Yuza tushunchasi

Bu nima va nega kerak

Xonaga laminat yotqizish, polga gilam solish yoki devorlarni bo'yashda qancha material kerakligini bilish uchun faqat perimetr yetarli emas. Perimetr shaklning faqat chegarasini o'lchaydi. Ichki butun tekislik maydonini hisoblash uchun bizga yuza tushunchasi kerak bo'ladi.

Arxitektura, qurilish, xaritalar chizish va yer maydonlarini o'lchash aynan yuza hisoblashga tayanadi. Ushbu darsda yuzaning asosiy aksiomalari, to'g'ri to'rtburchak va to'g'ri burchakli uchburchak yuzini hisoblashni o'rganamiz.

Asosiy g'oya va ta'riflar

Yuza ta'rifi

[!IMPORTANT] Ta'rif. Geometrik shaklning yuzi — uning tekislikda egallagan qismini ifodalovchi musbat kattalikdir.

Yuzani o'lchash uchun birlik sifatida birlik kvadrat qabul qilinadi. Masalan, tomoni $1\text{ sm}$ bo'lgan kvadrat yuzi $1\text{ sm}^2$, tomoni $1\text{ m}$ bo'lgan kvadrat yuzi esa $1\text{ m}^2$ bo'ladi.

Yuzaning asosiy xossalari (aksiomalari)

1. Musbatlik: Har qanday ko'pburchakning yuzi musbat son ($S > 0$).
2. Teng shakllar teng yuzaga ega: Agar $F_1 = F_2$ bo'lsa, $S(F_1) = S(F_2)$.
3. Additivlik: Agar shakl umumiy ichki nuqtaga ega bo'lmagan bir nechta bo'lakka bo'linsa, uning yuzi bo'laklar yuzlarining yig'indisiga teng: $S = S_1 + S_2 + \dots + S_n$
4. Birlik kvadrat: Tomoni bir birlik bo'lgan kvadratning yuzi bir kvadrat birlikka teng ($S = 1$).

Tengdosh shakllar

Yuzalari o'zaro teng bo'lgan shakllar tengdosh shakllar deyiladi.

[!NOTE] Teng shakllar har doim tengdosh bo'ladi. Ammo tengdosh shakllarning o'zi teng bo'lishi shart emas. Masalan, tomoni $6\text{ sm}$ bo'lgan kvadrat ($S = 36\text{ sm}^2$) bilan tomonlari $4\text{ sm}$ va $9\text{ sm}$ bo'lgan to'g'ri to'rtburchak ($S = 36\text{ sm}^2$) tengdosh, ammo shakllari har xil.

Asosiy formulalar

1. Kvadrat yuzi: Tomoni $a$ bo'lgan kvadrat uchun: $S = a^2$
2. To'g'ri to'rtburchak yuzi: Qo'shni tomonlari $a$ va $b$ bo'lgan to'rtburchak uchun: $S = a \cdot b$
3. To'g'ri burchakli uchburchak yuzi: To'g'ri to'rtburchak diagonal orqali ikkita teng to'g'ri burchakli uchburchakka ajraladi. Shuning uchun katetlari $a$ va $b$ bo'lsa: $S = \frac{1}{2}ab$

O'lchov birliklari

• $1\text{ sm}^2 = 100\text{ mm}^2$
• $1\text{ dm}^2 = 100\text{ sm}^2$
• $1\text{ m}^2 = 10\ 000\text{ sm}^2$
• $1\text{ ar}$ (sotix) $= 100\text{ m}^2$
• $1\text{ ga}$ (gektar) $= 10\ 000\text{ m}^2 = 100\text{ ar}$

Yechilgan misollar

1-misol. To'g'ri to'rtburchak yuzi va perimetri

$ABCD$ to'g'ri to'rtburchakda $AB = 15\text{ sm}$ va perimetri $46\text{ sm}$. Uning ikkinchi tomoni va yuzini toping.

• Perimetr formulasi: $P = 2(a + b)$. $2(15 + b) = 46 \implies 15 + b = 23 \implies b = 8\text{ sm}.$
• Yuzi: $S = a \cdot b = 15 \cdot 8 = 120\text{ sm}^2.$
• Javob: $b = 8\text{ sm}$, $S = 120\text{ sm}^2$.

---

2-misol. Tengdosh shakllar

Tomoni $10\text{ sm}$ bo'lgan kvadrat bilan tengdosh to'g'ri to'rtburchakning eni $4\text{ sm}$. To'rtburchak bo'yini va perimetrini toping.

• Kvadrat yuzi: $S = 10^2 = 100\text{ sm}^2$.
• To'g'ri to'rtburchak yuzi ham $100\text{ sm}^2$: $a \cdot 4 = 100 \implies a = 25\text{ sm}.$
• Perimetri: $P = 2(25 + 4) = 58\text{ sm}.$
• Javob: bo'yi $25\text{ sm}$, perimetri $58\text{ sm}$.

---

3-misol. Shaklni bo'laklarga ajratib yuza topish

L-shaklidagi pol ikkita to'g'ri to'rtburchakdan tashkil topgan: birinchisining o'lchamlari $6\text{ m} \times 3\text{ m}$, ikkinchisiniki $4\text{ m} \times 2\text{ m}$ bo'lib, ular umumiy ichki nuqtalarga ega emas. Umumiy yuzani toping.

• Bo'laklar yuzlarini hisoblaymiz: $S_1 = 6 \cdot 3 = 18\text{ m}^2, \quad S_2 = 4 \cdot 2 = 8\text{ m}^2.$
• Additivlik xossasiga ko'ra: $S = S_1 + S_2 = 18 + 8 = 26\text{ m}^2.$
• Javob: $26\text{ m}^2$.

---

4-misol. Hoshiya va ayirish usuli

O'lchamlari $14\text{ m} \times 9\text{ m}$ bo'lgan to'g'ri to'rtburchak shaklidagi hovlining o'rtasida $8\text{ m} \times 5\text{ m}$ o'lchamli basseyn joylashgan. Hovlining qolgan ochiq qismi yuzini toping.

• To'liq hovli yuzi: $S_{\text{hovli}} = 14 \cdot 9 = 126\text{ m}^2.$
• Basseyn yuzi: $S_{\text{basseyn}} = 8 \cdot 5 = 40\text{ m}^2.$
• Qolgan maydon yuzi: $S = S_{\text{hovli}} - S_{\text{basseyn}} = 126 - 40 = 86\text{ m}^2.$
• Javob: $86\text{ m}^2$.

---

5-misol. To'g'ri burchakli uchburchak yuzi

Katetlari $8\text{ sm}$ va $15\text{ sm}$ bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning yuzini toping.

• Katetlar ko'paytmasining yarmini olamiz: $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 15 = 4 \cdot 15 = 60\text{ sm}^2.$
• Javob: $60\text{ sm}^2$.

Mashq

1. Bo'yi $14\text{ sm}$, eni $6\text{ sm}$ bo'lgan to'g'ri to'rtburchak yuzini toping.
2. Perimetri $36\text{ sm}$ bo'lgan kvadratning yuzini toping.
3. Yuzi $72\text{ sm}^2$ bo'lgan to'g'ri to'rtburchakning eni $8\text{ sm}$. Uning bo'yi va perimetrini toping.
4. Katetlari $7\text{ sm}$ va $12\text{ sm}$ bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchak yuzini toping.
5. Tomoni $12\text{ sm}$ bo'lgan kvadrat bilan tengdosh to'rtburchakning bo'yi $18\text{ sm}$. Uning enini toping.
6. To'g'ri to'rtburchakning bo'yi $2$ marta, eni $3$ marta orttirilsa, yuzi necha marta ortadi?
7. Yuzi $5\text{ ga}$ bo'lgan ekin maydoni necha kvadrat metrga teng?
8. $ABCD$ to'g'ri to'rtburchakda $AB = 10\text{ sm}$, $BC = 6\text{ sm}$. $AC$ diagonal uni ikkita uchburchakka ajratadi. $\triangle ABC$ yuzini toping.
9. $20\text{ m} \times 15\text{ m}$ bo'lgan maydondan tomoni $5\text{ m}$ bo'lgan kvadrat gulzor ajratildi. Qolgan yer yuzini toping.
10. To'g'ri burchakli uchburchakning bir kateti ikkinchisidan $4\text{ sm}$ uzun. Agar uning yuzi $16\text{ sm}^2$ bo'lsa, kichik katetini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $S = 14 \cdot 6 = 84\text{ sm}^2$.
2. Tomoni $a = 36 : 4 = 9\text{ sm}$, yuzi $S = 9^2 = 81\text{ sm}^2$.
3. Bo'yi $a = 72 : 8 = 9\text{ sm}$. Perimetri $P = 2(9 + 8) = 34\text{ sm}$.
4. $S = \dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 12 = 42\text{ sm}^2$.
5. Kvadrat yuzi $S = 144\text{ sm}^2$. Eni $b = 144 : 18 = 8\text{ sm}$.
6. $S_2 = (2a)(3b) = 6ab$, ya'ni $6$ marta ortadi.
7. $1\text{ ga} = 10\ 000\text{ m}^2 \implies 5\text{ ga} = 50\ 000\text{ m}^2$.
8. Diagonal to'g'ri to'rtburchakni teng ikkiga bo'ladi: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 = 30\text{ sm}^2$.
9. Jami maydon $300\text{ m}^2$, gulzor $25\text{ m}^2$. Qolgan maydon $300 - 25 = 275\text{ m}^2$.
10. $\dfrac{1}{2} x(x + 4) = 16 \implies x^2 + 4x - 32 = 0 \implies (x + 8)(x - 4) = 0 \implies x = 4\text{ sm}$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Perimetr va yuzani adashtirish.

• ✗ Perimetr o'rniga tomonlarni ko'paytirish, yoki yuza o'rniga $2(a+b)$ ni hisoblash.
• ✓ Perimetr — chegara uzunligi ($P = 2a + 2b$, chiziqli birlikda: $\text{sm}, \text{m}$). Yuza — tekislik maydoni ($S = ab$, kvadrat birlikda: $\text{sm}^2, \text{m}^2$).

2. Yuza birliklarini chiziqli birliklardek aylantirish.

• ✗ $1\text{ m}^2 = 100\text{ sm}^2$ deb hisoblash.
• ✓ $1\text{ m}^2 = 100\text{ sm} \cdot 100\text{ sm} = 10\ 000\text{ sm}^2$.

3. Tengdoshlikni tenglik deb tushunish.

• ✗ Yuzlari teng bo'lgan shakllarning tomonlari ham teng bo'lishi shart deb o'ylash.
• ✓ Tengdosh shakllarning faqat yuzalari teng, shakli har xil bo'lishi mumkin.

4. To'g'ri burchakli uchburchak yuzida ikkiga bo'lishni unutish.

• ✗ Katetlari $4$ va $6$ bo'lsa, yuzini $4 \cdot 6 = 24$ deb olish.
• ✓ To'g'ri burchakli uchburchak to'rtburchakning yarmi: $S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12$.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang, tizim yechimini ko'rsatadi.

Keyingi qadam

To'g'ri to'rtburchak va kvadrat yuzini hamda asosiy aksiomalarni o'rgandik. Keyingi darsda bu bilimlar asosida ixtiyoriy uchburchak yuzi va balandlik formulalarini ko'rib chiqamiz.