Burchaklar va ularni o'lchash

Bu nima va nega kerak

Qaysi tomonga burilganingizni qanday ifodalaysiz? «O'ngga» yoki «chapga» deyiladi, lekin qanchaga burildingizni aytmoqchi bo'lsak, gradus ishlatiladi: «90° o'ngga bur» — to'g'ri burchak. Navigatsiyada, arxitekturada, fizikada, kompyuter grafikasida burchak o'lchovi doimo kerak.

Geometriyada esa burchak — uchburchak, to'rtburchak va boshqa barcha shakllarni tavsiflashning asosiy vositasi. Burchakni o'lchay olmasdan geometriyaning biron bo'limini o'rganish mumkin emas.

Asosiy g'oya

Ikkita nur bir nuqtadan boshlanib turli tomonga ketsa, ular orasida burchak hosil bo'ladi.

       B
      ↗
     /   ← bu masofa (burchak o'lchami)
    /
   O ————————→ A

Ta'rif. Umumiy boshi (uchi) bo'lgan ikkita nur burchak hosil qiladi. Nurlar burchakning tomonlari, ularning umumiy boshi esa uchi deyiladi.

Burchak $\angle AOB$ yoki $\angle BOA$ deb belgilanadi. Bu yerda $O$ — uchi, $A$ va $B$ — tomonlardagi nuqtalar.

Burchakni o'lchash

Burchak gradus bilan o'lchanadi ($°$). Aylananing to'liq aylanishi $360°$ deb belgilangan (bu tarixan Bobiliston astronomiyasidan kelgan). Undan:

• Yarim aylana (to'g'ri chiziq) = $180°$
• Chorak aylana (to'g'ri burchak) = $90°$

Burchakni o'lchash uchun transportir (gradusli yarím doira) ishlatiladi.

Burchaklar turlari

Turi	O'lchami
O'tkir burchak	$0° < \alpha < 90°$
To'g'ri burchak	$\alpha = 90°$
O'tmas burchak	$90° < \alpha < 180°$
Kengaytirilgan burchak	$\alpha = 180°$ (to'g'ri chiziq)
To'liq burchak	$\alpha = 360°$

To'g'ri burchak belgisi — □ (kvadratcha) burchak uchida.

Burchak ikki qismga bo'linadi

Agar $OC$ nuri $\angle AOB$ ni ichidan o'tsa va $\angle AOC = \angle COB$ bo'lsa, $OC$ nuri burchak bissektrisasi deyiladi. Bissektrisa burchakni teng ikkiga bo'ladi.

Yechilgan misollar

1-misol. Burchak turini aniqlash

Quyidagi burchaklarni tasniflang: $35°$, $90°$, $117°$, $180°$, $72°$.

• $35°$: $0° < 35° < 90°$ → o'tkir
• $90°$: aynan $90°$ → to'g'ri
• $117°$: $90° < 117° < 180°$ → o'tmas
• $180°$: aynan $180°$ → kengaytirilgan
• $72°$: $0° < 72° < 90°$ → o'tkir

2-misol. Noma'lumli burchakni topish

$\angle AOC = 2x + 10°$ va $\angle COB = x + 20°$. $OC$ — $\angle AOB$ ning bissektrisasi bo'lsa, $x$ ni va $\angle AOB$ ni toping.

Bissektrisa burchakni teng ikkiga bo'lgani uchun $\angle AOC = \angle COB$: $2x + 10 = x + 20$ $2x - x = 20 - 10$ $x = 10.$

Demak: $\angle AOC = 2 \cdot 10 + 10 = 30°, \quad \angle COB = 10 + 20 = 30°.$ $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB = 30° + 30° = 60°.$

Tekshirish: $\angle AOC = \angle COB = 30°$ ✓, $\angle AOB = 60°$ ✓.

3-misol. Burchaklarni qo'shish

$O$ nuqtadan uchta nur: $OA$, $OB$, $OC$ chiqmoqda. $\angle AOB = 40°$, $\angle BOC = 55°$, $OB$ — $\angle AOC$ ichida. $\angle AOC$ ni toping.

$OB$ nuri $\angle AOC$ ichida bo'lgani uchun: $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 40° + 55° = 95°.$

Bu o'tmas burchak (chunki $90° < 95° < 180°$).

4-misol. Algebraik ifodali burchaklar

$\angle PQR = 5\alpha - 20°$ va $\angle PQS = \alpha + 20°$. $QS$ — $\angle PQR$ ning bissektrisasi. $\alpha$ ni, $\angle PQS$ ni va $\angle PQR$ ni toping.

Bissektrisa burchakni teng ikkiga bo'ladi, demak butun burchak yarim burchakdan ikki marta katta: $\angle PQR = 2\cdot\angle PQS$.

$5\alpha - 20 = 2(\alpha + 20)$ $5\alpha - 20 = 2\alpha + 40$ $3\alpha = 60$ $\alpha = 20.$

Demak: $\angle PQS = 20 + 20 = 40°, \qquad \angle PQR = 5\cdot 20 - 20 = 80°.$

Tekshirish: $80° = 2\cdot 40°$ ✓.

Mashq

1. Quyidagi burchaklarni tasniflang: $45°$, $91°$, $180°$, $12°$, $89°$, $90°$, $135°$.
2. $\angle ABC = 3x + 9°$ va $\angle ABD = x + 23°$. $BD$ — $\angle ABC$ ning bissektrisasi bo'lsa, $x$ ni toping.
3. $\angle MON = 76°$. $\angle MOP = 30°$ va $P$ nuri $\angle MON$ ichida. $\angle PON$ ni toping.
4. Transportir bilan $55°$ burchak chizing va uni tasniflang.
5. $\angle \alpha = 2\beta + 18°$. Agar $\beta = 36°$ bo'lsa, $\alpha$ ni toping va turini aniqlang.
6. Burchak o'tkir. Uning o'lchami $5n - 10°$. $n$ qanday qiymatlarida burchak o'tkir bo'ladi?
7. $\angle KLM$ bissektrisasi $LN$ bo'lib, $\angle KLN = 4p - 5°$ va $\angle NLM = 2p + 15°$. $p$ ni va $\angle KLM$ ni toping.
8. To'g'ri burchakning bissektrisasi qanday burchak hosil qiladi?

Javoblar va yechim yo'llari

1. $45°$ — o'tkir; $91°$ — o'tmas; $180°$ — kengaytirilgan; $12°$ — o'tkir; $89°$ — o'tkir; $90°$ — to'g'ri; $135°$ — o'tmas.

2. $BD$ bissektrisa bo'lgani uchun $\angle ABD = \dfrac{\angle ABC}{2}$: $x + 23 = \dfrac{3x+9}{2}$, $2x+46 = 3x+9$, $x = 37$. $\angle ABC = 3 \cdot 37 + 9 = 120°$ (o'tmas), $\angle ABD = 37 + 23 = 60°$ ✓ (aynan yarmi).

3. $\angle PON = \angle MON - \angle MOP = 76° - 30° = 46°$.

4. $55°$ — o'tkir burchak (chunki $0° < 55° < 90°$).

5. $\alpha = 2 \cdot 36 + 18 = 72 + 18 = 90°$ — to'g'ri burchak.

6. O'tkir uchun: $0° < 5n - 10° < 90°$. Chapdan: $5n > 10$, $n > 2$. O'ngdan: $5n < 100$, $n < 20$. Demak $2 < n < 20$.

7. $4p - 5 = 2p + 15$, $2p = 20$, $p = 10$. $\angle KLN = 4 \cdot 10 - 5 = 35°$, $\angle NLM = 2 \cdot 10 + 15 = 35°$. $\angle KLM = 35 + 35 = 70°$ (o'tkir).

8. To'g'ri burchak $= 90°$. Bissektrisa uni teng ikkiga bo'ladi: $90° : 2 = 45°$ — o'tkir burchak.

Keng tarqalgan xatolar

1. O'tkir va o'tmasni chalkashtirib yuborish. ✗ $110°$ — o'tkir burchak (chunki «u katta emas» deb o'ylash). ✓ $110° > 90°$ bo'lgani uchun bu o'tmas burchak. «O'tkir» so'zi «keskin», ya'ni kichik anglatadi.

2. Bissektrisani burchakni teng bo'lishiga emas, markazga o'tishiga bog'lashtirish. ✗ Bissektrisa burchakning geometrik markazidan o'tadi. ✓ Bissektrisa burchakni teng ikkiga bo'ladi: $\angle AOC = \angle COB$.

3. Kengaytirilgan burchakni (180°) burchak deb hisoblamaslik. ✗ $180°$ burchak emas, bu shunchaki to'g'ri chiziq. ✓ $180°$ — kengaytirilgan burchak deyiladi va geometriyada burchak hisoblanadi.

4. Burchaklarni qo'shishda oraliq nur ichida ekanini tekshirmaslik. ✗ Har doim $\angle AOC + \angle COB = \angle AOB$ deb yozish. ✓ Bu faqat $OC$ nuri $\angle AOB$ ichida bo'lganda to'g'ri.

5. Gradus va radian ni chalkashtirib yuborish. ✗ $90$ — bu to'g'ri burchak (radianmi yoki gradusby). ✓ Maktabda gradus ishlatiladi. $90°$ — to'g'ri burchak. Radian kursda keyinroq (10-sinfda) keladi.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Endi qo'shni va vertikal burchaklar mavzusini o'rganamiz — ikki to'g'ri chiziq kesishganda hosil bo'ladigan maxsus burchak juftliklari va ularning muhim xossalari.