, 3)$.

Tekshirish: $2 + 3 = 5$ ✓; $2 \cdot 2 - 3 = 1$ ✓.

Grafik chizish algoritmi

1. Har bir tenglamani $y = kx + b$ ko'rinishiga keltir.
2. Har bir to'g'ri chiziq uchun kamida 2 nuqta aniqla (odatda $x=0$ va yana bir qiymat).
3. Nuqtalarni belgilab, to'g'ri chiziq o'tkaz.
4. Kesishish nuqtasini o'qi: bu — sistema yechimi.
5. Albatta tekshir: topilgan $(x, y)$ ni har ikki tenglamaga qo'y.

Muhim eslatma. Grafik usulda yechim ko'pincha taxminiy bo'ladi (agar koordinatalar butun son bo'lmasa, aniq o'qish qiyin). Shuning uchun grafik usul asosan yechim mavjudligini ko'rish va taxminiy qiymat olish uchun ishlatiladi. Aniq yechim uchun algebraik usullar (o'rniga qo'yish, qo'shish) qulay.

Mashq

1. Sistemani grafik usulda yeching: $\begin{cases} y = x - 1 \\ y = -x + 3 \end{cases}$

2. Sistemani grafik usulda yeching: $\begin{cases} y = 2x \\ y = x + 3 \end{cases}$

3. Sistemani grafik usulda yeching: $\begin{cases} y = -x + 4 \\ y = x - 2 \end{cases}$

4. Quyidagi sistema nechta yechimga ega? $\begin{cases} y = 3x + 1 \\ y = 3x - 2 \end{cases}$

5. Quyidagi sistema nechta yechimga ega? $\begin{cases} y = -2x + 5 \\ 2y = -4x + 10 \end{cases}$

6. Sistemani $y=\ldots$ ko'rinishiga keltiring, so'ng grafik usulda yeching: $\begin{cases} x + y = 4 \\ x - y = 2 \end{cases}$

7. Sistemani grafik usulda yeching: $\begin{cases} 2x + y = 6 \\ x - y = 0 \end{cases}$

8. $y = kx + 1$ va $y = x + 3$ chiziqlari $(2, m)$ da kesishsa, $k$ va $m$ ni toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $x-1 = -x+3 \Rightarrow 2x=4 \Rightarrow x=2$; $y=1$. Yechim: $(2, 1)$. Tekshirish: $2-1=1$ ✓, $-2+3=1$ ✓.

2. $2x = x+3 \Rightarrow x=3$; $y=6$. Yechim: $(3, 6)$. Tekshirish: $y=2\cdot3=6$ ✓, $y=3+3=6$ ✓.

3. $-x+4 = x-2 \Rightarrow -2x=-6 \Rightarrow x=3$; $y=1$. Yechim: $(3, 1)$. Tekshirish: $-3+4=1$ ✓, $3-2=1$ ✓.

4. $k$ lar teng ($k=3$), $b$ lar farqli — yechim yo'q (parallel chiziqlar).

5. Ikkinchi tenglamani 2 ga bo'lsak: $y = -2x + 5$ — birinchi bilan bir xil. Cheksiz ko'p yechim.

6. $y = 4-x$ va $y = x-2$. $4-x = x-2 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3$; $y=1$. Yechim: $(3, 1)$.

7. $y = 6-2x$ va $y=x$. $6-2x=x \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2$; $y=2$. Yechim: $(2, 2)$.

8. $(2, m)$ ikkinchi chiziqda: $m = 2+3=5$. Birinchi chiziqda: $5 = 2k+1 \Rightarrow k=2$. Javob: $k=2$, $m=5$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Jadvaldagi hisobni noto'g'ri qilish. ✗ $y = -x + 4$ da $x=3$: $y = -3+4 = 1$ o'rniga $y=7$ deb yozish. ✓ Manfiy $k$ bilan ishlashda: $y = -(3) + 4 = 1$.

2. Kesishish nuqtasini grafik o'qigandan keyin tekshirmaslik. ✗ Grafikdan taxminiy $(2.5, 3)$ o'qib, to'g'ri deb qabul qilish. ✓ Har doim algebraik tekshirish: qo'shib ko'ring, to'g'ri chiqadimi.

3. Parallel chiziqlarni kesishgan deb o'ylash. ✗ $y = x+1$ va $y = x+5$ — $k$ lar teng, lekin "kesishadi" deyish. ✓ $k$ lar teng va $b$ lar farqli bo'lsa — parallel, yechim yo'q.

4. Tenglamani $y = ...$ ko'rinishiga keltirmasdan grafik chizishga urinish. ✗ $2x + 3y = 6$ ni bevosita chizishga urinish. ✓ Avval yechib: $y = \dfrac{6 - 2x}{3} = 2 - \dfrac{2}{3}x$, keyin jadval tuzing.

5. Chiziqni emas, nuqta-nuqta bog'lash. ✗ Jadvaldagi nuqtalarni egri chiziq bilan bog'lash. ✓ Chiziqli funksiya — to'g'ri chiziq: nuqtalar bir to'g'ri chiziq bo'ylab joylashgan.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Sistemalarni grafik, o'rniga qo'yish va qo'shish usullari bilan yecha olamiz. Keyingi dars butunlay yangi yo'nalishda: statistika — sonlarning o'rtachasi, modasi va medianasi.