Parallel chiziqlarning xossalari

Bu nima va nega kerak

Oldingi darsda ikki to'g'ri chiziqning parallel ekanini qanday aniqlash mumkinligini o'rgandik. Endi teskari savolga javob beramiz: agar chiziqlar parallel ekani ma'lum bo'lsa, burchaklar haqida nima aytish mumkin?

Bu savolning amaliy ahamiyati katta. Arxitektor bino derazalarining parallel ekanini bilib, burchaklarni hisoblaganda xatoga yo'l qo'ymaydi. DTM masalalarida esa parallel chiziqlar berilganda noma'lum burchakni topish juda keng tarqalgan topshiriq.

Asosiy g'oya: alomatlarning aksi

Parallellik alomatlari aytdi: "Agar burchaklar mana bunday bo'lsa — chiziqlar parallel." Parallellik xossalari esa aksincha: "Agar chiziqlar parallel bo'lsa — burchaklar mana bunday bo'ladi."

Bu matematikada "teorema va uning teskari teoremasi" deyiladi. Alomatlar va xossalar bir-birini to'ldiradi.

Parallel chiziqlarning xossalari

Ikkita parallel to'g'ri chiziq $a \parallel b$ ni kesuvchi $c$ kesib o'tsin.

Birinchi xossa — navbatma-navbat ichki burchaklar

Agar ikkita to'g'ri chiziq parallel bo'lsa, kesuvchi hosil qiladigan navbatma-navbat ichki burchaklar teng bo'ladi.

$a \parallel b \implies \alpha = \beta$

Bunda $\alpha$ va $\beta$ — navbatma-navbat ichki burchaklar.

Ikkinchi xossa — muvofiq burchaklar

Agar ikkita to'g'ri chiziq parallel bo'lsa, kesuvchi hosil qiladigan muvofiq burchaklar teng bo'ladi.

$a \parallel b \implies \angle 1 = \angle 5$

Muvofiq burchaklar — "F" harfi shaklida ko'rinadigan burchaklar.

Uchinchi xossa — bir tomonli ichki burchaklar

Agar ikkita to'g'ri chiziq parallel bo'lsa, kesuvchi hosil qiladigan bir tomonli ichki burchaklar yig'indisi $180°$ ga teng bo'ladi.

$a \parallel b \implies \angle 3 + \angle 6 = 180°$

To'rtinchi xossa — tranzitivlik

Agar $a \parallel b$ va $b \parallel c$ bo'lsa, $a \parallel c$.

Ya'ni: parallel bo'lish munosabati uzatiladi. Bu xossa ayniqsa ko'p chiziq bilan ishlashda kerak.

Beshinchi xossa — perpendikulyarlik

Agar $a \parallel b$ va $c \perp a$ bo'lsa, $c \perp b$ ham.

Parallelga perpendikulyar bo'lgan chiziq ikkinchi parallelga ham perpendikulyar bo'ladi.

Burchaklar jadvali

Quyida barcha burchak toifalari va xossalardan kelib chiqadigan munosabatlar:

Burchak turi	$a \parallel b$ bo'lganda
Navbatma-navbat ichki	Teng: $\alpha = \beta$
Muvofiq (mos)	Teng: $\angle 1 = \angle 5$
Bir tomonli ichki	Qo'shimcha: $\angle 3 + \angle 6 = 180°$
Navbatma-navbat tashqi	Teng: $\angle 1 = \angle 7$

Yechilgan misollar

1-misol. Burchakni topish — birinchi xossa

$a \parallel b$, kesuvchi $c$. Navbatma-navbat ichki burchaklardan biri $\angle \alpha = 72°$. Ikkinchi burchakni toping.

Yechim: Birinchi xossaga ko'ra, navbatma-navbat ichki burchaklar teng:

$\angle \beta = \angle \alpha = 72°.$

Javob: $\angle \beta = 72°$.

2-misol. Burchakni topish — uchinchi xossa

$a \parallel b$, bir tomonli ichki burchaklardan biri $\angle 3 = 125°$. $\angle 6$ ni toping.

Yechim: Uchinchi xossaga ko'ra:

$\angle 3 + \angle 6 = 180°$ $\angle 6 = 180° - 125° = 55°.$

Tekshirish: $125° + 55° = 180°$ ✓. Javob: $\angle 6 = 55°$.

3-misol. Noma'lumli burchak

$a \parallel b$, kesuvchi $c$. Muvofiq burchaklar: $\angle 1 = 3x + 10°$ va $\angle 5 = 5x - 20°$. $x$ ni va burchaklar qiymatini toping.

Yechim: Ikkinchi xossaga ko'ra, muvofiq burchaklar teng:

$3x + 10 = 5x - 20$ $10 + 20 = 5x - 3x$ $30 = 2x$ $x = 15°.$

Burchaklar: $\angle 1 = 3 \cdot 15 + 10 = 55°$, $\angle 5 = 5 \cdot 15 - 20 = 55°$ ✓.

4-misol. Tranzitivlik bilan ishlash

Uchta to'g'ri chiziq: $a$, $b$, $c$. Ma'lum: $a \parallel b$ va $b \parallel c$. $a$ va $c$ munosabatini aniqlang.

Yechim: To'rtinchi xossaga ko'ra (tranzitivlik):

$a \parallel b,\quad b \parallel c \implies a \parallel c.$

Javob: $a$ va $c$ ham parallel.

5-misol. Murakkab: bir necha qadam

$l \parallel m$, $n$ — ularni kesuvchi. $l$ ning pastida va $n$ ning chap tomonida yotgan ichki burchak $\angle 1 = 70°$. $m$ ning tepasida yotgan ikkita ichki burchakni topamiz: $\angle 2$ ($n$ ning o'ng tomonida, u $\angle 1$ bilan navbatma-navbat) va $\angle 3$ ($n$ ning chap tomonida, u $\angle 1$ bilan bir tomonli).

Yechim:

1. $l \parallel m$, shuning uchun navbatma-navbat ichki burchaklar teng: $\angle 2 = \angle 1 = 70°$.
2. Bir tomonli ichki burchaklar yig'indisi $180°$: $\angle 3 = 180° - 70° = 110°$.
3. Tekshirish: $\angle 2$ va $\angle 3$ qo'shni burchaklar, $70° + 110° = 180°$ ✓.

Javob: $\angle 2 = 70°$, $\angle 3 = 110°$.

Mashq

1. $a \parallel b$, navbatma-navbat ichki burchaklardan biri $82°$. Ikkinchisini toping.
2. $a \parallel b$, bir tomonli ichki burchaklardan biri $67°$. Ikkinchisini toping.
3. $a \parallel b$, muvofiq burchaklardan biri $\angle 1 = 4x - 8°$, ikkinchisi $\angle 5 = 2x + 20°$. $x$ ni toping.
4. $a \parallel b$, bir tomonli ichki burchaklar: $\angle 3 = 3x + 15°$, $\angle 6 = 2x + 10°$. $x$ ni toping.
5. $a \parallel b$ va $b \parallel c$. $a$ va $c$ munosabati nima? Qaysi xossaga asoslandingiz?
6. $a \parallel b$, kesuvchi $c$ perpendikulyar $a$ ga. $c$ va $b$ munosabatini aniqlang.
7. $a \parallel b$, navbatma-navbat tashqi burchaklardan biri $117°$. Ikkinchisini toping.
8. $a \parallel b$, muvofiq burchaklar: $\angle 1 = 5x + 5°$ va $\angle 5 = 3x + 25°$. $x$ ni toping va burchaklarni hisoblang.
9. $a \parallel b$, $\angle \alpha = 90°$ (bir tomonli ichki). $\angle \beta$ necha gradus? Bu nima degan gap?
10. Uchta parallel chiziq $a \parallel b \parallel c$. Kesuvchi $d$ bilan $a$ da hosil bo'lgan burchak $\angle 1 = 55°$. $b$ va $c$ da hosil bo'lgan muvofiq burchaklar necha gradus?

Javoblar va yechim yo'llari

1. Navbatma-navbat ichki burchaklar teng: $\angle \beta = 82°$.
2. Bir tomonli ichki burchaklar qo'shimcha: $180° - 67° = 113°$.
3. Muvofiq burchaklar teng: $4x - 8 = 2x + 20 \Rightarrow 2x = 28 \Rightarrow x = 14°$. Burchaklar: $\angle 1 = \angle 5 = 48°$.
4. Bir tomonli ichki burchaklar yig'indisi $180°$: $(3x + 15) + (2x + 10) = 180 \Rightarrow 5x + 25 = 180 \Rightarrow 5x = 155 \Rightarrow x = 31°$. Tekshirish: $3 \cdot 31 + 15 = 108$, $2 \cdot 31 + 10 = 72$, $108 + 72 = 180$ ✓.
5. $a \parallel c$ — to'rtinchi xossa (tranzitivlik).
6. Beshinchi xossaga ko'ra: $c \perp b$ ham.
7. Navbatma-navbat tashqi burchaklar teng: $\angle = 117°$.
8. $5x + 5 = 3x + 25 \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10°$. $\angle 1 = \angle 5 = 55°$.
9. $\angle \beta = 180° - 90° = 90°$. Bu shuni bildiradiki, kesuvchi ikkala parallel chiziqqa ham perpendikulyar.
10. Tranzitivlik: $a \parallel b \parallel c$, barcha muvofiq burchaklar teng: $b$ va $c$ da ham $55°$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Alomatlar va xossalarni chalkashtirib yuborish. ✗ "Chiziqlar parallel ekanini isbotlamoqchiman, shuning uchun muvofiq burchaklar teng deb yozaman" — bu mantiqan noto'g'ri (doira bo'yicha isbotlash). ✓ Isbotlash uchun alomatlar, natija olish uchun xossalar ishlatiladi.

2. Bir tomonli burchaklar yig'indisini $90°$ deb o'ylash. ✗ Bir tomonli ichki burchaklar yig'indisi $90°$ bo'lsa ham chiziqlar parallel deb hisoblash. ✓ Parallellik uchun yig'indi aynan $180°$ bo'lishi shart. Yig'indi $90°$ bo'lsa, chiziqlar parallel emas, ular kesishadi.

3. Tranzitivlikni unutish. ✗ $a \parallel b$ va $b \parallel c$ bo'lganda, $a$ va $c$ munosabatini noma'lum deb qoldirish. ✓ $a \parallel c$ — to'rtinchi xossa bo'yicha.

4. Noma'lumni topgach tekshirmaslik. ✗ $x = 14$ topib, burchaklarni qayta hisoblash va tengligini tekshirmaslik. ✓ Har doim $x$ ni asl tenglamaga qo'yib tekshiring.

5. Muvofiq va navbatma-navbat burchaklarni adashtirib yuborish. ✗ "F" shaklini "Z" shakli bilan chalkashtirib yozish. ✓ "F" — muvofiq (bir tomonda), "Z" — navbatma-navbat (qarama-qarshi tomonda).

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Parallel chiziqlar nazariyasini o'zlashtirgach, uchburchak ichki burchaklari yig'indisi $180°$ ekanligini parallel chiziqlar yordamida isbotlash mumkin. Bu — keyingi muhim teoremalarga ko'prik.