Kasrni qisqartirish

Bu nima va nega kerak

Oddiy sonli kasrlarni eslang: $\dfrac{6}{8}$ kasri berilsa, surat va maxrajni 2 ga bo'lib, $\dfrac{3}{4}$ ko'rinishiga keltiramiz. Bu hisob-kitobni yengillashtiradi, javobni ixcham va tushunarli qiladi.

Algebrada ham xuddi shunday holat yuz beradi. Faqat endi sonlar o'rnida harfli ifodalar, ya'ni ko'phadlar turadi:

$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4x + 4}$

Agar bu ifodaga to'g'ridan-to'g'ri $x = 98$ sonini qo'ysangiz, hisoblash juda ko'p vaqt oladi. Ammo kasrni qisqartirishni bilsangiz:

$\frac{(x-2)(x+2)}{(x+2)^2} = \frac{x-2}{x+2}$

Endi $x = 98$ bo'lganda: $\dfrac{98-2}{98+2} = \dfrac{96}{100} = 0{,}96$. Bir necha soniyada javob tayyor!

Ratsional kasrlar va ularni qisqartirish fizikada formulalarni soddalashtirishda, iqtisodiyotda xarajat va foyda funksiyalarini tahlil qilishda hamda DTM imtihonlaridagi murakkab algebraik misollarni tez yechishda eng asosiy quroldir.

Asosiy tushunchalar va qoidalar

1. Ratsional kasr nima?

Surati va maxraji ko'phadlardan iborat bo'lgan $\dfrac{A}{B}$ ko'rinishidagi ifoda ratsional kasr (yoki algebraik kasr) deyiladi. Bunda $B$ — noldan farqli ko'phad.

Masalan: $\dfrac{3}{x}$, $\dfrac{a-b}{a+b}$, $\dfrac{x^2+1}{2x-5}$ — bular ratsional kasrlardir.

2. O'zgaruvchining qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlari (Aniqlanish sohasi)

Oddiy arifmetikadan bilamiz: nolga bo'lish mumkin emas. Shu sababli algebraik kasr qatnashgan har qanday ifodada maxraj hech qachon nolga teng bo'lmasligi shart.

Kasr maxrajini nolga aylantirmaydigan o'zgaruvchining barcha qiymatlari to'plami kasrning qabul qilishi mumkin bo'lgan qiymatlari (aniqlanish sohasi) deyiladi.

Misol uchun, $\dfrac{5}{x - 3}$ ifoda $x = 3$ bo'lganda ma'noga ega emas, chunki maxrajda $3 - 3 = 0$ hosil bo'ladi. Demak, $x \neq 3$.

3. Kasrning asosiy xossasi

Agar kasrning surati va maxraji bir xil noldan farqli songa yoki ko'phadga ko'paytirilsa yoxud bo'linsa, kasrning qiymati o'zgarmaydi:

$\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}, \quad (B \neq 0, \; C \neq 0)$

Kasrning surati va maxrajini ularning umumiy ko'paytuvchisiga bo'lish kasrni qisqartirish deyiladi.

4. Kasrni qisqartirish algoritmi

1. Ko'paytuvchilarga ajrating: Kasrning surati va maxrajini umumiy ko'paytuvchini qavsdan chiqarish, qisqa ko'paytirish formulalari yoki guruhlash usuli yordamida ko'paytuvchilarga ajrating.
2. Umumiy ko'paytuvchini toping: Surat va maxrajda aynan bir xil bo'lgan ko'paytuvchilarni aniqlang.
3. Qisqartiring: Surat va maxrajni ushbu umumiy ko'paytuvchiga bo'ling.
4. Ishorani to'g'ri boshqaring: Agar hadlar faqat ishorasi bilan farq qilsa, $b - a = -(a - b)$ qoidasidan foydalanib, qavs oldiga minus chiqaring.

Yechilgan misollar

1-misol. Birhadlardan iborat kasr

$\frac{18a^4 b^3}{24a^2 b^5}$

• Sonli koeffitsiyentlarni qisqartiramiz: 18 va 24 sonlarining eng katta umumiy bo'luvchisi 6 ga teng. $18 : 6 = 3$ va $24 : 6 = 4$.
• Bir xil asosli darajalarni qisqartiramiz (darajalar xossasiga ko'ra daraja ko'rsatkichlari ayiriladi): $\frac{a^4}{a^2} = a^{4-2} = a^2, \qquad \frac{b^3}{b^5} = \frac{1}{b^{5-3}} = \frac{1}{b^2}$
• Barchasini birlashtiramiz: $\frac{18a^4 b^3}{24a^2 b^5} = \frac{3a^2}{4b^2}$

2-misol. Umumiy ko'paytuvchini qavsdan chiqarish

$\frac{4x - 12}{x^2 - 3x}$

• Suratdan umumiy sonli ko'paytuvchi 4 ni qavsdan chiqaramiz: $4x - 12 = 4(x - 3)$
• Maxrajdan umumiy harfli ko'paytuvchi $x$ ni qavsdan chiqaramiz: $x^2 - 3x = x(x - 3)$
• Kasr ko'rinishi: $\frac{4(x - 3)}{x(x - 3)}$
• Surat va maxrajdagi umumiy $(x - 3)$ ko'paytuvchini qisqartiramiz: $\frac{4}{x}$
• Eslatma: Bu almashtirish $x \neq 0$ va $x \neq 3$ bo'lganda to'g'ri.

3-misol. Qisqa ko'paytirish formulalaridan foydalanish

$\frac{x^2 - 25}{2x^2 + 10x}$

• Surat — kvadratlar ayirmasi formulasi: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. $x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5)$
• Maxrajda umumiy ko'paytuvchi $2x$ ni qavsdan chiqaramiz: $2x^2 + 10x = 2x(x + 5)$
• Kasrga qo'yamiz va $(x + 5)$ ga qisqartiramiz: $\frac{(x - 5)(x + 5)}{2x(x + 5)} = \frac{x - 5}{2x}$

4-misol. Ishorani almashtirish qoidasi: $b - a = -(a - b)$

$\frac{y^2 - 16}{12 - 3y}$

• Suratni kvadratlar ayirmasi shaklida yozamiz: $y^2 - 16 = (y - 4)(y + 4)$
• Maxrajdan 3 ni chiqarsak: $12 - 3y = 3(4 - y)$.
• E'tibor bering: suratda $(y - 4)$, maxrajda esa $(4 - y)$. Ular bir-biridan faqat ishorasi bilan farq qiladi: $4 - y = -(y - 4)$.
• Demak, maxrajdan $-3$ ni chiqaramiz: $12 - 3y = -3(y - 4)$
• Kasrni qisqartiramiz: $\frac{(y - 4)(y + 4)}{-3(y - 4)} = \frac{y + 4}{-3} = -\frac{y + 4}{3}$

5-misol. Ikkihad kvadratlari va guruhlash

$\frac{a^2 - 6a + 9}{ab - 3b - 2a + 6}$

• Surat — ayirma kvadrati: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = (a - 3)^2$.
• Maxrajni guruhlash usulida ko'paytuvchilarga ajratamiz: $ab - 3b - 2a + 6 = b(a - 3) - 2(a - 3) = (a - 3)(b - 2)$
• Kasr ko'rinishi: $\frac{(a - 3)^2}{(a - 3)(b - 2)} = \frac{(a - 3)(a - 3)}{(a - 3)(b - 2)}$
• $(a - 3)$ ko'paytuvchini qisqartiramiz: $\frac{a - 3}{b - 2}$

Mashq

Quyidagi kasrlarni qisqartiring va o'zgaruvchining qabul qilishi mumkin bo'lmagan qiymatlarini ko'rsating:

1. $\dfrac{14x^5}{21x^2}$
2. $\dfrac{6a + 18}{a^2 + 3a}$
3. $\dfrac{m^2 - n^2}{2m + 2n}$
4. $\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1}$
5. $\dfrac{5 - x}{x^2 - 25}$
6. $\dfrac{3a^2 - 12}{6a - 12}$
7. $\dfrac{y^2 - 10y + 25}{y^2 - 25}$
8. $\dfrac{ax - ay + bx - by}{x^2 - y^2}$
9. $\dfrac{4x^2 - 12x + 9}{4x^2 - 9}$
10. $\dfrac{a^3 - 8}{a^2 + 2a + 4}$

Javoblar va yechim yo'llari

1. Sonlar 7 ga bo'linadi: $\dfrac{14}{21} = \dfrac{2}{3}$. Darajalar: $\dfrac{x^5}{x^2} = x^3$. Javob: $\dfrac{2x^3}{3}$. ($x \neq 0$).
2. Suratdan 6, maxrajdan $a$ chiqariladi: $\dfrac{6(a+3)}{a(a+3)} = \dfrac{6}{a}$. ($a \neq 0, a \neq -3$).
3. Surat: $(m-n)(m+n)$. Maxraj: $2(m+n)$. Qisqartirsak: $\dfrac{m-n}{2}$. ($m \neq -n$).
4. Surat: $(x-1)(x+1)$. Maxraj: $(x+1)^2$. $(x+1)$ ga qisqartirsak: $\dfrac{x-1}{x+1}$. ($x \neq -1$).
5. Maxraj: $(x-5)(x+5)$. Surat: $5-x = -(x-5)$. Kasr: $\dfrac{-(x-5)}{(x-5)(x+5)} = -\dfrac{1}{x+5}$. ($x \neq \pm 5$).
6. Surat: $3(a^2 - 4) = 3(a-2)(a+2)$. Maxraj: $6(a-2)$. 3 va 6 qisqarib maxrajda 2 qoladi, $(a-2)$ qisqaradi: $\dfrac{a+2}{2}$. ($a \neq 2$).
7. Surat: $(y-5)^2$. Maxraj: $(y-5)(y+5)$. $(y-5)$ qisqaradi: $\dfrac{y-5}{y+5}$. ($y \neq \pm 5$).
8. Suratni guruhlaymiz: $a(x-y) + b(x-y) = (x-y)(a+b)$. Maxraj: $(x-y)(x+y)$. Qisqartirsak: $\dfrac{a+b}{x+y}$. ($x \neq \pm y$).
9. Surat to'la kvadrat: $(2x-3)^2$. Maxraj kvadratlar ayirmasi: $(2x-3)(2x+3)$. Qisqartirsak: $\dfrac{2x-3}{2x+3}$. ($x \neq \pm 1{,}5$).
10. Surat kublar ayirmasi: $a^3 - 2^3 = (a-2)(a^2 + 2a + 4)$. Maxraj to'liqsiz kvadrat bo'lib, suratdagi ikkinchi qavs bilan bir xil. Qisqartirgach: $a - 2$. (Maxraj har doim musbat, har qanday $a$ da ma'noga ega).

Keng tarqalgan xatolar

1. Qo'shiluvchilarni qisqartirib yuborish. Kasr faqat va faqat ko'paytuvchilarga qisqaradi. Alohida hadlarni qisqartirish eng qo'pol xatodir! ✗ $\dfrac{x + 2}{x + 5} = \dfrac{2}{5}$ ($x$ lar qisqarib ketdi deb o'ylash mutlaqo xato!) ✓ $\dfrac{x + 2}{x + 5}$ ifoda qisqarmaydi, chunki surat va maxraj ko'paytuvchilarga ajralmaydi.

2. Qisqargandan so'ng suratda 1 qolishini unutish. Surat to'liq qisqarganda o'rnida 0 emas, 1 qoladi. ✗ $\dfrac{x - 3}{x^2 - 9} = x + 3$ ✓ $\dfrac{x - 3}{(x-3)(x+3)} = \dfrac{1}{x + 3}$

3. Ishorani almashtirishda minusni yo'qotib qo'yish. $a - b$ va $b - a$ ifodalar teng emas, ular qarama-qarshi: $b - a = -(a - b)$. ✗ $\dfrac{x - 2}{4 - x^2} = \dfrac{x - 2}{(2-x)(2+x)} = \dfrac{1}{2+x}$ ✓ $\dfrac{x - 2}{-(x-2)(x+2)} = -\dfrac{1}{x+2}$

4. Maxrajning nolga teng bo'lmaslik shartini unutish. Kasr ustida amallar bajarishdan oldin uning ma'noga ega bo'lish shartini e'tiborga olish shart. Masalan, $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$ tenglik faqat $x \neq 1$ bo'lganda o'rinli. Agar $x = 1$ bo'lsa, dastlabki ifoda mavjud emas.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Kasrni qisqartirish ko'nikmasini egalladik. Endi navbatdagi darsda bir xil va har xil maxrajli ratsional kasrlarni qo'shish hamda ayirishni o'rganamiz.