Parallellik alomatlari

Bu nima va nega kerak

Temir yo'l relslari bir-biriga hech qachon yaqinlashmaydi, ular doimo bir xil masofada bo'ladi. Binoning derazalari ham bir tekislikda, bir-biriga parallel joylashadi. Lekin bularni qanday isbotlash mumkin? Ko'z bilan ko'rish yetarli emas — amalda ikki chiziqning parallel ekanini tekshirish uchun burchaklarni o'lchaymiz.

Parallellik alomatlari — bu shartlar: agar ular bajarilsa, ikki to'g'ri chiziqning parallel ekanini kafolatlaydi. Isbotlash kerak bo'lmagan holatlarda esa bular bilan tez xulosaga kelish mumkin.

Asosiy g'oya: kesuvchi va hosil bo'ladigan burchaklar

Ikkita to'g'ri chiziqni uchinchi bir chiziq kesib o'tsin. Bu uchinchi chiziq kesuvchi deyiladi.

Kesuvchi ikki chiziqni kesib o'tganda 8 ta burchak hosil bo'ladi. Ularning joylashishiga qarab nomlar beriladi:

      a         b
      |         |
------+----c----+------
      |         |
      1\ 2   5/ 6
      3/ 4   7\ 8
      |         |

Rasmda: kesuvchi $c$ ikki chiziqni kesib o'tmoqda.

• Muvofiq (mos) burchaklar — kesuvchining bir tomonida, lekin har xil chiziqda bir xil holatda turgan burchaklar. Masalan: $1$ va $5$, $2$ va $6$, $3$ va $7$, $4$ va $8$.
• Navbatma-navbat ichki burchaklar — ikkala chiziq orasida, kesuvchining qarama-qarshi tomonlarida. Masalan: $3$ va $5$, $4$ va $6$.
• Bir tomonli ichki burchaklar — ikkala chiziq orasida, kesuvchining bir tomonida. Masalan: $3$ va $6$, $4$ va $5$.
• Navbatma-navbat tashqi burchaklar — ikkala chiziqdan tashqarida, kesuvchining qarama-qarshi tomonlarida. Masalan: $1$ va $7$, $2$ va $8$.

Parallellik alomatlari

Birinchi alomat — navbatma-navbat ichki burchaklar

Agar kesuvchi ikkita to'g'ri chiziqni kesib o'tganda navbatma-navbat ichki burchaklar teng bo'lsa, bu chiziqlar paralleldir.

$\alpha = \beta \implies a \parallel b$

Bu amalda nima degani? Agar $a$ va $b$ chiziqlarning orasida, kesuvchining chap va o'ng tomonidagi burchaklar teng bo'lsa — chiziqlar parallel.

Ikkinchi alomat — muvofiq (mos) burchaklar

Agar kesuvchi ikkita to'g'ri chiziqni kesib o'tganda muvofiq burchaklar teng bo'lsa, bu chiziqlar paralleldir.

$\angle 1 = \angle 5 \implies a \parallel b$

Muvofiq burchaklar — xuddi "F" harfi shaklida ko'rinadi. Ular har doim bir xil tomonda joylashgan.

Uchinchi alomat — bir tomonli ichki burchaklar

Agar kesuvchi ikkita to'g'ri chiziqni kesib o'tganda bir tomonli ichki burchaklar yig'indisi $180°$ bo'lsa, bu chiziqlar paralleldir.

$\angle 3 + \angle 6 = 180° \implies a \parallel b$

Bu burchaklar "C" yoki "U" harfi shaklida ko'rinadi.

To'rtinchi alomat — umumiy perpendikulyar

Agar ikkita to'g'ri chiziq bitta uchinchi chiziqqa perpendikulyar bo'lsa, ular o'zaro paralleldir.

$a \perp c,\; b \perp c \implies a \parallel b$

Yechilgan misollar

1-misol. Birinchi alomat bilan parallellikni aniqlash

Kesuvchi $c$ ikkita chiziqni kesib o'tdi. Navbatma-navbat ichki burchaklar $55°$ va $55°$ ga teng bo'ldi. Bu chiziqlar parallel ekanini asoslang.

Yechim: Navbatma-navbat ichki burchaklar: $55° = 55°$ — teng. Birinchi alomatga ko'ra: chiziqlar parallel.

2-misol. Ikkinchi alomat bilan ishlash

Ikkita chiziqni kesuvchi kesib o'tdi. Muvofiq burchaklardan biri $\angle 1 = 73°$, ikkinchisi $\angle 5 = 73°$. Xulosa chiqaring.

Yechim: $\angle 1 = \angle 5 = 73°$ — muvofiq burchaklar teng. Ikkinchi alomatga ko'ra: chiziqlar parallel.

3-misol. Uchinchi alomat — qo'shimcha burchaklar

Kesuvchi ikkita chiziqni kesib o'tdi. Bir tomonli ichki burchaklardan biri $\angle 3 = 112°$. Ikkinchi burchak $\angle 6$ necha gradus bo'lsa, chiziqlar parallel bo'ladi?

Yechim: Uchinchi alomat: $\angle 3 + \angle 6 = 180°$.

$\angle 6 = 180° - 112° = 68°.$

Javob: $\angle 6 = 68°$ bo'lsa, chiziqlar parallel.

4-misol. Noma'lum burchakni topish

Ikkita parallel chiziqni kesuvchi kesib o'tdi. Bitta navbatma-navbat ichki burchak $\angle \alpha = 2x + 10°$, ikkinchisi $\angle \beta = 3x - 20°$. $x$ ni toping.

Yechim: Parallellik birinchi alomati (teskari): parallel chiziqlar uchun navbatma-navbat ichki burchaklar teng bo'ladi.

$2x + 10 = 3x - 20$ $10 + 20 = 3x - 2x$ $x = 30°.$

Tekshirish: $\alpha = 2 \cdot 30 + 10 = 70°$, $\beta = 3 \cdot 30 - 20 = 70°$ ✓.

5-misol. Murakkab: bir necha qadam

$AB$ va $CD$ to'g'ri chiziqlarni $EF$ kesuvchi mos ravishda $P$ va $Q$ nuqtalarda kesib o'tadi ($P$ yuqorida, $Q$ pastda; $A$ va $C$ kesuvchining chap tomonida, $B$ va $D$ o'ng tomonida yotadi). $\angle APQ = 115°$ va $\angle PQD = 115°$ ma'lum. Chiziqlar parallelmi? Qo'shimcha tekshiruv uchun $\angle PQC$ ni ham toping.

Yechim:

1. $\angle APQ$ ($P$ da, kesuvchining chap tomonida) va $\angle PQD$ ($Q$ da, o'ng tomonida) — navbatma-navbat ichki burchaklar: ular kesuvchining turli tomonlarida, chiziqlar orasida yotadi.
2. $\angle APQ = \angle PQD = 115°$. Birinchi alomatga ko'ra $AB \parallel CD$ ✓.
3. Boshqa alomat bilan tekshiramiz. $\angle PQC$ va $\angle PQD$ qo'shni burchaklar, shuning uchun $\angle PQC = 180° - 115° = 65°$.
4. $\angle APQ$ va $\angle PQC$ — kesuvchining bir tomonidagi (chap) ichki burchaklar: $115° + 65° = 180°$. Uchinchi alomatga ko'ra ham $AB \parallel CD$ ✓.

Javob: chiziqlar parallel.

Mashq

1. Kesuvchi ikkita chiziqni kesib o'tdi. Navbatma-navbat ichki burchaklar $47°$ va $47°$. Bu chiziqlar parallel ekanini asoslang.
2. Muvofiq burchaklar $\angle 1 = 103°$ va $\angle 5 = 103°$. Xulosa chiqaring.
3. Bir tomonli ichki burchaklar $\angle 3 = 95°$ va $\angle 6 = 85°$. Bu chiziqlar parallel ekanini tekshiring.
4. Bir tomonli ichki burchaklardan biri $\angle 4 = 130°$. Chiziqlar parallel bo'lishi uchun $\angle 5$ necha gradus bo'lishi kerak?
5. Navbatma-navbat ichki burchaklar: $\angle \alpha = 3x + 5°$ va $\angle \beta = 2x + 25°$. $x$ ni va burchaklar qiymatini toping.
6. Muvofiq burchaklar: $\angle 1 = 4x - 10°$ va $\angle 5 = 2x + 30°$. Chiziqlar parallel bo'lishi uchun $x$ ni toping.
7. $a \perp c$ va $b \perp c$. Bu chiziqlar parallel ekanini qaysi alomati bilan isbot qilasiz?
8. Kesuvchi ikkita chiziqni kesib o'tdi. Birinchi chiziqdagi burchak $\angle 1 = 70°$, ikkinchi chiziqdagi unga muvofiq burchak $\angle 5 = 70°$. Chiziqlar parallelmi? Asoslang.
9. Kesuvchi ikkita chiziqni kesib o'tdi. Bir tomonli ichki burchaklar yig'indisi $160°$. Chiziqlar parallel emasligini asoslang.
10. $\angle \alpha = 5x + 15°$ va $\angle \beta = 3x + 35°$ navbatma-navbat ichki burchaklar. Chiziqlar parallel bo'lishi uchun $x$ ni toping, so'ng burchaklarni hisoblang.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $47° = 47°$ — navbatma-navbat ichki burchaklar teng. Birinchi alomatga ko'ra, chiziqlar parallel.
2. $103° = 103°$ — muvofiq burchaklar teng. Ikkinchi alomatga ko'ra, chiziqlar parallel.
3. $95° + 85° = 180°$ — bir tomonli ichki burchaklar yig'indisi $180°$. Uchinchi alomatga ko'ra, chiziqlar parallel.
4. $\angle 5 = 180° - 130° = 50°$. Yig'indisi: $130° + 50° = 180°$ ✓ — uchinchi alomat.
5. $3x + 5 = 2x + 25 \Rightarrow x = 20°$. $\alpha = \beta = 65°$.
6. $4x - 10 = 2x + 30 \Rightarrow 2x = 40 \Rightarrow x = 20°$. Tekshirish: $\angle 1 = 70°$, $\angle 5 = 70°$ ✓.
7. To'rtinchi alomat: bir to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lgan ikki chiziq parallel.
8. $\angle 1$ va $\angle 5$ muvofiq burchaklar va $70° = 70°$. Muvofiq burchaklar teng bo'lgani uchun ikkinchi alomatga ko'ra chiziqlar parallel.
9. Yig'indi $160° \neq 180°$. Uchinchi alomat bajarilmadi, demak chiziqlar parallel emas.
10. $5x + 15 = 3x + 35 \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10°$. $\alpha = \beta = 65°$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Alomatlar va xossalarni chalkashtirib yuborish. ✗ "Chiziqlar parallel, shuning uchun muvofiq burchaklar teng" deb aytib, parallellikni isbotlashga urinish. ✓ Alomat — parallellikni isbotlash uchun; xossa — parallel chiziqlarda nima bo'lishini bilish uchun.

2. Burchaklarning nomini noto'g'ri bilish. ✗ Kesuvchining bir tomonidagi ikkala burchakni "navbatma-navbat" deb atash. ✓ Navbatma-navbat burchaklar — kesuvchining qarama-qarshi tomonlarida bo'ladi.

3. Uchinchi alomat: yig'indini $90°$ deb o'ylash. ✗ Bir tomonli ichki burchaklar yig'indisi $90°$ bo'lsa, parallel deb hisoblash. ✓ Yig'indi aynan $180°$ bo'lishi shart.

4. To'rtinchi alomatni unutish. ✗ Faqat uchta alomat bor deb bilish. ✓ Bir to'g'ri chiziqqa perpendikulyar bo'lgan ikkita chiziq — to'rtinchi alomat.

5. Noma'lum topishda tekshirmaslik. ✗ $x = 20$ topib, burchaklar tengligini qayta tekshirmaslik. ✓ Topilgan $x$ ni asl ifodaga qo'yib, tenglikni qayta tekshiring.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Alomatlarni bilib oldingiz. Endi parallel chiziqlarning xossalari — ularda qanday burchak munosabatlari vujudga kelishini o'rganamiz.