Parallelogramm

Bu nima va nega kerak

Deraza romlari, kafel plitkalari va ko'prik konstruksiyalari parallel chiziqlar kesishuvidan hosil bo'ladi. Tekislikda ikki juft parallel to'g'ri chiziq kesishganda hosil bo'ladigan to'rtburchak parallelogramm deyiladi.

Parallelogramm to'g'ri to'rtburchak, romb va kvadratning umumiy asosi bo'lib, uning xossalarini bilish to'rtburchaklar geometriyasini oson o'zlashtirish kalitidir.

Asosiy g'oya va ta'riflar

[!IMPORTANT] Ta'rif. Qarama-qarshi tomonlari juft-jufti bilan parallel bo'lgan to'rtburchak parallelogramm deyiladi.

Ya'ni, $ABCD$ to'rtburchakda $AB \parallel CD$ va $BC \parallel AD$ bo'lsa, u parallelogrammdir.

      B ________________ C
       /                /
      /                /
    A/_______________/ D

Bunda:

• $AB, CD$ va $BC, AD$ — qarama-qarshi tomonlar;
• $A, C$ va $B, D$ — qarama-qarshi burchaklar;
• $AC, BD$ — diagonallar;
• Uchidan qarama-qarshi tomonga tushirilgan perpendikulyar — balandlik.

---

Parallelogrammning xossalari

Parallelogramm quyidagi asosiy xossalarga ega:

1. Qarama-qarshi tomonlar va burchaklar tengligi

• $AB = CD$ va $BC = AD$.
• $\angle A = \angle C$ va $\angle B = \angle D$.

Isboti: $AC$ diagonalini o'tkazsak, parallel to'g'ri chiziqlar kesuvchi bilan hosil qilgan ichki almashinuvchi burchaklar teng bo'ladi: $\angle BAC = \angle DCA$ va $\angle BCA = \angle DAC$. Umumiy $AC$ tomon bo'yicha $\triangle ABC \cong \triangle CDA$. Bundan tomonlar va burchaklar tengligi kelib chiqadi.

2. Bir tomonga yopishgan burchaklar

Parallelogrammning bir tomoniga yopishgan ikki burchagi yig'indisi $180^\circ$ ga teng: $\angle A + \angle B = 180^\circ, \quad \angle B + \angle C = 180^\circ, \quad \angle C + \angle D = 180^\circ, \quad \angle D + \angle A = 180^\circ$

3. Diagonallarning kesishishi

[!IMPORTANT] Xossa. Parallelogramm diagonallari kesishish nuqtasida teng ikkiga bo'linadi: $AO = OC = \dfrac{AC}{2}, \qquad BO = OD = \dfrac{BD}{2}$

4. Diagonallar va tomonlar munosabati

Diagonallar kvadratlari yig'indisi tomonlar kvadratlari yig'indisiga teng: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$

5. Bissektrisa xossasi

Parallelogramm burchagi bissektrisasi undan teng yonli uchburchak ajratadi. Masalan, $A$ burchak bissektrisasi $BC$ tomonni $E$ nuqtada kessa, $\angle BAE = \angle BEA$ bo'lib, $AB = BE$ bo'ladi.

---

Parallelogramm alomatlari

To'rtburchak parallelogramm ekanini isbotlash uchun quyidagi alomatlardan biri yetarli:

1. 1-alomat: Agar to'rtburchakning ikki qarama-qarshi tomoni teng va parallel bo'lsa ($AB = CD$ va $AB \parallel CD$).
2. 2-alomat: Agar to'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari juft-jufti bilan teng bo'lsa ($AB = CD$ va $BC = AD$).
3. 3-alomat: Agar to'rtburchakning diagonallari kesishish nuqtasida teng ikkiga bo'linsa ($AO = OC$ va $BO = OD$).
4. 4-alomat: Agar to'rtburchakning qarama-qarshi burchaklari juft-jufti bilan teng bo'lsa ($\angle A = \angle C$ va $\angle B = \angle D$).

---

Yechilgan misollar

1-misol. Burchaklarni topish

Parallelogrammning burchaklaridan biri ikkinchisidan $40^\circ$ ga katta. Uning barcha burchaklarini toping.

• Bir tomonga yopishgan burchaklar yig'indisi $180^\circ$. Kichik burchak $\alpha$ bo'lsa, ikkinchisi $\alpha + 40^\circ$.
• $\alpha + (\alpha + 40^\circ) = 180^\circ \implies 2\alpha = 140^\circ \implies \alpha = 70^\circ$.
• O'tkir burchaklar: $\angle A = \angle C = 70^\circ$.
• O'tmas burchaklar: $\angle B = \angle D = 70^\circ + 40^\circ = 110^\circ$.

Javob: $70^\circ, 110^\circ, 70^\circ, 110^\circ$.

2-misol. Tomonlar va perimetr

Parallelogrammning perimetri $56$ sm, qo'shni tomonlari nisbati $3 : 4$. Tomonlarini toping.

• Tomonlarni $a = 3x$ va $b = 4x$ deb olamiz.
• $P = 2(a + b) \implies 2(3x + 4x) = 56 \implies 14x = 56 \implies x = 4$.
• Tomonlar: $a = 3 \cdot 4 = 12$ sm, $b = 4 \cdot 4 = 16$ sm.

Javob: $12$ sm, $16$ sm, $12$ sm, $16$ sm.

3-misol. Bissektrisa ajratgan kesmalar

$ABCD$ parallelogrammda $A$ o'tkir burchak bissektrisasi $BC$ tomonni $E$ nuqtada kesadi. Agar $BE = 5$ sm va $EC = 8$ sm bo'lsa, perimetrni toping.

• Bissektrisa xossasiga ko'ra $\triangle ABE$ teng yonli: $AB = BE = 5$ sm.
• Katta tomon: $BC = BE + EC = 5 + 8 = 13$ sm.
• Perimetr: $P = 2(AB + BC) = 2(5 + 13) = 36$ sm.

Javob: $36$ sm.

4-misol. Diagonallar munosabati

Parallelogrammning tomonlari $6$ sm va $7$ sm, diagonallaridan biri $9$ sm. Ikkinchi diagonalini toping.

• $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$ formulasiga ko'ra:
• $9^2 + d_2^2 = 2(6^2 + 7^2) \implies 81 + d_2^2 = 2(36 + 49) = 170$.
• $d_2^2 = 170 - 81 = 89 \implies d_2 = \sqrt{89}$ sm.

Javob: $\sqrt{89}$ sm.

---

Mashq

1. Parallelogrammning bitta burchagi $44^\circ$. Qolgan uchta burchagini toping.
2. Parallelogrammning ikkita burchagi ayirmasi $50^\circ$. Barcha burchaklarini toping.
3. Parallelogrammning perimetri $50$ sm, bir tomoni ikkinchisidan $7$ sm qisqa. Tomonlarini toping.
4. Parallelogrammning qo'shni tomonlari nisbati $4 : 5$, perimetri $72$ sm. Tomonlarini toping.
5. $ABCD$ parallelogramm diagonallari $O$ nuqtada kesishadi. $AC = 20$ sm, $BD = 14$ sm, $CD = 11$ sm bo'lsa, $\triangle COD$ perimetrini toping.
6. Parallelogrammning o'tmas burchagi uchidan tushirilgan ikki balandligi orasidagi burchak $50^\circ$. Burchaklarini toping.
7. $ABCD$ parallelogrammda $A$ burchak bissektrisasi $BC$ tomonni teng ikkiga bo'ladi. Perimetr $42$ sm bo'lsa, tomonlarini toping.
8. Parallelogrammning tomonlari $4$ sm va $7$ sm, bir diagonali $9$ sm. Ikkinchi diagonalini toping.
9. Parallelogrammning bir tomoniga yopishgan ikki burchagi bissektrisalari qanday burchak ostida kesishadi?
10. $ABCD$ parallelogrammda $\angle A = 60^\circ$, $AB = 8$ sm. $B$ uchidan $AD$ tomonga $BH$ balandlik tushirilgan. $AH$ kesmani toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. Qo'shni burchak: $180^\circ - 44^\circ = 136^\circ$. Javob: 136°, 44°, 136°.
2. $\alpha + (\alpha + 50^\circ) = 180^\circ \implies 2\alpha = 130^\circ \implies \alpha = 65^\circ$. Ikkinchisi $115^\circ$. Javob: 65°, 115°, 65°, 115°.
3. $2(a + a - 7) = 50 \implies 2a - 7 = 25 \implies a = 16$ sm, ikkinchi tomon $9$ sm. Javob: 16 sm, 9 sm, 16 sm, 9 sm.
4. $2(4x + 5x) = 72 \implies 18x = 72 \implies x = 4$. Tomonlar: $16$ sm va $20$ sm. Javob: 16 sm va 20 sm.
5. $OC = 10$ sm, $OD = 7$ sm. $P = 10 + 7 + 11 = 28$ sm. Javob: 28 sm.
6. Balandliklar orasidagi burchak o'tkir burchakka teng: $\angle A = 50^\circ$. O'tmas burchak $130^\circ$. Javob: 50°, 130°, 50°, 130°.
7. $AB = BE = EC \implies BC = 2AB$. $P = 6AB = 42 \implies AB = 7$ sm, $BC = 14$ sm. Javob: 7 sm va 14 sm.
8. $9^2 + d_2^2 = 2(16 + 49) = 130 \implies d_2^2 = 49 \implies d_2 = 7$ sm. Javob: 7 sm.
9. Burchaklar yarmisi yig'indisi $90^\circ$. Uchinchi burchak: $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Javob: 90° (to'g'ri burchak).
10. $\triangle ABH$ da $\angle ABH = 30^\circ \implies AH = AB : 2 = 8 : 2 = 4$ sm. Javob: 4 sm.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. Qarama-qarshi burchaklar yig'indisini $180^\circ$ deb o'ylash. ✗ Parallelogrammda $\angle A + \angle C = 180^\circ$. ✓ Qarama-qarshi burchaklar teng: $\angle A = \angle C$. Bir tomonga yopishgan burchaklar yig'indisi $180^\circ$ bo'ladi: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

2. Diagonallarni doim teng deb hisoblash. ✗ Parallelogrammda $AC = BD$. ✓ Ixtiyoriy parallelogrammda diagonallar teng emas. Ular faqat to'g'ri to'rtburchak va kvadratda tengdir.

3. Diagonallarni burchak bissektrisasi deb adashtirish. ✗ Parallelogramm diagonali burchakni teng ikkiga bo'ladi. ✓ Bu xossa faqat romb va kvadratga xos. Oddiy parallelogrammda diagonal burchakni teng ikkiga bo'lmaydi.

4. Bissektrisa tomonni doim teng ikkiga bo'ladi deb hisoblash. ✗ $A$ burchak bissektrisasi $BC$ ni kessa, doim $BE = EC$ bo'ladi. ✓ Bissektrisa yon tomon bilan teng kesma hosil qiladi ($AB = BE$). U tomonni faqat $BC = 2AB$ bo'lgandagina teng ikkiga bo'ladi.

---

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzuni mustahkamlash uchun berilgan 5 ta test savolini ishlab, javoblaringizni tekshiring.

Keyingi qadam

Parallelogrammning asosiy xossalari va alomatlarini o'rgandik. Keyingi darsda parallelogrammning maxsus turlari — to'g'ri to'rtburchak, romb va kvadrat hamda ularning o'ziga xos xususiyatlari bilan tanishamiz.