Trapetsiya

Bu nima va nega kerak

Daryolar ustiga qurilgan to'g'onlar, ko'priklarning beton ustunlari va kema korpuslarining ko'ndalang kesimi yuqori va pastki parallel asoslardan, nishab yon tomonlardan iborat bo'ladi.

Bunday to'rtburchak trapetsiya deb ataladi. U faqat bitta juft tomoni parallel bo'lgan to'rtburchak bo'lib, texnikada yuk va bosimni samarali taqsimlaydigan konstruksiya hisoblanadi.

---

Asosiy g'oya va ta'riflar

[!IMPORTANT] Ta'rif. Faqat ikkita qarama-qarshi tomoni parallel bo'lgan to'rtburchak trapetsiya deyiladi.

          b (kichik asos)
       B _________ C
      /     |     \
   c /      |h     \ d (yon tomonlar)
    /_______|_______\
   A        H        D
          a (katta asos)

Trapetsiyada:

• Parallel tomonlar — asoslar ($AD \parallel BC$);
• Parallel bo'lmagan tomonlar — yon tomonlar ($AB, CD$);
• Asoslar orasidagi perpendikulyar kesma — balandlik ($BH \perp AD$).

Asosiy xossa

Har bir yon tomonga yopishgan burchaklar yig'indisi $180^\circ$ ga teng: $\angle A + \angle B = 180^\circ, \qquad \angle C + \angle D = 180^\circ$

---

Trapetsiya turlari

1. To'g'ri burchakli trapetsiya

Bitta yon tomoni asoslariga perpendikulyar bo'lgan trapetsiya. Bu yon tomon trapetsiyaning balandligi bo'ladi: $h = AB$, va $\angle A = \angle B = 90^\circ$.

2. Teng yonli trapetsiya

Yon tomonlari teng bo'lgan trapetsiya ($AB = CD$).

[!IMPORTANT] Teng yonli trapetsiyaning xossalari:

1. Asosidagi burchaklari teng: $\angle A = \angle D$ va $\angle B = \angle C$.
2. Diagonallari teng: $AC = BD$.
3. Balandlik katta asosni ikki qismga ajratadi: $\text{Kichik kesma} = \dfrac{a - b}{2}, \qquad \text{Katta kesma} = \dfrac{a + b}{2}$
4. Agar diagonallari perpendikulyar bo'lsa ($AC \perp BD$), balandligi: $h = \dfrac{a + b}{2}$.

---

Trapetsiyada 2 ta asosiy usul

Trapetsiya masalalarida ko'pincha qo'shimcha chiziq o'tkaziladi:

1. Balandliklar tushirish: Kichik asosning ikki uchidan balandliklar tushiriladi. To'g'ri to'rtburchak va ikkita to'g'ri burchakli uchburchak hosil bo'ladi.
2. Yon tomonga parallel o'tkazish: Kichik asos uchidan ikkinchi yon tomonga parallel o'tkaziladi. Trapetsiya parallelogramm va uchburchakka ajraladi.

---

Yechilgan misollar

1-misol. Burchaklarni topish

To'g'ri burchakli trapetsiyaning o'tkir burchagi o'tmas burchagidan $50^\circ$ ga kichik. Uning barcha burchaklarini toping.

• To'g'ri burchakli trapetsiyaning ikkita burchagi to'g'ri: $90^\circ, 90^\circ$.
• Qolgan ikki burchak yig'indisi $180^\circ$. O'tkir burchak $\alpha$ bo'lsa, o'tmas burchak $\alpha + 50^\circ$.
• $\alpha + (\alpha + 50^\circ) = 180^\circ \implies 2\alpha = 130^\circ \implies \alpha = 65^\circ$.
• O'tmas burchak: $65^\circ + 50^\circ = 115^\circ$.

Javob: $90^\circ, 90^\circ, 115^\circ, 65^\circ$.

2-misol. Teng yonli trapetsiya tomonlari

Teng yonli trapetsiyaning asoslari $14$ sm va $26$ sm, o'tkir burchagi $60^\circ$. Uning yon tomoni va perimetrini toping.

• Katta asosdan tushirilgan balandlik asosdan ajratgan kichik kesma: $AH = \dfrac{a - b}{2} = \dfrac{26 - 14}{2} = 6 \text{ sm}$
• To'g'ri burchakli $\triangle ABH$ da $\angle A = 60^\circ \implies \angle ABH = 30^\circ$.
• $30^\circ$ li burchak qarshisidagi katet $AH = 6$ sm bo'lsa, gipotenuza (yon tomon) uning ikkilanganiga teng: $c = AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 6 = 12 \text{ sm}$
• Perimetr: $P = a + b + 2c = 26 + 14 + 2 \cdot 12 = 40 + 24 = 64$ sm.

Javob: Yon tomoni $12$ sm, perimetri $64$ sm.

3-misol. Yon tomonga parallel o'tkazish

Trapetsiyaning asoslari $9$ sm va $24$ sm, yon tomonlari $9$ sm va $12$ sm. Yon tomonlari orasidagi burchakni toping.

• $C$ uchidan $AB$ ga parallel $CE$ kesma o'tkazamiz ($E \in AD$).
• $ABCE$ — parallelogramm: $AE = BC = 9$ sm va $CE = AB = 9$ sm.
• $\triangle CDE$ ning tomonlari: $CE = 9$ sm, $CD = 12$ sm va $ED = 24 - 9 = 15$ sm.
• Pifagorni tekshiramiz: $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$.
• Demak, $\angle ECD = 90^\circ$. $CE \parallel AB$ bo'lgani sababli yon tomonlar orasidagi burchak $90^\circ$ dir.

Javob: $90^\circ$.

4-misol. Teng yonli trapetsiya diagonali

Teng yonli trapetsiyaning asoslari $9$ sm va $21$ sm, balandligi $8$ sm. Uning diagonalini toping.

• Balandlik ajratgan katta kesma: $AH = \dfrac{a + b}{2} = \dfrac{21 + 9}{2} = 15 \text{ sm}$
• To'g'ri burchakli $\triangle ACH$ da katetlar $AH = 15$ sm va $CH = 8$ sm.
• Diagonal: $AC = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$ sm.

Javob: $17$ sm.

---

Mashq

1. Trapetsiyaning burchaklaridan biri $55^\circ$. Bu burchak yon tomonga yopishgan bo'lsa, ikkinchi burchagini toping.
2. Teng yonli trapetsiyaning bitta burchagi $115^\circ$. Qolgan uchta burchagini toping.
3. Teng yonli trapetsiyaning perimetri $54$ sm, asoslari $14$ sm va $22$ sm. Yon tomonini toping.
4. To'g'ri burchakli trapetsiyaning o'tkir burchagi $60^\circ$, katta yon tomoni $16$ sm, kichik asosi $10$ sm. Katta asosini toping.
5. Teng yonli trapetsiyaning asoslari $12$ sm va $28$ sm. Balandlik katta asosni qanday kesmalarga ajratadi?
6. Teng yonli trapetsiyaning asoslari $10$ sm va $26$ sm, yon tomoni $17$ sm. Trapetsiya balandligini toping.
7. Diagonallari perpendikulyar bo'lgan teng yonli trapetsiyaning asoslari $14$ sm va $26$ sm. Uning balandligini toping.
8. Trapetsiyaning asoslari $5$ sm va $15$ sm, yon tomonlari $6$ sm va $8$ sm. Yon tomonlari davom ettirilsa, ular qanday burchak ostida kesishadi?
9. Teng yonli trapetsiyaning diagonali o'tkir burchak bissektrisasi bo'lib, asoslari $6$ sm va $14$ sm. Trapetsiya perimetrini toping.
10. Teng yonli trapetsiyaning asoslari $6$ sm va $18$ sm, balandligi $5$ sm. Uning diagonalini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. Yon tomonga yopishgan burchaklar yig'indisi $180^\circ$: $180^\circ - 55^\circ = 125^\circ$. Javob: 125°.
2. O'tkir burchaklar: $180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$. Asosdagi burchaklar teng: $115^\circ, 65^\circ, 65^\circ$. Javob: 115°, 65°, 65°.
3. $2c + 14 + 22 = 54 \implies 2c = 18 \implies c = 9$ sm. Javob: 9 sm.
4. Proyeksiya: $16 \cdot \cos 60^\circ = 16 \cdot 0{,}5 = 8$ sm. Katta asos: $10 + 8 = 18$ sm. Javob: 18 sm.
5. Kichik kesma: $(28 - 12) : 2 = 8$ sm. Katta kesma: $28 - 8 = 20$ sm. Javob: 8 sm va 20 sm.
6. Proyeksiya: $(26 - 10) : 2 = 8$ sm. Balandlik: $h = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = 15$ sm. Javob: 15 sm.
7. Diagonallari perpendikulyar teng yonli trapetsiyada: $h = (14 + 26) : 2 = 20$ sm. Javob: 20 sm.
8. Yon tomonga parallel o'tkazsak, tomonlari $6, 8$ va $15 - 5 = 10$ sm bo'lgan uchburchak chiqadi. $6^2 + 8^2 = 10^2$ bo'lgani uchun burchak $90^\circ$. Javob: 90°.
9. Diagonal bissektrisa bo'lsa, yon tomon kichik asosga teng bo'ladi: $c = b = 6$ sm. $P = 14 + 6 + 6 + 6 = 32$ sm. Javob: 32 sm.
10. Katta kesma: $(18 + 6) : 2 = 12$ sm. Diagonal: $d = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = 13$ sm. Javob: 13 sm.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. Qarama-qarshi burchaklar yig'indisini $180^\circ$ deb hisoblash. ✗ Ixtiyoriy trapetsiyada $\angle A + \angle C = 180^\circ$. ✓ Burchaklar yig'indisi $180^\circ$ bo'lishi faqat bitta yon tomonga yopishgan burchaklarga tegishli: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

2. Teng yonli trapetsiyada balandlik ajratgan kesmani noto'g'ri hisoblash. ✗ Balandlik katta asosdan ajratgan kichik kesma $a - b$ ga teng. ✓ Ikkita yon tomon bo'lgani uchun bu ayirma ikkiga bo'linadi: $\dfrac{a - b}{2}$.

3. Bissektrisa doim yon tomonga teng deb o'ylash. ✗ Trapetsiyaning bissektrisasi istalgan holatda teng yonli uchburchak hosil qiladi. ✓ Bissektrisa faqat parallel asoslar orasida ichki almashinuvchi burchaklar orqali teng yonli uchburchak ajratadi (yon tomon kichik asosga teng bo'ladi).

---

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzuni mustahkamlash uchun berilgan 5 ta test savolini ishlab, javoblaringizni tekshiring.

Keyingi qadam

Trapetsiyaning xossalari bilan tanishdik. Endi uchburchak va trapetsiyada tomonlar o'rtalarini birlashtiruvchi eng muhim chiziq — o'rta chiziq mavzusiga o'tamiz.