Teng yonli uchburchak

Bu nima va nega kerak

Uylarning tomini kuzatganmisiz? Deyarli barcha tomlar ikki nishabli simmetrik uchburchak shaklida yasaladi. Yomg'ir va qor ikki tomonga bir xil oqishi, yuk devorlarga teng taqsimlanishi uchun to'sinlarning ikki tomoni aynan teng qilinadi.

Bu shakl — geometriyadagi eng muhim shakllardan biri bo'lgan teng yonli uchburchakdir. U o'zining simmetriyasi va qulay xossalari tufayli arxitektura, qurilish va DTM imtihonlaridagi masalalarda asosiy o'rin tutadi.

Asosiy g'oya va ta'riflar

Ta'rif. Ikkita tomoni teng bo'lgan uchburchak teng yonli uchburchak deyiladi.

Teng yonli uchburchakda:

• Teng ikkita tomon — yon tomonlar ($a$);
• Uchinchi tomon — asos ($b$);
• Yon tomonlar orasidagi burchak — uchidagi burchak;
• Asosga yopishgan burchaklar — asosidagi burchaklar.

            B  (Uchidagi burchak)
           / \
          /   \
yon tomon/     \ yon tomon
   (a)  /   |   \  (a)
       /    |BD  \
      A-----D-----C
        (Asos, b)

Chizmada: $AB = BC$ (yon tomonlar), $AC$ (asos), $BD$ (asosga tushirilgan bissektrisa, mediana va balandlik).

---

Asosiy teoremalar va xossalar

1-teorema. Asosidagi burchaklar tengligi

[!IMPORTANT] Teorema. Teng yonli uchburchakning asosidagi burchaklari tengdir: $\angle A = \angle C$.

Isboti: $\triangle ABC$ da $AB = BC$ bo'lsin. $B$ uchidan bissektrisa $BD$ o'tkazamiz. $\triangle ABD$ va $\triangle CBD$ da:

1. $AB = BC$ (shart bo'yicha);
2. $\angle ABD = \angle CBD$ ($BD$ — bissektrisa);
3. $BD$ — umumiy tomon.

I-alomat (tomon-burchak-tomon) bo'yicha $\triangle ABD \cong \triangle CBD$. Mos burchaklar teng bo'lgani uchun $\angle A = \angle C$.

2-teorema. Asosga tushirilgan balandlik, mediana va bissektrisa

[!IMPORTANT] Teorema. Teng yonli uchburchakning asosiga tushirilgan bissektrisasi bir vaqtning o'zida ham mediana, ham balandlik bo'ladi.

$\triangle ABD \cong \triangle CBD$ tengligidan:

• $AD = DC \implies BD$ — mediana;
• $\angle ADB = \angle CDB = 180^\circ : 2 = 90^\circ \implies BD$ — balandlik.

[!NOTE] Bu xossa faqat asosga tushirilgan chiziqqa tegishli. Yon tomonlarga tushirilgan balandlik va medianalar umumiy holda ustma-ust tushmaydi.

Teng yonli uchburchak alomati

Agar uchburchakning ikkita burchagi teng bo'lsa, u teng yonli bo'ladi va teng burchaklar qarshisidagi tomonlar ham tengdir.

Teng tomonli (muntazam) uchburchak

Barcha uchala tomoni teng bo'lgan uchburchak teng tomonli deyiladi ($a = b = c$).

• Har bir ichki burchagi $60^\circ$ ga teng: $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.
• Ixtiyoriy uchidan tushirilgan bissektrisa ham balandlik, ham mediana bo'ladi.
• Perimetri: $P = 3a$.

---

Yechilgan misollar

1-misol. Burchaklarni topish

Teng yonli uchburchakning uchidagi burchagi $40^\circ$. Asosidagi burchaklarini toping.

• $AB = BC$ va $\angle B = 40^\circ$.
• Asosdagi burchaklar teng: $\angle A = \angle C$.
• $\angle A + \angle C = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.
• $\angle A = \angle C = 140^\circ : 2 = 70^\circ$.

Javob: $70^\circ, 70^\circ$.

2-misol. Perimetr orqali tomonlarni topish

Teng yonli uchburchakning perimetri $48$ sm, yon tomoni asosidan $6$ sm ga uzun. Barcha tomonlarni toping.

• Asos: $AC = x$. Yon tomonlar: $AB = BC = x + 6$.
• Perimetr: $x + (x + 6) + (x + 6) = 48 \implies 3x + 12 = 48 \implies 3x = 36 \implies x = 12$ sm.
• Yon tomonlar: $12 + 6 = 18$ sm.
• Tekshirish: $18 + 18 + 12 = 48$ sm ✓.

Javob: Asosi $12$ sm, yon tomonlari $18$ sm va $18$ sm.

3-misol. Balandlik va mediana bog'liqligi

Teng yonli $\triangle ABC$ da $AB = BC = 15$ sm, asosi $AC = 18$ sm. $B$ uchidan $BD$ balandlik tushirilgan.

1. $AD$ kesmani toping.
2. Agar $\triangle ABD$ ning perimetri $36$ sm bo'lsa, $BD$ ni toping.

• $BD$ asosga tushirilgani uchun mediana bo'ladi: $AD = AC : 2 = 18 : 2 = 9$ sm.
• $P(\triangle ABD) = AB + AD + BD = 15 + 9 + BD = 36 \implies 24 + BD = 36 \implies BD = 12$ sm.

Javob: $AD = 9$ sm, $BD = 12$ sm.

4-misol. Teng yonlilik alomatini tekshirish

$\triangle ABC$ da $\angle A = 50^\circ$ va $\angle B = 80^\circ$. Uchburchak teng yonlimi? Qaysi tomonlari teng?

• Uchinchi burchak: $\angle C = 180^\circ - (50^\circ + 80^\circ) = 50^\circ$.
• $\angle A = \angle C = 50^\circ$ bo'lgani uchun, alomatga ko'ra $\triangle ABC$ teng yonli.
• Teng burchaklar qarshisidagi tomonlar teng: $BC = AB$.

Javob: Teng yonli, $AB = BC$.

---

Mashq

1. Teng yonli uchburchakning uchidagi burchagi $50°$. Asosidagi burchaklarini toping.
2. Teng yonli uchburchakning asosidagi burchagi $70°$. Uchidagi burchagini toping.
3. Teng yonli uchburchakning perimetri $42$ sm, yon tomoni $15$ sm. Asosini toping.
4. Teng yonli uchburchakning asosi $14$ sm, perimetri $50$ sm. Yon tomonini toping.
5. Teng yonli uchburchakning yon tomoni asosidan $3$ sm uzun, perimetri $36$ sm. Barcha tomonlarini toping.
6. Teng yonli $\triangle ABC$ da $AB = BC$. $B$ uchidan $AC$ asosga $BD$ bissektrisa tushirilgan. $AC = 16$ sm bo'lsa, $AD$ kesma va $\angle ADB$ burchakni toping.
7. Teng yonli uchburchakning asosidagi burchakka qo'shni bo'lgan tashqi burchak $130°$. Barcha ichki burchaklarini toping.
8. Teng yonli to'g'ri burchakli uchburchakning to'g'ri burchagi uning uchida. O'tkir burchaklarini toping.
9. Teng tomonli uchburchakning perimetri $45$ sm. Tomonlarini va burchaklarini toping.
10. Teng yonli uchburchakning perimetri $32$ sm, asosi yon tomonidan $4$ sm ga qisqa. Tomonlarini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. Asosdagi burchaklar teng: $(180° - 50°) : 2 = 65°$. Javob: 65° va 65°.
2. Uchidagi burchak: $180° - 2 \cdot 70° = 40°$. Javob: 40°.
3. Asos: $42 - 2 \cdot 15 = 12$ sm. Javob: 12 sm.
4. Yon tomon: $(50 - 14) : 2 = 18$ sm. Javob: 18 sm.
5. Asos $x$, yon tomon $x+3$. $x + 2(x+3) = 36 \implies 3x + 6 = 36 \implies x = 10$. Tomonlar: $10$ sm, $13$ sm, $13$ sm. Javob: 10 sm, 13 sm, 13 sm.
6. Asosga tushirilgan bissektrisa ham mediana, ham balandlikdir. $AD = 16 : 2 = 8$ sm, $\angle ADB = 90°$. Javob: AD = 8 sm, ∠ADB = 90°.
7. Asosdagi burchak: $180° - 130° = 50°$. Ikkinchi asos burchagi ham $50°$. Uchidagi burchak: $180° - 100° = 80°$. Javob: 50°, 50°, 80°.
8. O'tkir burchaklar teng: $(180° - 90°) : 2 = 45°$. Javob: 45° va 45°.
9. Tomoni: $45 : 3 = 15$ sm. Har bir burchagi: $60°$. Javob: tomoni 15 sm, burchaklari 60°.
10. Yon tomon $y$, asos $y - 4$. $2y + y - 4 = 32 \implies 3y = 36 \implies y = 12$. Asos $8$ sm. Javob: 12 sm, 12 sm, 8 sm.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. Yon tomonga tushirilgan balandlikni ham mediana deb o'ylash. ✗ Ixtiyoriy tomonga tushirilgan balandlik tomonni teng ikkiga bo'ladi. ✓ Faqat asosga tushirilgan balandlik bir vaqtning o'zida mediana va bissektrisa bo'ladi.

2. Asosdagi burchak o'tmas bo'lishi mumkin deb hisoblash. ✗ Teng yonli uchburchakning asosi burchaklari $95°$ va $95°$ bo'lishi mumkin. ✓ Asosdagi burchaklar teng bo'lgani uchun, agar ular $\ge 90°$ bo'lsa, yig'indi $180°$ dan oshadi. Shuning uchun ular doimo o'tkir burchak ($< 90°$) bo'ladi.

3. Asos qaysi biri ekani berilmaganda ikkinchi holatni unutish. ✗ Tomonlari $5$ va $10$ bo'lgan teng yonli uchburchakning uchinchi tomoni $5$ bo'ladi. ✓ Tomonlar $5, 5, 10$ bo'lsa, uchburchak tengsizligi ($5+5>10$) bajarilmaydi. Faqat $10, 10, 5$ holati mavjud, uchinchi tomon $10$ sm bo'ladi.

---

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzuni mustahkamlash uchun berilgan 5 ta test savolini ishlab, javoblaringizni tekshiring.

Keyingi qadam

Teng yonli uchburchak xossalarini o'zlashtirdik. Endi har qanday uchburchak uchun umumiy bo'lgan fundamental qonun — uchburchak ichki burchaklari yig'indisi mavzusiga o'tamiz.