Qo'shni va vertikal burchaklar

Bu nima va nega kerak

Ko'cha kesishmasiga qarang: ikki yo'l kesishganda to'rtta burchak hosil bo'ladi. Muhandis ko'cha belgisi yoki bino loyihasini tuzayotganda bu burchaklar orasidagi bog'liqlikni bilishi shart. «Qo'shni» va «vertikal» burchaklar o'rtasidagi munosabatlar — geometriyaning eng ko'p qo'llaniladigan faktlaridan biri.

Bu mavzu, ayniqsa, keyingi darslarda (parallel chiziqlar, uchburchaklar, isbotlashda) doimiy ishlatiladi.

Asosiy g'oya

Ikki to'g'ri chiziq bir nuqtada kesishganda 4 ta burchak hosil bo'ladi. Bu burchaklar ikki xil munosabatda bo'ladi: qo'shni va vertikal.

      B
      ↑
      |  2 | 1
   ───┼─────────→ A
      | 3 | 4
      |
      ↓
      D

Bu chizmada $O$ — kesishma nuqtasi. $OA$, $OB$, $OC$, $OD$ — to'rtta nur.

Qo'shni burchaklar

Ta'rif. Ikkita burchak qo'shni (yoki to'ldiruvchi) deyiladi, agar:

• Ularning umumiy uchi bo'lsa,
• Bitta umumiy tomoni bo'lsa,
• Ularning ichki qismlari kesishmasa.

Chizmada: $\angle 1$ va $\angle 2$ qo'shni, $\angle 2$ va $\angle 3$ qo'shni, va hokazo.

Qo'shni burchaklar xossasi: $\angle \alpha + \angle \beta = 180°$

Nega? Ikkita qo'shni burchak birgalikda kengaytirilgan burchakni (ya'ni to'g'ri chiziqni) hosil qiladi, kengaytirilgan burchak esa $180°$ ga teng.

Agar burchaklardan biri ma'lum bo'lsa, ikkinchisini topish oson: $\angle \beta = 180° - \angle \alpha.$

Vertikal burchaklar

Ta'rif. Ikki to'g'ri chiziq kesishganda hosil bo'lgan burchaklardan qarama-qarshi joylashganlari vertikal burchaklar deyiladi.

Chizmada: $\angle 1$ va $\angle 3$ vertikal, $\angle 2$ va $\angle 4$ vertikal.

Vertikal burchaklar teoremasi: $\angle \alpha = \angle \gamma \quad \text{(vertikal burchaklar teng)}.$

Isboti: $\angle \alpha$ va $\angle \beta$ qo'shni: $\angle \alpha + \angle \beta = 180°$, ya'ni $\angle \alpha = 180° - \angle \beta$. $\angle \gamma$ va $\angle \beta$ qo'shni: $\angle \gamma + \angle \beta = 180°$, ya'ni $\angle \gamma = 180° - \angle \beta$. Demak, $\angle \alpha = \angle \gamma$. ∎

To'rtta burchakning yig'indisi

Ikki to'g'ri chiziq kesishganda hosil bo'lgan to'rtta burchakning yig'indisi: $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 360°.$

Bu to'liq aylana burchagi — mantiqan to'g'ri: nuqtani o'rab oluvchi barcha burchaklar.

Yechilgan misollar

1-misol. Qo'shni burchakni topish

$\angle MON = 72°$. $\angle MON$ ga qo'shni $\angle NOP$ ni toping.

Qo'shni burchaklar yig'indisi $180°$: $\angle NOP = 180° - \angle MON = 180° - 72° = 108°.$

Tekshirish: $72° + 108° = 180°$ ✓. $\angle NOP$ — o'tmas burchak.

2-misol. Vertikal burchakni topish

Ikki to'g'ri chiziq kesishib, $\angle 1 = 55°$ hosil qildi. Qolgan uchta burchakni toping.

      ↑
  2   |   1 = 55°
 ─────┼─────────→
  3   |   4
      ↓

• $\angle 3$ — $\angle 1$ ga vertikal: $\angle 3 = \angle 1 = 55°$.
• $\angle 2$ — $\angle 1$ ga qo'shni: $\angle 2 = 180° - 55° = 125°$.
• $\angle 4$ — $\angle 2$ ga vertikal: $\angle 4 = \angle 2 = 125°$.

Tekshirish: $55° + 125° + 55° + 125° = 360°$ ✓.

3-misol. Noma'lumli burchak — tenglama orqali

Ikki to'g'ri chiziq kesishganda hosil bo'lgan ikkita qo'shni burchak $3x + 10°$ va $5x - 2°$. Bu burchaklarni toping.

Qo'shni burchaklar yig'indisi $180°$: $(3x + 10) + (5x - 2) = 180$ $8x + 8 = 180$ $8x = 172$ $x = 21.5.$

Demak:

• $\angle 1 = 3 \cdot 21{,}5 + 10 = 64{,}5 + 10 = 74{,}5°$
• $\angle 2 = 5 \cdot 21{,}5 - 2 = 107{,}5 - 2 = 105{,}5°$

Tekshirish: $74{,}5° + 105{,}5° = 180°$ ✓.

4-misol. Vertikal burchaklar va tenglama

Ikki to'g'ri chiziq kesishganda bir burchak $4a - 20°$, uning vertikal burchagi $2a + 36°$. $a$ ni va barcha to'rtta burchakni toping.

Vertikal burchaklar teng: $4a - 20 = 2a + 36$ $4a - 2a = 36 + 20$ $2a = 56$ $a = 28.$

Burchaklar: $\angle 1 = \angle 3 = 4 \cdot 28 - 20 = 112 - 20 = 92°.$ $\angle 2 = \angle 4 = 180° - 92° = 88°.$

Tekshirish: $4 \cdot 28 - 20 = 92$, $2 \cdot 28 + 36 = 56 + 36 = 92$ ✓. Yig'indisi: $92 + 88 + 92 + 88 = 360°$ ✓.

Mashq

1. $\angle PQR = 48°$. Unga qo'shni burchakni toping.
2. Ikki to'g'ri chiziq kesishib, bitta burchak $130°$ hosil qildi. Qolgan uchta burchakni toping.
3. Qo'shni ikkita burchak $7n + 5°$ va $3n + 15°$ ga teng. $n$ ni toping.
4. Vertikal burchaklardan biri $6k - 14°$, ikkinchisi $4k + 8°$. $k$ ni va bu burchakni toping.
5. $\angle 1 = 2m + 20°$, $\angle 2 = 4m - 8°$ va ular vertikal. Lekin $\angle 1 + \angle 2 = 180°$ bo'lsin deb taxmin qilinsa, nima yuz beradi? (Vertikal burchaklar qo'shnimasligini ko'rsating.)
6. To'rtta burchakning yig'indisi $360°$ ekanini qo'shni burchaklar xossasidan kelib chiqib izohlang.
7. Ikki to'g'ri chiziq kesishganda bir burchak to'g'ri (90°) bo'lsa, qolgan uchta burchak qancha?
8. Qo'shni burchaklar nisbati $2:3$ bo'lsa, kichik burchakni toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $180° - 48° = 132°$.

2. Bitta burchak $130°$ → uning qo'shnisi: $180° - 130° = 50°$. Vertikallari: $130°$ va $50°$. Barchasi: 130°, 50°, 130°, 50°.

3. $(7n+5) + (3n+15) = 180$, $10n + 20 = 180$, $10n = 160$, $n = 16$. Burchaklar: $7 \cdot 16 + 5 = 117°$ va $3 \cdot 16 + 15 = 63°$. Tekshirish: $117 + 63 = 180°$ ✓.

4. $6k - 14 = 4k + 8$, $2k = 22$, $k = 11$. Burchak $= 6 \cdot 11 - 14 = 66 - 14 = 52°$.

5. Agar vertikal burchaklarni qo'shni deb hisoblasak: $2m + 20 + 4m - 8 = 180$, $6m + 12 = 180$, $6m = 168$, $m = 28$. $\angle 1 = 76°$, $\angle 2 = 104°$. Lekin vertikal burchaklar teng bo'lishi kerak: $76° \neq 104°$. Bu qarama-qarshilik vertikal burchaklarning qo'shni emas, teng ekanini ko'rsatadi.

6. $\angle 1 + \angle 2 = 180°$ (qo'shni) va $\angle 3 + \angle 4 = 180°$ (qo'shni). Birga: $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 360°$.

7. $90°$ bo'lsa: qo'shnisi $180° - 90° = 90°$. Vertikali $90°$. Barcha to'rttasi ham 90° — to'g'ri burchaklar.

8. Yig'indisi $180°$, nisbat $2:3$. Kichik: $180° \cdot \dfrac{2}{5} = 72°$. Katta: $180° \cdot \dfrac{3}{5} = 108°$. Tekshirish: $72 + 108 = 180°$ ✓.

Keng tarqalgan xatolar

1. Qo'shni burchaklar yig'indisini 90° deb o'ylash. ✗ Qo'shni burchaklar $90°$ ga qo'shiladi. ✓ Qo'shni burchaklar yig'indisi $180°$ (kengaytirilgan burchak). 90° ga qo'shiluvchi burchaklar «to'ldiruvchi» (komplementar) deyiladi — bu boshqacha tushuncha.

2. Vertikal burchaklar doim o'tkir deb o'ylash. ✗ $45°$ burchakning vertikal burchagi ham $45°$ bo'lgani uchun vertikal burchaklar o'tkir. ✓ Vertikal burchaklar faqat teng bo'lishi kerak. Ular o'tkir, to'g'ri yoki o'tmas bo'lishi mumkin.

3. Qo'shni va vertikal burchakni chalkashtirib yuborish. ✗ Rasm chizmasdan «bu ikkisi vertikal» deb taxmin qilish. ✓ Vertikal burchaklar — qarama-qarshi burchaklar (bir-birining «ro'parasida»). Qo'shni burchaklar — yon-yonida turadi.

4. Ikki to'g'ri chiziqdan faqat 2 ta burchak hosil bo'ladi deb o'ylash. ✗ Ikki to'g'ri chiziq kesishganda 2 ta burchak hosil bo'ladi. ✓ Ikkita to'g'ri chiziq kesishganda 4 ta burchak hosil bo'ladi. Ular ikkita juft qo'shni va ikkita juft vertikal.

5. Yig'indi $360°$ bo'lishini tekshirmaslik. ✗ To'rtta burchakni topib qo'yish. ✓ Har doim to'rtta burchak yig'indisi $360°$ ga teng ekanini tekshiring — bu xatoni topishning eng ishonchli usuli.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Endi uchburchak va uning turlari mavzusini o'rganamiz. Uchburchak — geometriyaning eng muhim figurasidir va u haqidagi bilimlar burchaklar nazariyasiga tayanadi.