Tengsizliklar sistemasi

Bu nima va nega kerak

Hayotda ko'pincha bitta emas, bir nechta shartning bir vaqtda bajarilishi talab etiladi:

• Avtomagistralda harakatlanish: tezlik kamida $50\text{ km/soat}$ bo'lishi va ko'pi bilan $110\text{ km/soat}$ dan oshmasligi kerak ($v \ge 50$ va $v \le 110$).
• Dori qabul qilish: bemor qonidagi dori miqdori shifobaxsh bo'lishi uchun kamida $2\text{ mg}$ bo'lishi, lekin nojo'ya ta'sir bermasligi uchun $6\text{ mg}$ dan oshmasligi lozim.

Matematikada bir vaqtning o'zida bajarilishi kerak bo'lgan bir nechta tengsizlik tengsizliklar sistemasi deb ataladi. DTM testlarida funksiyaning aniqlanish sohasini topish, parametrlarni baholash va amaliy masalalarni yechish aynan tengsizliklar sistemasiga tayanadi.

Asosiy g'oya va ta'riflar

Tengsizliklar sistemasi ta'rifi

[!IMPORTANT] Ta'rif. Bir nechta tengsizlikning umumiy yechimini topish talab etilsa, ular tengsizliklar sistemasini tashkil qiladi va jingalak qavs $\{$ bilan yoziladi.

Sistemaning yechimi — undagi har bir tengsizlikni to'g'ri sonli tengsizlikka aylantiruvchi o'zgaruvchining barcha qiymatlari to'plamidir. Boshqacha aytganda, sistemaning yechimi har bir tengsizlik yechimlar to'plamlarining kesishmasidan ($\cap$) iborat.

Yechish algoritmi

Bir noma'lumli tengsizliklar sistemasini yechish uchun:

1. Har bir tengsizlik alohida, mustaqil ravishda yechiladi.
2. Har bir tengsizlikning yechimi bitta sonlar o'qida tasvirlanadi (shtrixlanadi).
3. Barcha shtrixlar ustma-ust tushgan (umumiy) oraliq ajratib olinadi. Bu oraliq sistemaning yechimi bo'ladi.
4. Agar umumiy qism mavjud bo'lmasa, sistema yechimga ega emas deyiladi.

Qo'shaloq tengsizliklar

$a < f(x) < b$ ko'rinishidagi yozuv qo'shaloq tengsizlik deyiladi. U aslida quyidagi sistemaning qisqartirilgan shaklidir: $\begin{cases} f(x) > a \\ f(x) < b \end{cases}$

Qo'shaloq tengsizliklarni yechishda barcha uchta qismga bir xil amal (qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish) bajariladi.

Yechilgan misollar

1-misol. Standart chiziqli sistema

Tengsizliklar sistemasini yeching: $\begin{cases} 3x - 5 > 4 \\ 2x + 7 \le 19 \end{cases}$

• 1-tengsizlik: $3x > 4 + 5 \implies 3x > 9 \implies x > 3.$ Oraliq: $(3; +\infty)$.
• 2-tengsizlik: $2x \le 19 - 7 \implies 2x \le 12 \implies x \le 6.$ Oraliq: $(-\infty; 6]$.
• Oraliqlar kesishmasi: Sonlar o'qida $x > 3$ va $x \le 6$ sohalarini kesüştirsak, umumiy oraliq $3 < x \le 6$ bo'ladi.
• Javob: $(3; 6]$.

---

2-misol. Manfiy koeffitsiyent qatnashgan sistema

Tengsizliklar sistemasini yeching: $\begin{cases} 5 - 2x < 11 \\ 3x - 1 \le 8 \end{cases}$

• 1-tengsizlik: $-2x < 11 - 5 \implies -2x < 6.$ Manfiy $-2$ ga bo'lamiz, ishora almashadi: $x > -3.$
• 2-tengsizlik: $3x \le 8 + 1 \implies 3x \le 9 \implies x \le 3.$
• Oraliqlar kesishmasi: $x > -3$ va $x \le 3$ shartlari birgalikda $-3 < x \le 3$ oraliqni beradi.
• Javob: $(-3; 3]$.

---

3-misol. Qo'shaloq tengsizlik

Tengsizlikni yeching: $-7 \le 3x + 2 < 14$

• Barcha uch qismdan $2$ ni ayiramiz: $-7 - 2 \le 3x < 14 - 2 \implies -9 \le 3x < 12.$
• Barcha uch qismni musbat $3$ ga bo'lamiz: $\frac{-9}{3} \le x < \frac{12}{3} \implies -3 \le x < 4.$
• Javob: $[-3; 4)$.

---

4-misol. Yechimga ega bo'lmagan sistema

Tengsizliklar sistemasini yeching: $\begin{cases} 4x - 1 \ge 15 \\ 3x + 5 < 11 \end{cases}$

• 1-tengsizlik: $4x \ge 16 \implies x \ge 4.$
• 2-tengsizlik: $3x < 6 \implies x < 2.$
• Kesishmani tekshirish: Sonlar o'qida tasvirlaymiz: birinchi soha $[4; +\infty)$, ikkinchi soha $(-\infty; 2)$. Bu ikki soha umumiy nuqtaga ega emas, ular kesishmaydi.
• Javob: Yechim yo'q ($\emptyset$).

---

5-misol. Butun yechimlar yig'indisini topish (DTM uslubi)

Tengsizliklar sistemasining barcha butun yechimlari yig'indisini toping: $\begin{cases} \dfrac{x + 2}{3} \ge 1 \\ 5 - x > -1 \end{cases}$

• 1-tengsizlik: $x + 2 \ge 3 \implies x \ge 1.$
• 2-tengsizlik: $-x > -1 - 5 \implies -x > -6 \implies x < 6.$
• Sistemaning yechimi: $1 \le x < 6 \implies [1; 6).$
• Butun yechimlar: $x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ ($6$ soni kirmaydi, chunki tengsizlik qat'iy).
• Yig'indi: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.$
• Javob: $15$.

Mashq

1. $\begin{cases} x + 4 > 7 \\ 2x \le 12 \end{cases}$
2. $\begin{cases} 3x - 1 \ge 8 \\ 4x - 5 < 15 \end{cases}$
3. $\begin{cases} 6 - 2x > 0 \\ 3x + 9 \ge 0 \end{cases}$
4. $\begin{cases} 2x - 7 \le 1 \\ 5 - x < 2 \end{cases}$
5. $\begin{cases} 4x + 3 > 11 \\ 2x - 1 \le 3 \end{cases}$
6. $-4 < 2x \le 8$ qo'shaloq tengsizlikni yeching.
7. $1 \le 2x - 3 \le 7$ qo'shaloq tengsizlikni yeching.
8. $\begin{cases} \dfrac{x}{2} + 1 > 3 \\ 4x - 10 \le 18 \end{cases}$
9. $\begin{cases} 2(x - 1) \ge 4 \\ 3(x + 2) \le 21 \end{cases}$ sistemasining butun yechimlari sonini toping.
10. $\begin{cases} 5 - 3x \le 11 \\ 2x + 1 < 9 \end{cases}$ sistemasining eng kichik va eng katta butun yechimlari ko'paytmasini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $x > 3$ va $x \le 6 \implies (3; 6]$.
2. $3x \ge 9 \implies x \ge 3$ va $4x < 20 \implies x < 5 \implies [3; 5)$.
3. $-2x > -6 \implies x < 3$ va $3x \ge -9 \implies x \ge -3 \implies [-3; 3)$.
4. $2x \le 8 \implies x \le 4$ va $-x < -3 \implies x > 3 \implies (3; 4]$.
5. $4x > 8 \implies x > 2$ va $2x \le 4 \implies x \le 2$. Yagona nuqta ham yo'q, chunki birinchisida $x > 2$, ikkinchisida $x \le 2$. Yechim yo'q ($\emptyset$).
6. $2$ ga bo'lamiz: $-2 < x \le 4 \implies (-2; 4]$.
7. $3$ qo'shamiz: $4 \le 2x \le 10$. $2$ ga bo'lamiz: $2 \le x \le 5 \implies [2; 5]$.
8. $\dfrac{x}{2} > 2 \implies x > 4$ va $4x \le 28 \implies x \le 7 \implies (4; 7]$.
9. $2x - 2 \ge 4 \implies x \ge 3$ va $3x + 6 \le 21 \implies x \le 5$. Oraliq: $[3; 5]$. Butun yechimlar: $3, 4, 5$ (jami 3 ta).
10. $-3x \le 6 \implies x \ge -2$ va $2x < 8 \implies x < 4$. Oraliq: $[-2; 4)$. Eng kichik butun yechim $-2$, eng katta butun yechim $3$. Ko'paytmasi: $(-2) \cdot 3 = -6$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Oraliqlar kesishmasi o'rniga ularning birlashmasini olish.

• ✗ $x > 2$ va $x < 5$ bo'lsa, $(-\infty; +\infty)$ deb o'ylash
• ✓ Ikkala shart bir vaqtda bajariladigan soha olinadi: $(2; 5)$.

2. Chegaraviy nuqtalarda qavslarni adashtirish.

• ✗ $x > 3$ va $x \le 7$ bo'lsa, $[3; 7]$ deb yozish
• ✓ Qat'iy tengsizlik uchun dumaloq qavs: $(3; 7]$.

3. Manfiy songa bo'lganda ishorani o'zgartirishni unutish.

• ✗ $-2x < 8 \implies x < -4$
• ✓ $-2x < 8 \implies x > -4$.

4. Bo'sh to'plamni tushunmaslik.

• ✗ $x \ge 5$ va $x \le 2$ bo'lsa, $[2; 5]$ deb yozish
• ✓ Bir vaqtning o'zida $5$ dan katta va $2$ dan kichik son mavjud emas! Yechim yo'q ($\emptyset$).

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang, tizim yechimini ko'rsatadi.

Keyingi qadam

Siz bir noma'lumli tengsizliklar va ularning sistemasini to'liq egalladingiz. Keyingi sinflarda bu bilimlar asosida kvadrat tengsizliklar va oraliqlar usulini (interval metodini) o'rganasiz.