To'g'ri to'rtburchak, romb, kvadrat

Bu nima va nega kerak

Oldingi darsda parallelogramm bilan tanishdik. Agar parallelogrammning burchaklarini to'g'rilab, hammasini $90^\circ$ qilsak nima bo'ladi? Yoki hamma tomonlarini tenglashtirsak-chi?

Bunday o'zgarishlar natijasida kundalik hayotimizda eng ko'p ishlatiladigan uchta maxsus shakl hosil bo'ladi: to'g'ri to'rtburchak, romb va kvadrat. Ular parallelogrammning barcha xossalarini saqlab qolgan holda, o'zlarining noyob xususiyatlariga ham ega.

---

1. To'g'ri to'rtburchak

[!IMPORTANT] Ta'rif. Hamma burchaklari to'g'ri ($90^\circ$) bo'lgan parallelogramm to'g'ri to'rtburchak deyiladi.

      B ________________ C
        |              |
        |              |
      A |______________| D

To'g'ri to'rtburchak parallelogramm bo'lgani sababli, uning qarama-qarshi tomonlari parallel va tengdir: $AB = CD$, $BC = AD$.

To'g'ri to'rtburchakning maxsus xossasi

• Diagonallari tengdir: $AC = BD$.
• Diagonallar kesishish nuqtasida teng ikkiga bo'linadi: $AO = BO = CO = DO$.

Muhim xulosa (to'g'ri burchakli uchburchak medianasi)

To'g'ri burchakli $\triangle ABC$ da gipotenuzaga tushirilgan mediana to'g'ri to'rtburchak yarim diagonaliga teng.

[!NOTE] To'g'ri burchakli uchburchakda to'g'ri burchak uchidan gipotenuzaga tushirilgan mediana gipotenuzaning yarmiga teng: $m_c = \dfrac{c}{2}$.

To'g'ri to'rtburchak alomati

Agar parallelogrammning diagonallari teng bo'lsa, u to'g'ri to'rtburchakdir.

---

2. Romb

[!IMPORTANT] Ta'rif. Barcha tomonlari teng bo'lgan parallelogramm romb deyiladi.

            B
           / \
          /   \
       A /  O  \ C
         \     /
          \   /
            D

Rombda $AB = BC = CD = DA = a$. Uning perimetri: $P = 4a$.

Rombning maxsus xossalari

1. Diagonallari o'zaro perpendikulyardir: $AC \perp BD$.
2. Diagonallari uning burchaklari bissektrisasidir: $AC$ diagonal $\angle A$ va $\angle C$ ni teng ikkiga, $BD$ diagonal esa $\angle B$ va $\angle D$ ni teng ikkiga bo'ladi.
3. Diagonallari kesishganda rombni 4 ta teng to'g'ri burchakli uchburchakka ajratadi.
4. Diagonallar va tomon munosabati: $d_1^2 + d_2^2 = 4a^2$

Romb alomatlari

1. Agar parallelogrammning diagonallari o'zaro perpendikulyar bo'lsa ($AC \perp BD$), u rombdir.
2. Agar parallelogrammning diagonali burchagini teng ikkiga bo'lsa (bissektrisa bo'lsa), u rombdir.
3. Agar to'rtburchakning barcha tomonlari teng bo'lsa, u rombdir.

---

3. Kvadrat

[!IMPORTANT] Ta'rif. Barcha burchaklari to'g'ri bo'lgan romb yoki barcha tomonlari teng bo'lgan to'g'ri to'rtburchak kvadrat deyiladi.

      B ________ C
        |  \  /  |
        |   X    |
        |  /  \  |
      A |________| D

Kvadrat — to'rtburchaklar ichida eng simmetriki bo'lib, u to'g'ri to'rtburchak va rombning barcha xossalarini o'zida birlashtiradi:

• Barcha tomonlari teng ($a$) va hamma burchaklari $90^\circ$;
• Diagonallari o'zaro teng: $d_1 = d_2 = d$;
• Diagonallari o'zaro perpendikulyar ($d_1 \perp d_2$) va kesishish nuqtasida teng ikkiga bo'linadi;
• Diagonallari burchaklarni teng ikkiga bo'ladi ($45^\circ$ dan);
• Tomoni $a$ bo'lsa, diagonali: $d = a\sqrt{2}$. Perimetri: $P = 4a$.

---

Shakllar oilasi

                 Parallelogramm
                 /            \
        To'g'ri to'rtburchak   Romb
                 \            /
                    Kvadrat

---

Yechilgan misollar

1-misol. To'g'ri to'rtburchak diagonallari

To'g'ri to'rtburchak diagonallari $O$ nuqtada kesishadi. Diagonallar orasidagi burchak $\angle AOB = 60^\circ$, diagonal $AC = 16$ sm. Kichik tomonini toping.

• Diagonallar teng va kesishish nuqtasida teng ikkiga bo'linadi: $AO = BO = 16 : 2 = 8$ sm.
• $\triangle AOB$ da $AO = BO$ bo'lgani uchun teng yonli.
• Uchidagi burchagi $60^\circ$ bo'lgan teng yonli uchburchak muntazam (teng tomonli) bo'ladi.
• Demak, $AB = AO = 8$ sm.

Javob: $8$ sm.

2-misol. Romb burchaklari va tomoni

Rombning o'tmas burchagi $120^\circ$, kichik diagonali $10$ sm. Rombning perimetrini toping.

• Rombning bir tomoniga yopishgan burchaklari yig'indisi $180^\circ$, demak o'tkir burchagi: $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
• $AC$ kichik diagonal $60^\circ$ li burchak qarshisida yotadi.
• $\triangle ABC$ da $AB = BC$ (romb tomonlari) va $\angle B = 60^\circ$.
• Demak, $\triangle ABC$ teng tomonli uchburchak bo'lib, uning barcha tomonlari $10$ sm ga teng: $a = 10$ sm.
• Perimetr: $P = 4a = 4 \cdot 10 = 40$ sm.

Javob: $40$ sm.

3-misol. Romb diagonallari munosabati

Rombning perimetri $52$ sm, diagonallaridan biri $10$ sm ga teng. Ikkinchi diagonalini toping.

• Romb tomoni: $a = 52 : 4 = 13$ sm.
• Diagonallar perpendikulyar kesishib, to'g'ri burchakli uchburchak hosil qiladi. Uning gipotenuzasi $a = 13$ sm, bir kateti $d_1 : 2 = 10 : 2 = 5$ sm.
• Pifagor teoremasi bo'yicha ikkinchi katet: $\left(\dfrac{d_2}{2}\right) = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ sm}$
• Demak, ikkinchi diagonal: $d_2 = 12 \cdot 2 = 24$ sm.

Javob: $24$ sm.

4-misol. Kvadrat diagonali

Kvadratning perimetri $40$ sm. Uning tomonini va diagonalini toping.

• Kvadrat tomoni: $a = P : 4 = 40 : 4 = 10$ sm.
• Diagonal formulasi bo'yicha: $d = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$ sm.

Javob: Tomoni $10$ sm, diagonali $10\sqrt{2}$ sm.

---

Mashq

1. To'g'ri to'rtburchakning perimetri $36$ sm, bir tomoni ikkinchisidan $4$ sm uzun. Tomonlarini toping.
2. To'g'ri to'rtburchak diagonallari orasidagi burchak $60^\circ$, diagonali $14$ sm. Uning kichik tomonini toping.
3. To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi $18$ sm. Gipotenuzaga tushirilgan medianani toping.
4. Rombning perimetri $48$ sm. Uning tomonini toping.
5. Rombning bitta burchagi $70^\circ$. Uning diagonallari tomonlar bilan hosil qilgan burchaklarini toping.
6. Rombning diagonallari $6$ sm va $8$ sm. Uning tomoni va perimetrini toping.
7. Rombning o'tkir burchagi $60^\circ$, kichik diagonali $9$ sm. Uning perimetrini toping.
8. Rombning perimetri $40$ sm, diagonallaridan biri $16$ sm. Ikkinchi diagonalini toping.
9. Kvadratning perimetri $28$ sm. Uning tomonini va diagonalini toping.
10. To'g'ri to'rtburchakning tomonlari $12$ sm va $16$ sm ga teng. Uning diagonallari uzunligini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $2(a + a + 4) = 36 \implies 2a + 4 = 18 \implies 2a = 14 \implies a = 7$ sm, katta tomon $11$ sm. Javob: 7 sm va 11 sm.
2. $\triangle AOB$ teng tomonli bo'ladi: $AB = AO = 14 : 2 = 7$ sm. Javob: 7 sm.
3. To'g'ri burchak uchidan gipotenuzaga tushirilgan mediana: $m = 18 : 2 = 9$ sm. Javob: 9 sm.
4. Tomoni: $a = 48 : 4 = 12$ sm. Javob: 12 sm.
5. Diagonallar burchak bissektrisasi: $70^\circ : 2 = 35^\circ$ va $(180^\circ - 70^\circ) : 2 = 55^\circ$. Javob: 35° va 55°.
6. Diagonallar yarmi $3$ va $4$. Tomoni: $a = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ sm, perimetri $4 \cdot 5 = 20$ sm. Javob: tomoni 5 sm, perimetri 20 sm.
7. Kichik diagonal va tomonlar teng tomonli uchburchak beradi: $a = 9$ sm. $P = 4 \cdot 9 = 36$ sm. Javob: 36 sm.
8. Tomon $a = 10$ sm. Yarim diagonal $8$ sm. Ikkinchi yarmi: $\sqrt{10^2 - 8^2} = 6$ sm. Diagonal: $2 \cdot 6 = 12$ sm. Javob: 12 sm.
9. Tomoni: $a = 28 : 4 = 7$ sm, diagonali $d = 7\sqrt{2}$ sm. Javob: tomoni 7 sm, diagonali 7√2 sm.
10. Diagonallar teng: $d = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$ sm. Javob: 20 sm va 20 sm.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. Romb diagonallari teng deb hisoblash. ✗ Rombda $AC = BD$. ✓ Romb diagonallari faqat u kvadrat bo'lgan holdagina teng bo'ladi. Umumiy holda romb diagonallari teng emas, ammo o'zaro perpendikulyardir.

2. To'g'ri to'rtburchak diagonallarini perpendikulyar deb o'ylash. ✗ To'g'ri to'rtburchak diagonallari $90^\circ$ ostida kesishadi. ✓ To'g'ri to'rtburchak diagonallari teng, lekin ular faqat kvadratda o'zaro perpendikulyar bo'ladi.

3. To'g'ri to'rtburchak diagonali burchakni teng ikkiga bo'ladi deb o'ylash. ✗ To'g'ri to'rtburchak diagonali to'g'ri burchakni $45^\circ$ dan ikkiga bo'ladi. ✓ Bu xossa faqat kvadrat va rombga xos. To'g'ri to'rtburchakda diagonal burchakni teng bo'lmaydi (agar u kvadrat bo'lmasa).

4. Kvadratni faqat to'g'ri to'rtburchak deb tushunish. ✗ Kvadrat romb emas, u faqat to'g'ri to'rtburchak. ✓ Kvadrat bir vaqtning o'zida ham to'g'ri to'rtburchak, ham rombdir. U har ikkala shaklning barcha xossalarini to'liq bajaradi.

---

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzuni mustahkamlash uchun berilgan 5 ta test savolini ishlab, javoblaringizni tekshiring.

Keyingi qadam

Parallelogramm va uning maxsus turlari bilan batafsil tanishdik. Endi faqat ikkita tomoni parallel bo'lgan to'rtburchak — trapetsiya va uning xossalari mavzusiga o'tamiz.