O'rta chiziq

Bu nima va nega kerak

Uchburchak yoki trapetsiyaning yon tomonlari o'rtalarini tutashtirsak, hosil bo'lgan kesma asosga parallel bo'ladi va uning uzunligi asosga to'liq bog'liq bo'ladi.

Bu kesma o'rta chiziq deb ataladi. U ko'prik to'sinlarida yukni muvozanatlash, qurilish fermalarini mustahkamlash va murakkab shakllarni soddalashtirishda asosiy tushunchadir.

---

1. Uchburchakning o'rta chizig'i

[!IMPORTANT] Ta'rif. Uchburchakning ikki tomoni o'rtalarini tutashtiruvchi kesma uchburchakning o'rta chizig'i deyiladi.

            B
           / \
        M /___\ N  (O'rta chiziq)
         /     \
        A_______C
         (Asos, b)

Chizmada: $AM = MB$ va $BN = NC$. Kesma $MN$ — $AC$ asosga mos o'rta chiziq.

Uchburchak o'rta chizig'i teoremasi

[!IMPORTANT] Teorema. Uchburchakning o'rta chizig'i uchinchi tomoniga parallel bo'lib, uning yarmiga teng: $MN \parallel AC \qquad \text{va} \qquad MN = \dfrac{AC}{2}$

Isboti: $MN$ nurni $N$ dan o'tib $ND = MN$ bo'lguncha davom ettiramiz va $CD$ ni tutashtiramiz. $\triangle MBN \cong \triangle DCN$ (chunki $BN = NC$, $MN = ND$ va $\angle MNB = \angle DNC$). Bundan $CD = BM = AM$ va $CD \parallel AB$. Demak, $AMCD$ — parallelogramm: $MD = AC$. $MN = \dfrac{MD}{2}$ bo'lgani sababli, $MN = \dfrac{AC}{2}$ va $MN \parallel AC$.

Uchburchakdagi 3 ta o'rta chiziq

Uchburchakning uchta o'rta chizig'i o'tkazilsa:

1. Ular uchburchakni 4 ta teng uchburchakka ajratadi.
2. O'rta chiziqlar hosil qilgan uchburchak perimetri berilgan uchburchak perimetrining yarmiga teng: $P_{\triangle MNP} = \dfrac{1}{2} P_{\triangle ABC}$

---

Varinon parallelogrammi

[!IMPORTANT] Varinon teoremasi. Ixtiyoriy qavariq to'rtburchak tomonlari o'rtalarini ketma-ket tutashtirilsa, parallelogramm hosil bo'ladi. Uning perimetri to'rtburchak diagonallari yig'indisiga teng: $P = d_1 + d_2$

---

2. Trapetsiyaning o'rta chizig'i

[!IMPORTANT] Ta'rif. Trapetsiya yon tomonlari o'rtalarini tutashtiruvchi kesma o'rta chiziq deyiladi.

          b (kichik asos)
       B _________ C
   M /_____________\ N (O'rta chiziq, m)
   A_________________D
          a (katta asos)

Trapetsiya o'rta chizig'i teoremasi

[!IMPORTANT] Teorema. Trapetsiyaning o'rta chizig'i asoslariga parallel va ularning yig'indisi yarmiga teng: $MN \parallel AD, \quad MN \parallel BC \qquad \text{va} \qquad MN = \dfrac{a + b}{2}$

Diagonallar bilan kesishishi

1. O'rta chiziqning diagonallar orasidagi qismi: $KL = \dfrac{a - b}{2}$
2. O'rta chiziqning chekka qismlari: $MK = LN = \dfrac{b}{2}$

---

Yechilgan misollar

1-misol. Uchburchak perimetri

Uchburchakning perimetri $36$ sm ga teng. Uning o'rta chiziqlaridan hosil bo'lgan uchburchakning perimetrini toping.

• O'rta chiziqlar har bir tomonning yarmiga teng: $MN = \dfrac{a}{2}, \quad NP = \dfrac{b}{2}, \quad PM = \dfrac{c}{2}$
• Yangi uchburchak perimetri: $P_{kichik} = MN + NP + PM = \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{P_{katta}}{2}$
• $P_{kichik} = 36 : 2 = 18$ sm.

Javob: $18$ sm.

2-misol. Trapetsiya asoslari nisbati

Trapetsiyaning o'rta chizig'i $24$ sm bo'lib, asoslari nisbati $3 : 5$ kabi. Trapetsiyaning asoslarini toping.

• Asoslarni $a = 5x$ va $b = 3x$ deb olamiz.
• O'rta chiziq formulasi: $m = \dfrac{a + b}{2}$.
• $\dfrac{5x + 3x}{2} = 24 \implies \dfrac{8x}{2} = 24 \implies 4x = 24 \implies x = 6$.
• Kichik asos: $b = 3 \cdot 6 = 18$ sm.
• Katta asos: $a = 5 \cdot 6 = 30$ sm.
• Tekshirish: $(18 + 30) : 2 = 48 : 2 = 24$ sm ✓.

Javob: $18$ sm va $30$ sm.

3-misol. Diagonal ajratgan o'rta chiziq kesmalari

Trapetsiyaning o'rta chizig'i $16$ sm ga teng. Diagonal uni ikki kesmaga ajratadi, ulardan biri ikkinchisidan $4$ sm ga uzun. Trapetsiya asoslarini toping.

• Kesmalarni $x$ va $x + 4$ deb olamiz.
• $x + (x + 4) = 16 \implies 2x + 4 = 16 \implies 2x = 12 \implies x = 6$ sm.
• Demak, kesmalar $6$ sm va $10$ sm dir.
• Bu kesmalar mos ravishda $\triangle ABC$ va $\triangle ACD$ uchburchaklarning o'rta chiziqlari hisoblanadi: $b = 2 \cdot 6 = 12 \text{ sm}, \qquad a = 2 \cdot 10 = 20 \text{ sm}$

Javob: $12$ sm va $20$ sm.

4-misol. Varinon parallelogrammi

Qavariq to'rtburchakning diagonallari $14$ sm va $18$ sm. Uning tomonlari o'rtalarini tutashtirishdan hosil bo'lgan to'rtburchak perimetrini toping.

• Varinon teoremasiga ko'ra hosil bo'lgan shakl parallelogrammdir.
• Uning tomonlari to'rtburchak diagonallarining yarmiga teng: $a = 7$ sm, $b = 9$ sm.
• Perimetri: $P = 2(7 + 9) = 32$ sm (yoki $P = d_1 + d_2 = 14 + 18 = 32$ sm).

Javob: $32$ sm.

---

Mashq

1. Uchburchakning asosi $16$ sm. Uning shu asosga parallel bo'lgan o'rta chizig'ini toping.
2. Uchburchakning o'rta chiziqlari $5$ sm, $7$ sm va $8$ sm ga teng. Berilgan uchburchakning perimetrini toping.
3. Teng yonli uchburchakning yon tomoni $14$ sm, asosi $10$ sm. Yon tomonlar o'rtalarini tutashtiruvchi kesmani toping.
4. Trapetsiyaning asoslari $11$ sm va $19$ sm. Uning o'rta chizig'ini toping.
5. Trapetsiyaning o'rta chizig'i $20$ sm, asoslaridan biri $13$ sm. Ikkinchi asosini toping.
6. Trapetsiyaning asoslari $8$ sm va $16$ sm. Uning diagonali o'rta chiziqni qanday kesmalarga ajratadi?
7. Trapetsiyaning diagonallari o'rtalarini tutashtiruvchi kesma $5$ sm, kichik asosi $12$ sm. Katta asosini toping.
8. Teng yonli trapetsiyaning o'rta chizig'i $18$ sm, yon tomoni $10$ sm. Trapetsiya perimetrini toping.
9. Qavariq to'rtburchakning diagonallari $15$ sm va $25$ sm bo'lib, o'zaro perpendikulyar. Tomonlari o'rtalarini tutashtirishdan hosil bo'lgan shakl turini va perimetrini toping.
10. To'g'ri burchakli trapetsiyaning balandligi $8$ sm, o'rta chizig'i $13$ sm, kichik asosi $10$ sm. Uning katta yon tomonini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. O'rta chiziq asosning yarmiga teng: $16 : 2 = 8$ sm. Javob: 8 sm.
2. Uchburchak tomonlari: $10$ sm, $14$ sm, $16$ sm. $P = 10 + 14 + 16 = 40$ sm (yoki $2 \cdot (5 + 7 + 8) = 40$ sm). Javob: 40 sm.
3. Asosga parallel o'rta chiziq: $10 : 2 = 5$ sm. Javob: 5 sm.
4. $m = (11 + 19) : 2 = 30 : 2 = 15$ sm. Javob: 15 sm.
5. $a + b = 2 \cdot 20 = 40 \implies a = 40 - 13 = 27$ sm. Javob: 27 sm.
6. $\triangle ABC$ dan: $8 : 2 = 4$ sm; $\triangle ACD$ dan: $16 : 2 = 8$ sm. Javob: 4 sm va 8 sm.
7. $(a - b) : 2 = 5 \implies a - 12 = 10 \implies a = 22$ sm. Javob: 22 sm.
8. Asoslar yig'indisi $2 \cdot 18 = 36$ sm. Perimetr: $36 + 2 \cdot 10 = 56$ sm. Javob: 56 sm.
9. Diagonallar perpendikulyar bo'lgani sababli burchaklar $90^\circ$ bo'ladi — to'g'ri to'rtburchak hosil bo'ladi. $P = 15 + 25 = 40$ sm. Javob: to'g'ri to'rtburchak, perimetri 40 sm.
10. Katta asos: $2 \cdot 13 - 10 = 16$ sm. Proyeksiya: $16 - 10 = 6$ sm. Katta yon tomon: $c = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10$ sm. Javob: 10 sm.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. O'rta chiziqni faqat parallel kesma deb o'ylash. ✗ Yon tomonlarni istalgan nuqtada tutashtiruvchi parallel chiziq o'rta chiziq bo'ladi. ✓ O'rta chiziq bo'lishi uchun kesma tomonlarning aynan o'rtalarini tutashtirishi shart.

2. Trapetsiya o'rta chizig'ini uchburchakniki bilan adashtirish. ✗ Trapetsiya o'rta chizig'i $m = \dfrac{a}{2}$ bo'ladi. ✓ Trapetsiyada ikkita asos bor, shuning uchun ularning yig'indisining yarmi olinadi: $m = \dfrac{a + b}{2}$.

3. Diagonallar o'rtalari orasidagi kesmani o'rta chiziq yarmi deb hisoblash. ✗ Diagonallar o'rtalari orasidagi masofa $\dfrac{m}{2}$ ga teng. ✓ Bu kesma asoslar ayirmasining yarmiga tengdir: $\dfrac{a - b}{2}$.

---

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzuni mustahkamlash uchun berilgan 5 ta test savolini ishlab, javoblaringizni tekshiring.

Keyingi qadam

To'rtburchaklar va ularning o'rta chiziqlari bilan to'liq tanishib chiqdik. Keyingi bo'limda shakllarning eng muhim xarakteristikalaridan biri — geometrik figuralarning yuzalari mavzusiga qadam qo'yamiz.