Nuqta, to'g'ri chiziq, kesma, nur

Bu nima va nega kerak

Dasturlashda o'zgaruvchisiz kod bo'lmaydi. Geometriyada ham shunday: nuqta, to'g'ri chiziq va kesma — bu geometriyaning «o'zgaruvchilari», ya'ni barcha shakllar va isbotlar shu uchta asosiy tushunchaga tayanadi.

Maktabda uchburchak, kvadrat, doira o'rganasiz — bularning barchasi nuqtalar va to'g'ri chiziqlardan quriladi. Shuning uchun bu mavzuni puxta tushunib olish butun geometriya kursining poydevori hisoblanadi.

Asosiy g'oya

Geometriyaning o'rganish ob'ektlari — shakllar va ularning xossalari. Lekin har qanday murakkab shakl oddiy elementlardan tashkil topadi. Ana shu elementlar — nuqta, to'g'ri chiziq va tekislik.

Bu tushunchalar shunchalik asosiy va sodda-ki, ularni yanada oddiyroq narsalar orqali ta'riflash mumkin emas. Shuning uchun geometriyada ular ta'rifsiz tushunchalar (asosiy tushunchalar) deb qabul qilinadi va faqat xossalari orqali tavsiflanadi.

Nuqta

Nuqta — o'lchamiz yo'q, faqat holati bor ob'ekt. U kattaroq ob'ektlarning «joyi»ni belgilaydi.

Nuqtalar odatda bosh harflar bilan belgilanadi: $A$, $B$, $C$, $M$, $N$...

Qog'ozda nuqtani kichik «•» bilan ifodalaydi, ammo matematik ma'noda nuqtaning o'lchami (uzunligi, kengligi) yo'q.

To'g'ri chiziq

To'g'ri chiziq — ikkala tomonga cheksiz uzayadigan, bukilmagan chiziq.

To'g'ri chiziqlar kichik harflar yoki ikki nuqta bilan belgilanadi: $a$, $b$ yoki $AB$ (ikki nuqta orqali).

Asosiy aksiomat: Har qanday ikki nuqta orqali faqat bitta to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. Bu geometriyaning eng muhim qoidalaridan biri.

  A ————————————————————————————— B
  ←                               →
       (ikkala tomonga cheksiz)

Kesma

Kesma — to'g'ri chiziqning ikki nuqta orasidagi cheklangan qismi. Bu ikkita nuqta kesmaning uchlari deyiladi.

Kesma $AB$ deb belgilanadi, uzunligi esa $|AB|$ yoki shunchaki $AB$ bilan.

  A ●—————————————————————● B
     (cheklangan, oxiri bor)

Kesmadan farqli ravishda, to'g'ri chiziq ikkala tomonga cheksiz, kesma esa faqat ikki uch orasida.

Nur

Nur — to'g'ri chiziqning bitta boshlanish nuqtasiga ega va bir tomonga cheksiz uzayadigan qismi. Boshlanish nuqtasi nur boshi deyiladi.

  O ●————————————————————————→
    (boshi bor, oxiri yo'q)

$OA$ nuri — $O$ dan $A$ tomonga yo'nalgan nur.

Tekislik

Tekislik — uzunlik va eni cheksiz, qalinligi yo'q yassi sirt. Kattaroq mavzularda ko'proq ishlatiladi.

Yechilgan misollar

1-misol. Kesmalarni aniqlash

Agar $A$, $B$, $C$ nuqtalar berilgan bo'lsa, nechta kesma hosil qilish mumkin?

Har ikkita nuqtani bitta kesma bilan ulash mumkin:

• $A$ va $B$ orqali — $AB$ kesmasi
• $A$ va $C$ orqali — $AC$ kesmasi
• $B$ va $C$ orqali — $BC$ kesmasi

Jami 3 ta kesma hosil bo'ladi.

2-misol. Kesmalar yig'indisi

$A$, $B$, $C$ nuqtalar bir to'g'ri chiziqda yotadi. $B$ nuqtasi $A$ va $C$ o'rtasida joylashgan. $|AB| = 7$ sm, $|BC| = 5$ sm bo'lsa, $|AC|$ ni toping.

$B$ nuqtasi orada bo'lgani uchun: $|AC| = |AB| + |BC| = 7 + 5 = 12$ sm.

Tekshirish: $|AB| + |BC| = 7 + 5 = 12 = |AC|$ ✓

3-misol. O'rta nuqta

$|MN| = 18$ sm. $K$ nuqtasi $MN$ kesmaning o'rta nuqtasi bo'lsa, $|MK|$ va $|KN|$ ni toping.

O'rta nuqta kesmani teng ikkiga bo'ladi: $|MK| = |KN| = \frac{|MN|}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ sm.}$

4-misol. Noma'lumli uzunlik

$A$, $B$, $C$ bir to'g'ri chiziqda, $B$ — orada. $|AC| = 20$, $|AB| = 3x + 2$, $|BC| = x + 6$ bo'lsa, $x$ ni va har bir kesmaning uzunligini toping.

$|AB| + |BC| = |AC|$ bo'lgani uchun: $(3x + 2) + (x + 6) = 20$ $4x + 8 = 20$ $4x = 12$ $x = 3.$

Demak: $|AB| = 3 \cdot 3 + 2 = 11$, $|BC| = 3 + 6 = 9$.

Tekshirish: $11 + 9 = 20$ ✓

Mashq

1. $|PQ| = 24$ sm. $R$ — $PQ$ kesmaning o'rta nuqtasi. $|PR|$ ni toping.
2. $A$, $B$, $C$ bir to'g'ri chiziqda, $B$ orada. $|AB| = 9$, $|AC| = 15$. $|BC|$ ni toping.
3. $|XY| = 2x + 4$, $|YZ| = x + 1$, $|XZ| = 20$ va $Y$ — orada. $x$ ni toping.
4. $M$, $N$, $P$, $Q$ — bir to'g'ri chiziqdagi nuqtalar (tartibda). Ulardan nechta kesma hosil qilish mumkin?
5. $|AB| = 30$ sm. $M$ nuqtasi shunday joylashganki, $|AM| = \frac{1}{3}|AB|$. $|MB|$ ni toping.
6. Ikkita nur bir boshlanish nuqtasidan qarama-qarshi tomonlarga ketsa, ular birgalikda nima hosil qiladi?
7. $A$, $B$, $C$ nuqtalar bir to'g'ri chiziqda bo'lib, $|AB| = 5$, $|BC| = 7$, $|AC| = 12$. Qaysi nuqta orada?
8. $|KL| = 4a - 3$, $|LM| = 2a + 5$, $|KM| = 3a + 8$ va $L$ orada. $a$ ni toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $|PR| = \dfrac{24}{2} = 12$ sm.

2. $|BC| = |AC| - |AB| = 15 - 9 = 6$.

3. $(2x+4) + (x+1) = 20$, ya'ni $3x + 5 = 20$, $3x = 15$, $x = 5$. Tekshirish: $|XY| = 14$, $|YZ| = 6$, $14 + 6 = 20$ ✓.

4. 4 ta nuqtadan: $AB, AC, AD, BC, BD, CD$ — jami 6 ta kesma.

5. $|AM| = \dfrac{1}{3} \cdot 30 = 10$ sm. $|MB| = 30 - 10 = 20$ sm.

6. Ikkita qarama-qarshi nur birgalikda to'g'ri chiziq hosil qiladi.

7. $|AB| + |BC| = 5 + 7 = 12 = |AC|$. Demak $B$ nuqtasi $A$ va $C$ o'rtasida.

8. $|KL| + |LM| = |KM|$: $(4a-3) + (2a+5) = 3a+8$, ya'ni $6a+2 = 3a+8$, $3a = 6$, $a = 2$.

Keng tarqalgan xatolar

1. To'g'ri chiziq va kesmani chalkashtirib yuborish. ✗ «$AB$ to'g'ri chizigining uzunligi 5 sm» — to'g'ri chiziq cheksiz, uzunligi bo'lmaydi. ✓ «$AB$ kesmasining uzunligi 5 sm» yoki «$|AB| = 5$ sm».

2. Nuqtalar orasidagi kesmalar yig'indisi qoidasini noto'g'ri qo'llash. ✗ $A$, $B$, $C$ nuqtalar berilganda darhol $|AC| = |AB| + |BC|$ deb yozish. ✓ Avval $B$ nuqtasi $A$ va $C$ orasida ekanligini tekshirish kerak. Aks holda bu tenglik noto'g'ri.

3. Kesmaning o'rta nuqtasini noto'g'ri tushunish. ✗ O'rta nuqta kesmaning uchiga yaqinroq joylashishi mumkin. ✓ O'rta nuqta kesmani teng ikkiga bo'ladi: $|AM| = |MB|$.

4. Nurlar bilan ishlashda yo'nalishni unutish. ✗ $AB$ nuri va $BA$ nuri bir xil. ✓ $AB$ nuri — $A$ dan $B$ tomonga, $BA$ nuri — $B$ dan $A$ tomonga. Bu turli nurlar.

5. Ikki nuqta orqali nechta to'g'ri chiziq o'tishini bilmaslik. ✗ Ikki nuqta orqali bir nechta to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin. ✓ Ikki nuqta orqali faqat bitta to'g'ri chiziq o'tkazish mumkin — bu geometriyaning aksiomasidir.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Endi geometriyaning navbatdagi muhim tushunchasi — burchak bilan tanishamiz. Burchak ikkita nurdan tashkil topadi va uni o'lchash usullarini o'rganamiz.