Uchburchak va uning turlari

Bu nima va nega kerak

Atrofimizda uchburchaklar juda ko'p: uy tomi, ko'prik fermalari, velosiped ramkasi, ohakli tog'lar. Nima uchun muhandislar aynan uchburchak shaklidan foydalanadi? Chunki uchburchak — eng mustahkam geometrik shakl. Uchburchakning tomonlarini qattiq qilsangiz, uni siqib burolmaysiz. To'rtburchakni esa osonlikcha siqib rhombus qilib yuborish mumkin.

Geometriyaning asosi — uchburchakdir. Har qanday ko'pburchakni uchburchaklarga bo'lish mumkin, shuning uchun uchburchakni yaxshi tushungan kishi geometriyaning katta qismini egallagan bo'ladi.

Asosiy g'oya: uchburchak nima

Ta'rif. Bir to'g'ri chiziqda yotmagan uchta nuqta va ularni birlashtiruvchi uchta kesma uchburchak hosil qiladi.

Uchta nuqta uchburchakning uchlari (vertekslari), uchta kesma esa uning tomonlari deyiladi. Uchlarga odatda katta lotin harflari — $A$, $B$, $C$ beriladi, uchburchak esa $ABC$ deb belgilanadi.

        A
       / \
      /   \
     /     \
    B-------C

Uchburchak $ABC$ da:

• Tomonlar: $AB$, $BC$, $CA$ (yoki $a = BC$, $b = CA$, $c = AB$)
• Burchaklar: $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$ (yoki $\alpha$, $\beta$, $\gamma$)
• Perimetr: $P = a + b + c$

Uchburchak tengsizligi. Har qanday uchburchakda ikki tomonning yig'indisi uchinchi tomondan katta bo'ladi: $a + b > c, \quad b + c > a, \quad a + c > b.$

Bu tabiiy: A dan C ga to'g'ridan-to'g'ri borish har doim B orqali borishdan qisqa.

Uchburchaklar turlari

Tomonlariga ko'ra

Tur	Shart	Misollar
Teng tomonli	$a = b = c$	Tomonlari $5, 5, 5$
Teng yonli	Ikki tomoni teng	Tomonlari $6, 6, 4$
Qiyshiq (umumiy)	Hech qaysi tomoni teng emas	Tomonlari $3, 4, 5$

Burchaklariga ko'ra

Tur	Shart
O'tkir burchakli	Barcha burchaklar $90°$ dan kichik
To'g'ri burchakli	Bitta burchak aynan $90°$
O'tmas burchakli	Bitta burchak $90°$ dan katta

To'g'ri burchakli uchburchakda $90°$ li burchakka qarshi turgan tomon gipotenuz ($c$), qolgan ikki tomon esa katetlar ($a$ va $b$) deyiladi.

Yechilgan misollar

1-misol. Uchburchak hosil bo'ladimi?

Tomonlari $a = 4$ sm, $b = 7$ sm, $c = 10$ sm bo'lgan uchburchak hosil bo'ladimi?

Uchburchak tengsizligini tekshiramiz:

• $4 + 7 = 11 > 10$ ✓
• $4 + 10 = 14 > 7$ ✓
• $7 + 10 = 17 > 4$ ✓

Barcha shartlar bajarildi. Uchburchak hosil bo'ladi.

2-misol. Uchburchak hosil bo'lmaydi

Tomonlari $a = 2$ sm, $b = 3$ sm, $c = 6$ sm bo'lgan uchburchak hosil bo'ladimi?

• $2 + 3 = 5 < 6$ ✗

Birinchi shart buzildi. Uchburchak hosil bo'lmaydi. (Ikki qisqa tomon yig'ilganida ham uzun tomonga yetmaydi.)

3-misol. Perimetrni hisoblash

Uchburchakning tomonlari $a = 8$ sm, $b = 11$ sm, $c = 7$ sm. Perimetrni toping.

$P = a + b + c = 8 + 11 + 7 = 26 \text{ sm}.$

4-misol. Uchburchak turini aniqlash

Quyidagi uchburchaklarning turini aniqlang:

a) Tomonlari $5, 5, 5$ sm → Barcha tomonlar teng, demak teng tomonli.

b) Tomonlari $3, 3, 7$ sm. Avval uchburchak hosil bo'ladimi: $3 + 3 = 6 < 7$ ✗. Uchburchak hosil bo'lmaydi.

c) Tomonlari $6, 8, 10$ sm. $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$. Pifagor shartini qanoatlantiradi → to'g'ri burchakli (va qiyshiq).

d) Burchaklari $60°, 70°, 50°$. Barcha burchaklar $90°$ dan kichik → o'tkir burchakli.

5-misol. Uchinchi tomonning chegarasi

Uchburchakning ikki tomoni $5$ sm va $9$ sm. Uchinchi tomon $c$ qanday qiymatlarda uchburchak hosil bo'ladi?

Uchburchak tengsizliklaridan: $|9 - 5| < c < 9 + 5 \quad \Rightarrow \quad 4 < c < 14.$

Javob: $c$ ning qiymati $4$ dan $14$ gacha (chegaralar kirmaydi) bo'lishi kerak.

Tekshirish: $c = 5$ da: $5+5=10>9$ ✓, $5+9=14>5$ ✓, $9+5=14>5$ ✓ — ishlaydi. $c = 4$ da: $5+4=9$, ya'ni $9 \not> 9$ ✗ — ishlamaydi.

Mashq

1. Tomonlari $a = 6$ sm, $b = 8$ sm, $c = 12$ sm bo'lgan uchburchak hosil bo'ladimi?
2. Tomonlari $5$ sm, $5$ sm, $9$ sm bo'lgan uchburchak turini aniqlang.
3. Uchburchakning ikki tomoni $7$ sm va $3$ sm. Uchinchi tomon qanday qiymatlar qabul qilishi mumkin?
4. Burchaklari $45°$, $45°$, $90°$ bo'lgan uchburchak qaysi turga kiradi?
5. Uchburchakning perimetri $30$ sm. Tomonlari $8$ sm va $11$ sm bo'lsa, uchinchi tomoni necha sm?
6. Tomonlari $1$ sm, $1$ sm, $1$ sm bo'lgan uchburchak qanday?
7. $a = 2$, $b = 5$, $c = 8$ tomonli uchburchak hosil bo'ladimi? Nima uchun?
8. To'g'ri burchakli uchburchakda katetlar $6$ sm va $8$ sm bo'lsa, gipotenuz necha sm? ($c^2 = a^2 + b^2$ dan foydalaning.)
9. Uchburchakning tomonlari $x$, $x+2$, $x+4$ sm. $x = 1$ da uchburchak hosil bo'ladimi?
10. Uchburchakda $\angle A = 100°$, $\angle B = 40°$ bo'lsa, bu qaysi turdagi uchburchak?

Javoblar va yechim yo'llari

1. $6+8=14>12$ ✓, $6+12=18>8$ ✓, $8+12=20>6$ ✓. Hosil bo'ladi.
2. Ikki tomoni teng ($5=5$), uchinchi tomon boshqacha ($9$). Teng yonli.
3. $|7-3| < c < 7+3 \Rightarrow 4 < c < 10$. Uchinchi tomon $(4;\,10)$ oraliqda.
4. Bitta burchak $90°$ ga teng → to'g'ri burchakli. Teng yonli ham (ikkita $45°$ burchak va teng katetlar).
5. $P = a + b + c \Rightarrow 30 = 8 + 11 + c \Rightarrow c = 11$ sm.
6. Barcha tomonlar teng → teng tomonli (va teng yonli ham).
7. Eng kichik ikki tomon yig'indisi: $2+5=7 < 8$ ✗. Uchburchak tengsizligi bajarilmaydi, uchburchak hosil bo'lmaydi.
8. $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10$ sm.
9. $x=1$: tomonlar $1, 3, 5$. $1+3=4 < 5$ ✗. Hosil bo'lmaydi.
10. $\angle A = 100° > 90°$ → o'tmas burchakli.

Keng tarqalgan xatolar

1. Uchburchak tengsizligini tekshirmaslik. ✗ $2$, $3$, $6$ tomonli uchburchakni hisoblashga urinish. ✓ Avval $2+3=5 < 6$ ni tekshiring — bunday uchburchak yo'q.

2. Teng tomonlini teng yonlidan ajratmaslik. ✗ "Teng yonli degani barcha tomonlar teng" deb o'ylash. ✓ Teng tomonli ($a=b=c$) — bu teng yonlining maxsus holi. Teng yonlida faqat ikki tomon teng.

3. To'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzni noto'g'ri aniqlash. ✗ Gipotenuz — eng uzun ko'ringan tomon. ✓ Gipotenuz — 90° burchakka qarshi turgan tomon; u har doim eng uzun bo'ladi, lekin ta'rif burchakka asoslanadi.

4. Uchinchi tomonning chegarasini noto'g'ri hisoblash. ✗ $|a-b|$ va $a+b$ ni chegara sifatida kiritish ($4 \le c \le 14$). ✓ Chegara qat'iy: $4 < c < 14$ (teng bo'lganda uchburchak degeneratsiyalanadi — chiziq hosil bo'ladi).

5. O'tmas burchakli uchburchakda ikkita o'tmas burchak bo'ladi deb o'ylash. ✗ "90°dan katta ikkita burchak bo'lishi mumkin." ✓ Yig'indi $180°$ bo'lgani uchun uchburchakda faqat bitta o'tmas (yoki to'g'ri) burchak bo'lishi mumkin.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Uchburchaklarning faqat turlarini bilish yetarli emas — ularni taqqoslashni ham o'rganamiz. Ikki uchburchak qachon bir-biriga teng? Bu savolga uchburchaklar tengligi alomatlari darsida javob beramiz.