Pifagor teoremasi

Bu nima va nega kerak

Qurilish va me'morchilikda burchaklarning to'g'ri ($90^\circ$) bo'lishi eng muhim shartdir. Agar bino poydevori yoki devorlari to'g'ri burchak ostida qurilmasa, inshoot mustahkam bo'lmaydi. Qadimgi Misrda muhandislar 12 ta teng bo'lakka tugilgan arqondan foydalanib, tomonlari 3, 4 va 5 bo'lgan uchburchak yasaganlar va to'g'ri burchak hosil qilganlar.

Buning sababi: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$.

Eramizdan avvalgi VI asrda yunon olimi Pifagor tomonidan isbotlangan bu qonuniyat Pifagor teoremasi deb ataladi. U to'g'ri burchakli uchburchak tomonlari orasidagi bog'liqlikni ifodalovchi asosiy qonundir.

---

Asosiy g'oya va ta'riflar

To'g'ri burchakli uchburchakda:

• To'g'ri burchak hosil qiluvchi tomonlar — katetlar ($a$ va $b$);
• To'g'ri burchak qarshisidagi tomon — gipotenuza ($c$).

          B
         /|
        / |
     c /  | a
      /   |
     /____|
    A  b  C

Chizmada: $\angle C = 90^\circ$, $a, b$ — katetlar, $c$ — gipotenuza.

1. Pifagor teoremasi

[!IMPORTANT] Pifagor teoremasi. To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning kvadrati katetlar kvadratlarining yig'indisiga teng: $a^2 + b^2 = c^2$

Noma'lum tomonlarni topish:

• Gipotenuza: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
• Katetlar: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$, $b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Isbot g'oyasi (yuzalar orqali)

Tomoni $a + b$ bo'lgan kvadrat chizib, uning burchaklariga 4 ta to'g'ri burchakli uchburchak joylashtirilsa, o'rtada tomoni $c$ bo'lgan kvadrat hosil bo'ladi.

• Katta kvadrat yuzi: $S = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Shakllar yig'indisi: $S = 4 \cdot (\frac{1}{2}ab) + c^2 = 2ab + c^2$
• Tenglashtirib: $a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2 \implies a^2 + b^2 = c^2$.

2. Pifagor uchliklari

Tomonlari butun sonlardan iborat to'g'ri burchakli uchburchaklar:

• $(3, 4, 5)$ — Misr uchburchagi;
• $(5, 12, 13)$;
• $(8, 15, 17)$;
• $(7, 24, 25)$.

Ularning karralilari ham to'g'ri burchakli uchburchak beradi: masalan, $(6, 8, 10)$, $(9, 12, 15)$.

3. Teskari teorema

[!IMPORTANT] Teskari teorema. Agar uchburchak tomonlari uchun $a^2 + b^2 = c^2$ bajarilsa, u to'g'ri burchakli uchburchak bo'ladi.

Burchak turini aniqlash ($c$ — eng katta tomon):

1. $a^2 + b^2 = c^2 \implies$ to'g'ri burchakli;
2. $a^2 + b^2 > c^2 \implies$ o'tkir burchakli;
3. $a^2 + b^2 < c^2 \implies$ o'tmas burchakli.

4. Metrik munosabatlar

To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaga $h_c$ balandlik tushirilsa:

• $h_c^2 = a_c \cdot b_c \implies h_c = \sqrt{a_c \cdot b_c}$
• $a^2 = c \cdot a_c$, $b^2 = c \cdot b_c$

---

Yechilgan misollar

1-misol. Gipotenuzani hisoblash

To'g'ri burchakli uchburchakning katetlari $12\text{ sm}$ va $16\text{ sm}$. Gipotenuzani toping.

• $c^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400$.
• $c = \sqrt{400} = 20\text{ sm}$.

Javob: $20\text{ sm}$.

2-misol. Katet va yuzani hisoblash

Gipotenuzasi $25\text{ sm}$, bitta kateti $7\text{ sm}$ bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning ikkinchi katetini va yuzini toping.

• Katet: $b = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24\text{ sm}$.
• Yuza: $S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 24 = 84\text{ sm}^2$.

Javob: Katet $24\text{ sm}$, yuza $84\text{ sm}^2$.

3-misol. Teng yonli uchburchak balandligi

Teng yonli uchburchakning yon tomoni $13\text{ sm}$, asosi $10\text{ sm}$. Asosga tushirilgan balandlikni toping.

• Asosning yarmi: $10 : 2 = 5\text{ sm}$.
• Balandlik: $h = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\text{ sm}$.

Javob: $12\text{ sm}$.

4-misol. Rombning tomoni va perimetri

Rombning diagonallari $12\text{ sm}$ va $16\text{ sm}$. Uning tomoni va perimetrini toping.

• Yarim diagonallar: $6\text{ sm}$ va $8\text{ sm}$.
• Romb tomoni gipotenuza bo'ladi: $a = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\text{ sm}$.
• Perimetr: $P = 4 \cdot 10 = 40\text{ sm}$.

Javob: Tomoni $10\text{ sm}$, perimetri $40\text{ sm}$.

---

Mashq

1. Katetlari $6\text{ sm}$ va $8\text{ sm}$ bo'lgan to'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasini toping.
2. Gipotenuzasi $17\text{ sm}$, kateti $15\text{ sm}$ bo'lgan uchburchakning ikkinchi katetini hisoblang.
3. To'g'ri to'rtburchakning tomonlari $5\text{ sm}$ va $12\text{ sm}$. Uning diagonalini toping.
4. Rombning diagonallari $16\text{ sm}$ va $30\text{ sm}$. Uning perimetrini toping.
5. Teng yonli uchburchakning asosi $16\text{ sm}$, yon tomoni $10\text{ sm}$. Asosga tushirilgan balandlikni hisoblang.
6. Tomonlari $9\text{ sm}, 12\text{ sm}, 15\text{ sm}$ bo'lgan uchburchak to'g'ri burchakli bo'ladimi?
7. Tomonlari $7\text{ sm}, 8\text{ sm}$ va $11\text{ sm}$ bo'lgan uchburchak burchaklariga ko'ra qanday uchburchak?
8. To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaga tushirilgan balandlik gipotenuzani $4\text{ sm}$ va $9\text{ sm}$ bo'laklarga ajratadi. Shu balandlikni toping.
9. Kvadratning diagonali $8\sqrt{2}\text{ sm}$. Uning tomoni va yuzini toping.
10. Zinapoyaning uzunligi $10\text{ m}$, u devor tagidan $6\text{ m}$ uzoqlikda yerga tirab qo'yilgan. Zinapoyaning yuqori uchi devorning qanday balandligiga yetadi?

Javoblar va yechim yo'llari

1. $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10\text{ sm}$. Javob: 10 sm.
2. $a = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = 8\text{ sm}$. Javob: 8 sm.
3. $d = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = 13\text{ sm}$. Javob: 13 sm.
4. Yarim diagonallar $8$ va $15\text{ sm}$. Tomoni $a = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17\text{ sm}$. $P = 4 \cdot 17 = 68\text{ sm}$. Javob: 68 sm.
5. Asosning yarmi $8\text{ sm}$. $h = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6\text{ sm}$. Javob: 6 sm.
6. $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$. Javob: Ha, to'g'ri burchakli.
7. Katta tomon $11$. $7^2 + 8^2 = 113 < 11^2 = 121$. Javob: O'tmas burchakli.
8. $h = \sqrt{4 \cdot 9} = 6\text{ sm}$. Javob: 6 sm.
9. $d = a\sqrt{2} \implies a = 8\text{ sm}$, $S = 8^2 = 64\text{ sm}^2$. Javob: Tomoni 8 sm, yuzi 64 sm².
10. $h = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8\text{ m}$. Javob: 8 m.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. Katetni topishda kvadratlarni qo'shib yuborish. ✗ $a = \sqrt{c^2 + b^2}$ deb hisoblash. ✓ Katet doimo gipotenuzadan qisqa, shuning uchun ayirish lozim: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$.

2. Pifagorni to'g'ri burchakli bo'lmagan uchburchaklarga qo'llash. ✗ Ixtiyoriy uchburchakda $a^2 + b^2 = c^2$ munosabatni ishlatish. ✓ Pifagor teoremasi faqat to'g'ri burchakli uchburchak ($\angle = 90^\circ$) uchungina o'rinlidir.

3. Ildiz chiqarish amalini noto'g'ri tushunish. ✗ $\sqrt{a^2 + b^2} = a + b$ deb yozish (masalan, $\sqrt{9 + 16} = 3 + 4 = 7$). ✓ Avval kvadratlar yig'indisi hisoblanadi, so'ngra ildiz olinadi: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

4. Burchak turini aniqlashda eng katta tomonni tanlamaslik. ✗ Ixtiyoriy tomonni $c$ deb olib, $a^2 + b^2$ bilan solishtirish. ✓ Taqqoslashda $c$ sifatida doimo uchburchakning eng katta tomoni olinishi shart.

---

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzuni mustahkamlash uchun berilgan 5 ta test savolini ishlab, javoblaringizni tekshiring.

Keyingi qadam

Pifagor teoremasi orqali to'g'ri burchakli uchburchak elementlarini hisoblashni o'rgandik. Keyingi bosqichda burchaklari teng, lekin o'lchamlari proporsional bo'lgan figuralar — o'xshash uchburchaklar mavzusiga o'tamiz.