Uchburchak ichki burchaklari yig'indisi

Bu nima va nega kerak

Oddiy qog'ozdan xohlagan shakldagi uchburchakni qirqib oling: u o'tkir burchakli, to'g'ri burchakli yoki yassi bo'lsin. Uning uchala burchagini yirtib olib, uchlarini bitta nuqtada yonma-yon qo'ysangiz, ular to'g'ri chiziq (yoyiq burchak, ya'ni $180^\circ$) hosil qiladi.

Har qanday uchburchakning ichki burchaklari yig'indisi doimo $180^\circ$ ga teng bo'ladi. Bu qoida orqali burchaklarni o'lchamasdan aniq hisoblash mumkin: navigatsiya, qurilish, xaritalash va astronomiyadagi masofalarni o'lchash (triangulyatsiya) aynan shu teoremaga asoslanadi.

---

Asosiy teorema va uning isboti

[!IMPORTANT] Teorema. Har qanday uchburchakning ichki burchaklari yig'indisi $180^\circ$ ga teng: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Teoremaning isboti

Ixtiyoriy $\triangle ABC$ uchburchakni qaraymiz.

       M------- B -------N   (MN || AC)
        \  1 /   \ 2  /
         \  /     \  /
          \/       \/
          A---------C

1. $B$ uchi orqali $AC$ asosga parallel $MN$ to'g'ri chiziq o'tkazamiz ($MN \parallel AC$).
2. $MN \parallel AC$ va $AB$ kesuvchi uchun $\angle 1$ ($\angle ABM$) va $\angle A$ — ichki almashinuvchi burchaklar, demak: $\angle 1 = \angle A$
3. $MN \parallel AC$ va $BC$ kesuvchi uchun $\angle 2$ ($\angle CBN$) va $\angle C$ — ichki almashinuvchi burchaklar, demak: $\angle 2 = \angle C$
4. $B$ nuqtadagi burchaklar yoyiq burchak hosil qiladi: $\angle 1 + \angle B + \angle 2 = 180^\circ$
5. $\angle 1$ va $\angle 2$ o'rniga mos burchaklarni qo'ysak: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

Teorema isbotlandi.

---

Teoremadan kelib chiqadigan muhim xulosalar

1. Uchburchakda ikkita to'g'ri yoki ikkita o'tmas burchak bo'lishi mumkin emas. Agar ikkita burchak $\ge 90^\circ$ bo'lsa, ularning yig'indisi kamida $180^\circ$ bo'lib, uchinchi burchakka joy qolmaydi. Shuning uchun har qanday uchburchakda kamida ikkita o'tkir burchak bo'ladi.

2. To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklari yig'indisi $90^\circ$ ga teng: $\alpha + \beta = 90^\circ$

3. Teng tomonli uchburchakning har bir burchagi $60^\circ$ ga teng: $\angle A = \angle B = \angle C = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$

---

Uchburchakning tashqi burchagi

Ta'rif. Uchburchakning biror ichki burchagiga qo'shni bo'lgan burchak uning tashqi burchagi deyiladi.

          B
         / \
        /   \
       /     \
      A-------C------D
              (tashqi burchak: ∠BCD)

[!IMPORTANT] Tashqi burchak teoremasi. Uchburchakning tashqi burchagi o'ziga qo'shni bo'lmagan ikkita ichki burchak yig'indisiga teng: $\angle BCD = \angle A + \angle B$

Isboti: $\angle BCD + \angle C = 180^\circ \implies \angle BCD = 180^\circ - \angle C$. Ichki burchaklar yig'indisidan: $\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C$. Demak: $\angle BCD = \angle A + \angle B$.

---

Yechilgan misollar

1-misol. Uchinchi burchakni topish

Uchburchakning ikki burchagi $50^\circ$ va $70^\circ$. Uchinchi burchakni toping va turini aniqlang.

• $\angle C = 180^\circ - (50^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
• Barcha burchaklar ($50^\circ, 70^\circ, 60^\circ$) $90^\circ$ dan kichik bo'lgani uchun, bu o'tkir burchakli uchburchak.

Javob: $60^\circ$, o'tkir burchakli.

2-misol. Burchaklar nisbati

Uchburchak burchaklari $2 : 3 : 4$ nisbatda. Barcha burchaklarni toping.

• Burchaklarni $2x, 3x, 4x$ deb olamiz: $2x + 3x + 4x = 180^\circ \implies 9x = 180^\circ \implies x = 20^\circ$
• Burchaklar: $\angle A = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ, \quad \angle B = 3 \cdot 20^\circ = 60^\circ, \quad \angle C = 4 \cdot 20^\circ = 80^\circ$

Javob: $40^\circ, 60^\circ, 80^\circ$.

3-misol. Tashqi burchak xossasi

Tashqi burchak $110^\circ$ ga teng. Unga qo'shni bo'lmagan ichki burchaklardan biri ikkinchisidan $30^\circ$ ga katta. Barcha ichki burchaklarni toping.

• Qo'shni bo'lmagan burchaklar: $x$ va $x + 30^\circ$.
• $x + (x + 30^\circ) = 110^\circ \implies 2x = 80^\circ \implies x = 40^\circ$.
• Ichki burchaklar: $40^\circ$ va $70^\circ$.
• Uchinchi ichki burchak: $180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Javob: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$.

4-misol. To'g'ri burchakli uchburchakda balandlik

To'g'ri burchakli $\triangle ABC$ da $\angle C = 90^\circ$ va $\angle A = 35^\circ$. Gipotenuzaga $CD$ balandlik tushirilgan. U to'g'ri burchakni qanday burchaklarga ajratadi?

• $\angle B = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.
• $\triangle ACD$ to'g'ri burchakli uchburchakda: $\angle ACD = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.
• $\triangle BCD$ to'g'ri burchakli uchburchakda: $\angle BCD = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$.

Javob: $35^\circ$ va $55^\circ$.

---

Mashq

1. Uchburchakning ikki burchagi $35°$ va $85°$. Uchinchi burchakni toping.
2. To'g'ri burchakli uchburchakning o'tkir burchaklaridan biri $42°$. Ikkinchi o'tkir burchakni toping.
3. Uchburchakning burchaklari $2 : 3 : 5$ nisbatda. Barcha burchaklarini toping va turini aniqlang.
4. Teng yonli uchburchakning asosidagi burchagi $55°$. Uchidagi burchakni toping.
5. Teng yonli uchburchakning uchidagi burchagi asosidagi burchagidan $30°$ ga katta. Barcha burchaklarini toping.
6. Uchburchakning tashqi burchagi $115°$. Unga qo'shni bo'lmagan ichki burchaklardan biri $45°$ bo'lsa, barcha ichki burchaklarni toping.
7. Uchburchakning bir burchagi ikkinchisidan $20°$, uchinchisidan $40°$ katta. Barcha burchaklarni toping.
8. To'g'ri burchakli uchburchakning bir o'tkir burchagi $38°$. To'g'ri burchak uchidan tushirilgan balandlik uni qanday burchaklarga ajratadi?
9. Teng yonli uchburchakning burchaklaridan biri $100°$. Qolgan ikki burchakni toping.
10. $\triangle ABC$ da $A$ va $B$ burchaklarning bissektrisalari $O$ nuqtada kesishadi. $\angle C = 70°$ bo'lsa, $\angle AOB$ ni toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $180° - (35° + 85°) = 180° - 120° = 60°$. Javob: 60°.
2. $90° - 42° = 48°$. Javob: 48°.
3. $2x + 3x + 5x = 180° \implies 10x = 180° \implies x = 18°$. Burchaklar: $36°, 54°, 90°$ (to'g'ri burchakli). Javob: 36°, 54°, 90°, to'g'ri burchakli.
4. Asosdagi burchaklar $55°$ va $55°$. Uchidagi burchak: $180° - 110° = 70°$. Javob: 70°.
5. $x + x + (x + 30°) = 180° \implies 3x = 150° \implies x = 50°$. Burchaklar: $50°, 50°, 80°$. Javob: 50°, 50°, 80°.
6. Ikkinchi ichki burchak: $115° - 45° = 70°$. Tashqi burchakka qo'shni burchak: $180° - 115° = 65°$. Javob: 45°, 70°, 65°.
7. $x + (x - 20°) + (x - 40°) = 180° \implies 3x = 240° \implies x = 80°$. Burchaklar: $80°, 60°, 40°$. Javob: 80°, 60°, 40°.
8. Uchburchakning ikkinchi o'tkir burchagi $90° - 38° = 52°$. Balandlik to'g'ri burchakni $38°$ va $52°$ li burchaklarga ajratadi. Javob: 38° va 52°.
9. $100°$ faqat uchidagi burchak bo'lishi mumkin. Asosdagi burchaklar: $(180° - 100°) : 2 = 40°$. Javob: 40° va 40°.
10. $\angle A + \angle B = 180° - 70° = 110°$. Bissektrisalar yarmini oladi: $(\angle A + \angle B) : 2 = 55°$. $\angle AOB = 180° - 55° = 125°$. Javob: 125°.

---

Keng tarqalgan xatolar

1. Tashqi burchakni ichki burchaklar yig'indisi bilan adashtirish. ✗ $\angle BCD = \angle A + \angle B + \angle C = 180°$. ✓ Tashqi burchak faqat o'ziga qo'shni bo'lmagan ikkita ichki burchak yig'indisiga teng: $\angle BCD = \angle A + \angle B$.

2. Uchburchakda ikkita to'g'ri burchak bo'lishi mumkin deb o'ylash. ✗ Uchburchak burchaklari $90°, 90°, 0°$ bo'la oladi. ✓ Burchak $0°$ bo'lolmaydi, shuning uchun to'g'ri burchak ko'pi bilan bitta bo'ladi.

3. Nisbat koeffitsientini burchak deb olish. ✗ Burchaklar $1 : 2 : 3$ bo'lsa, burchaklar $1°, 2°, 3°$. ✓ Nisbat ko'paytuvchisi orqali hisoblanadi: $x + 2x + 3x = 180° \implies x = 30°$, haqiqiy burchaklar: $30°, 60°, 90°$.

---

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzuni mustahkamlash uchun berilgan 5 ta test savolini ishlab, o'z bilimingizni sinovdan o'tkazing.

Keyingi qadam

Uchburchak burchaklari qonuniyatlarini o'rgandik. Keyingi mavzularda ushbu bilimlar asosida ko'pburchaklarning ichki burchaklari yig'indisini hisoblashni o'rganamiz.