Chiziqli tengsizliklar

Bu nima va nega kerak

Tasavvur qiling, siz do'konga 50 000 so'm pul bilan kirdingiz. Har biri 6 000 so'm bo'lgan daftarlardan eng ko'pi bilan nechta sotib olishingiz mumkin?

Buni matematik tilda yozsak: $6000x \le 50000$. Bu yerda tenglama emas, tengsizlik hosil bo'ldi. Natija: $x \le 8\frac{1}{3}$, ya'ni siz ko'pi bilan 8 ta daftar olishingiz mumkin.

Chiziqli tenglamalarda noma'lumning qiymati odatda bitta son bo'lar edi (masalan, $x = 4$). Ammo tengsizliklarda javob bitta son emas, butun bir sonli oraliq (cheksiz ko'p sonlar to'plami) bo'ladi. Ushbu mavzuda biz bir noma'lumli chiziqli tengsizliklarni yechish va ularning yechimlarini sonlar o'qida tasvirlashni o'rganamiz.

Asosiy g'oya va ta'riflar

Chiziqli tengsizlik ta'rifi

[!IMPORTANT] Ta'rif. $kx + b > 0$, $kx + b < 0$, $kx + b \ge 0$, $kx + b \le 0$ ko'rinishiga keltiriladigan tengsizliklar bir noma'lumli chiziqli tengsizliklar deyiladi (bunda $k$ va $b$ — berilgan sonlar, $k \neq 0$, $x$ — noma'lum).

Tengsizlikni to'g'ri sonli tengsizlikka aylantiruvchi $x$ ning qiymatlari uning yechimlari deyiladi. Tengsizlikni yechish — uning barcha yechimlarini topish yoki ularning yo'qligini ko'rsatish demakdir.

Sonli oraliqlar

Tengsizlik yechimlari sonlar o'qida oraliqlar ko'rinishida tasvirlanadi:

1. Ochiq oraliq (interval): $(a; b)$ — $a < x < b$ shartni qanoatlantiruvchi sonlar. Chegaradagi $a$ va $b$ nuqtalar kirmaydi (dumaloq qavs va sonlar o'qida bo'sh doiracha $\circ$).
2. Yopiq oraliq (kesma): $[a; b]$ — $a \le x \le b$ shartni qanoatlantiruvchi sonlar. Chegaradagi $a$ va $b$ sonlar ham kiradi (to'rtburchak qavs va sonlar o'qida bo'yalgan doiracha $\bullet$).
3. Yarim ochiq oraliqlar: $[a; b)$ ($a \le x < b$) yoki $(a; b]$ ($a < x \le b$).
4. Cheksiz oraliqlar (nurlar):
   • $x > a \implies (a; +\infty)$
   • $x \ge a \implies [a; +\infty)$
   • $x < b \implies (-\infty; b)$
   • $x \le b \implies (-\infty; b]$

Tengsizlikni yechish algoritmi

Chiziqli tengsizlikni yechish qoidalari chiziqli tenglamaga juda o'xshaydi:

1. Maxrajlar bo'lsa, umumiy maxrajga ko'paytirib maxrajdan qutuling.
2. Qavslarni oching.
3. Noma'lum qatnashgan hadlarni chap tomonga, ma'lum sonlarni o'ng tomonga ko'chiring (ko'chirilgan hadning ishorasi qarama-qarshisiga almashadi).
4. O'xshash hadlarni ixchamlab, $kx > b$ yoki $kx < b$ ko'rinishiga keltiring.
5. Ikkala tomonni $k$ koeffitsiyentga bo'ling:
   • Agar $k > 0$ bo'lsa, tengsizlik ishorasi saqlanadi: $x > \dfrac{b}{k}$.
   • Agar $k < 0$ bo'lsa, tengsizlik ishorasi teskarisiga o'zgaradi: $x < \dfrac{b}{k}$.

Yechilgan misollar

1-misol. Oddiy chiziqli tengsizlik

Tengsizlikni yeching: $3x - 4 \le 11$

• Erkin son $-4$ ni o'ng tomonga $+4$ qilib o'tkazamiz: $3x \le 11 + 4 \implies 3x \le 15.$
• Ikkala tomonni musbat $3$ ga bo'lamiz (ishora saqlanadi): $x \le 5.$
• Javob: $(-\infty; 5]$.

---

2-misol. Manfiy koeffitsiyentli tengsizlik

Tengsizlikni yeching: $7 - 4x > 23$

• $7$ sonini o'ng tomonga $-7$ qilib o'tkazamiz: $-4x > 23 - 7 \implies -4x > 16.$
• Ikkala tomonni manfiy son $-4$ ga bo'lamiz. Tengsizlik ishorasi $>$ dan $<$ ga almashadi: $x < \frac{16}{-4} \implies x < -4.$
• Javob: $(-\infty; -4)$.

---

3-misol. Qavslar va ikkala tomonda noma'lum

Tengsizlikni yeching: $3(x - 2) - 2(x + 1) \ge 4x - 17$

• Qavslarni ochamiz: $3x - 6 - 2x - 2 \ge 4x - 17.$
• Chap tomonni ixchamlaymiz: $x - 8 \ge 4x - 17.$
• $x$ li hadlarni chapga, sonlarni o'ngga o'tkazamiz: $x - 4x \ge -17 + 8 \implies -3x \ge -9.$
• Ikkala tomonni $-3$ ga bo'lamiz (ishora teskarisiga almashadi): $x \le 3.$
• Javob: $(-\infty; 3]$.

---

4-misol. Kasrli tengsizlik

Tengsizlikni yeching: $\frac{3x - 1}{2} - \frac{x + 3}{3} \ge 2$

• Kasr maxrajlaridan qutulish uchun ikkala tomonni ularning eng kichik umumiy karralisi — $6$ ga ko'paytiramiz: $6 \cdot \frac{3x - 1}{2} - 6 \cdot \frac{x + 3}{3} \ge 6 \cdot 2.$ $3(3x - 1) - 2(x + 3) \ge 12.$
• Qavslarni ochamiz (minus ishorasiga diqqat qiling): $9x - 3 - 2x - 6 \ge 12 \implies 7x - 9 \ge 12.$
• $-9$ ni o'ng tomonga o'tkazamiz: $7x \ge 21 \implies x \ge 3.$
• Javob: $[3; +\infty)$.

---

5-misol. Eng kichik butun yechimni topish

$5x - 7 > 2(x + 4)$ tengsizlikning eng kichik butun yechimini toping.

• Qavsni ochamiz: $5x - 7 > 2x + 8.$
• Ko'chiramiz: $5x - 2x > 8 + 7 \implies 3x > 15 \implies x > 5.$
• Yechimlar to'plami: $(5; +\infty)$.
• Tengsizlik qat'iy ($>$), demak $x = 5$ kirmaydi. $5$ dan katta eng kichik butun son $6$ dir.
• Javob: $6$.

Mashq

1. $2x + 7 > 15$
2. $5x - 3 \le 17$
3. $6 - 2x \ge 14$
4. $4(x - 1) < 2x + 8$
5. $3(2x + 1) - 5x \ge 8$
6. $7 - 3(x - 2) > 4x - 8$
7. $\dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{4} \le 7$
8. $\dfrac{2x - 1}{5} - \dfrac{x + 2}{2} < -1$
9. $4x - 3 > 2(2x - 1)$ tengsizlikni yeching.
10. $3x - 8 \le 7$ tengsizlikning eng katta butun musbat yechimini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $2x > 8 \implies x > 4$. Javob: $(4; +\infty)$.
2. $5x \le 20 \implies x \le 4$. Javob: $(-\infty; 4]$.
3. $-2x \ge 8 \implies x \le -4$. Javob: $(-\infty; -4]$.
4. $4x - 4 < 2x + 8 \implies 2x < 12 \implies x < 6$. Javob: $(-\infty; 6)$.
5. $6x + 3 - 5x \ge 8 \implies x + 3 \ge 8 \implies x \ge 5$. Javob: $[5; +\infty)$.
6. $7 - 3x + 6 > 4x - 8 \implies 13 - 3x > 4x - 8 \implies -7x > -21 \implies x < 3$. Javob: $(-\infty; 3)$.
7. $12$ ga ko'paytiramiz: $4x + 3x \le 84 \implies 7x \le 84 \implies x \le 12$. Javob: $(-\infty; 12]$.
8. $10$ ga ko'paytiramiz: $2(2x - 1) - 5(x + 2) < -10 \implies 4x - 2 - 5x - 10 < -10 \implies -x - 12 < -10 \implies -x < 2 \implies x > -2$. Javob: $(-2; +\infty)$.
9. $4x - 3 > 4x - 2 \implies -3 > -2$ (noto'g'ri tengsizlik). Javob: yechim yo'q ($\emptyset$).
10. $3x \le 15 \implies x \le 5$. Eng katta butun musbat yechim: $5$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Manfiy songa bo'lganda ishorani almashtirishni unutish.

• ✗ $-3x < 12 \implies x < -4$
• ✓ $-3x < 12 \implies x > -4$

2. Qavs oldidagi minus ishorasini e'tiborsiz qoldirish.

• ✗ $-(x - 3) > 5 \implies -x - 3 > 5$
• ✓ $-(x - 3) > 5 \implies -x + 3 > 5$

3. Qat'iy tengsizlikda chegaradagi sonni yechim deb olish.

• ✗ $x < 7$ tengsizlikning eng katta butun yechimi $7$
• ✓ $x < 7$ bo'lgani uchun $7$ kirmaydi, eng katta butun yechim $6$.

4. Kasrli tengsizlikda sonli hadni umumiy maxrajga ko'paytirmaslik.

• ✗ $\dfrac{x}{2} + 3 > 5 \implies x + 3 > 10$
• ✓ Barcha hadlar $2$ ga ko'paytiriladi: $x + 6 > 10 \implies x > 4$.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang, tizim yechimini ko'rsatadi.

Keyingi qadam

Biz bitta chiziqli tengsizlikni yechishni o'rgandik. Endi bir vaqtning o'zida ikkita shart bajarilishi talab qilinadigan holatlarni, ya'ni tengsizliklar sistemasini o'rganamiz.