Ratsional tenglamalar

Bu nima va nega kerak

Quyidagi amaliy harakat masalasini ko'rib chiqaylik:

Qayiq daryo oqimi bo'ylab 24 km va oqimga qarshi 24 km suzdi. Jami 5 soat vaqt sarfladi. Daryo oqimining tezligi 2 km/soat bo'lsa, qayiqning turg'un suvdagi tezligi $v$ qanday?

• Oqim bo'ylab vaqt: $\dfrac{24}{v + 2}$, oqimga qarshi vaqt: $\dfrac{24}{v - 2}$.
• Jami vaqt: $\frac{24}{v + 2} + \frac{24}{v - 2} = 5$

Bu yerda noma'lum $v$ maxrajda turibdi. Bunday tenglama ratsional tenglama deyiladi.

Ratsional tenglamalar fizika (tezlik, elektr zanjirlari), mehnat unumdorligi masalalari va DTM testlarida keng qo'llaniladi.

Asosiy tushunchalar va qoidalar

1. Ratsional tenglama va chet ildiz

Noma'lum maxrajda qatnashgan tenglama ratsional tenglama deyiladi.

Nolga bo'lish mumkin emas. Tenglamaning ikkala tomonini umumiy maxrajga ko'paytirganda hosil bo'ladigan butun tenglamaning ildizlari dastlabki kasr maxrajini nolga aylantirib qo'yishi mumkin. Bunday ildizlar chet ildiz (soxta ildiz) deyiladi va ular javobga kiritilmaydi!

2. Yechish algoritmi

1. Mavjudlik shartini aniqlang: maxrajlar nolga teng emas ($B(x) \neq 0$).
2. Umumiy maxrajni toping: maxrajlarni ko'paytuvchilarga ajrating.
3. Maxrajdan qutuling: ikkala tomonni umumiy maxrajga ko'paytiring.
4. Butun tenglamani yeching: qavslarni ochib, $x$ ni toping.
5. Tekshiring: chet ildizlarni (maxrajni 0 qiluvchi qiymatlarni) chiqarib tashlang.

3. Proporsiya usuli

$\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \;\Longrightarrow\; A \cdot D = B \cdot C \quad (B \neq 0, \; D \neq 0)$

Yechilgan misollar

1-misol. Proporsiya

$\frac{x + 3}{x - 2} = 2$

• Shart: $x \neq 2$.
• Proporsiya bo'yicha: $x + 3 = 2(x - 2)$.
• Qavsni ochamiz: $x + 3 = 2x - 4 \Longrightarrow x = 7$.
• Shart tekshiriladi: $7 \neq 2$ ✓.
• Javob: $x = 7$.

2-misol. Chet ildiz

$\frac{x + 5}{x - 3} = \frac{8}{x - 3} + 2$

• Shart: $x \neq 3$.
• Ikkala tomonni $(x - 3)$ ga ko'paytiramiz: $x + 5 = 8 + 2(x - 3)$ $x + 5 = 8 + 2x - 6 \Longrightarrow x + 5 = 2x + 2 \Longrightarrow x = 3.$
• Tekshiramiz: $x = 3$ da maxraj nolga aylanadi. Demak, $x = 3$ — chet ildiz.
• Javob: Ildiz yo'q ($\emptyset$).

3-misol. Umumiy maxrajga keltirish

$\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x} = \frac{3}{x(x - 1)}$

• Shart: $x \neq 0, \; x \neq 1$.
• Umumiy maxraj $x(x - 1)$ ga ko'paytiramiz: $2x - (x - 1) = 3$ $2x - x + 1 = 3 \Longrightarrow x = 2.$
• $x = 2$ shartni qanoatlantiradi.
• Javob: $x = 2$.

4-misol. Kvadratlar ayirmasi maxrajda

$\frac{x + 1}{x - 2} - \frac{x - 1}{x + 2} = \frac{8}{x^2 - 4}$

• Shart: $x \neq \pm 2$.
• Umumiy maxraj $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 4$ ga ko'paytiramiz: $(x + 1)(x + 2) - (x - 1)(x - 2) = 8$ $(x^2 + 3x + 2) - (x^2 - 3x + 2) = 8$ $x^2 + 3x + 2 - x^2 + 3x - 2 = 8$ $6x = 8 \;\Longrightarrow\; x = \frac{4}{3}.$
• $x = \dfrac{4}{3}$ shartlarga zid emas.
• Javob: $x = \dfrac{4}{3}$.

5-misol. Matnli masala (ish masalasi)

Birinchi quvur hovuzni ikkinchisiga qaraganda 3 soat tezroq to'ldiradi. Ikkalasi birgalikda ochilsa, hovuz 2 soatda to'ladi. Birinchi quvur hovuzni yolg'iz o'zi necha soatda to'ldiradi?

• 1-quvur: $x$ soatda, 1 soatda $\dfrac{1}{x}$ qismini to'ldiradi ($x > 0$).
• 2-quvur: $x + 3$ soatda, 1 soatda $\dfrac{1}{x + 3}$ qismini to'ldiradi.
• Tenglama: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x + 3} = \dfrac{1}{2}$.
• $2x(x + 3)$ ga ko'paytiramiz: $2(x + 3) + 2x = x(x + 3)$ $4x + 6 = x^2 + 3x \Longrightarrow x^2 - x - 6 = 0.$
• Ko'paytuvchilarga ajratamiz: $(x - 3)(x + 2) = 0$.
• Ildizlar: $x = 3$ va $x = -2$. Vaqt musbat bo'lgani uchun $x = 3$.
• Javob: 3 soatda.

Mashq

Tenglamalarni yeching va chet ildizlarni aniqlang:

1. $\dfrac{2x - 5}{x + 1} = 1$
2. $\dfrac{6}{x} = \dfrac{2}{x - 4}$
3. $\dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = 5$
4. $\dfrac{x}{x - 2} = \dfrac{2}{x - 2} + 3$
5. $\dfrac{3}{x + 2} + \dfrac{1}{x - 2} = \dfrac{4}{x^2 - 4}$
6. $\dfrac{5}{x - 3} = \dfrac{3}{x - 5}$
7. $\dfrac{x + 2}{x - 1} - \dfrac{x - 2}{x + 1} = \dfrac{6}{x^2 - 1}$
8. $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{2x} = 3$
9. $\dfrac{2x}{x + 3} - \dfrac{1}{x - 3} = \dfrac{2x^2}{x^2 - 9}$
10. $\dfrac{x + 4}{x - 2} = 3$

Javoblar va yechim yo'llari

1. $2x - 5 = x + 1 \Longrightarrow x = 6$. ($x \neq -1$). Javob: $x = 6$.
2. $6(x - 4) = 2x \Longrightarrow 6x - 24 = 2x \Longrightarrow 4x = 24 \Longrightarrow x = 6$. ($x \neq 0, 4$). Javob: $x = 6$.
3. $\dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = 5 \Longrightarrow x + 2 = 5 \Longrightarrow x = 3$. ($x \neq 2$). Javob: $x = 3$.
4. $x = 2 + 3(x - 2) \Longrightarrow x = 3x - 4 \Longrightarrow 2x = 4 \Longrightarrow x = 2$. Ammo $x = 2$ da maxraj nol bo'ladi (chet ildiz). Javob: ildiz yo'q.
5. $3(x - 2) + (x + 2) = 4 \Longrightarrow 4x - 4 = 4 \Longrightarrow 4x = 8 \Longrightarrow x = 2$. Ammo $x = 2$ chet ildiz. Javob: ildiz yo'q.
6. $5(x - 5) = 3(x - 3) \Longrightarrow 5x - 25 = 3x - 9 \Longrightarrow 2x = 16 \Longrightarrow x = 8$. ($x \neq 3, 5$). Javob: $x = 8$.
7. $(x + 2)(x + 1) - (x - 2)(x - 1) = 6 \Longrightarrow 6x = 6 \Longrightarrow x = 1$. $x = 1$ chet ildiz. Javob: ildiz yo'q.
8. Ikkala tomonni $2x$ ga ko'paytiramiz: $2 + 1 = 6x \Longrightarrow 6x = 3 \Longrightarrow x = 0{,}5$. ($x \neq 0$). Javob: $x = 0{,}5$.
9. $2x(x - 3) - (x + 3) = 2x^2 \Longrightarrow 2x^2 - 7x - 3 = 2x^2 \Longrightarrow -7x = 3 \Longrightarrow x = -\dfrac{3}{7}$. ($x \neq \pm 3$). Javob: $x = -\dfrac{3}{7}$.
10. $x + 4 = 3(x - 2) \Longrightarrow x + 4 = 3x - 6 \Longrightarrow 2x = 10 \Longrightarrow x = 5$. ($x \neq 2$). Javob: $x = 5$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Chet ildizni tekshirmaslik. Topilgan $x$ ni darhol javobga yozish — eng ko'p uchraydigan xato. Har doim maxraj nolga aylanmasligini tekshiring!

2. Butun hadni umumiy maxrajga ko'paytirmaslik. ✗ $\dfrac{x}{x - 1} = 2 \Longrightarrow x = 2$ ✓ $x = 2(x - 1) \Longrightarrow x = 2x - 2 \Longrightarrow x = 2$

3. Qavslar oldidagi minusda ishorani adashtirish. Kasr oldidagi minus butun suratga tegishli: $-(x - 1) = -x + 1$.

4. Noma'lum qatnashgan ifodaga bo'lib yuborish. Ikkala tomonni $x$ ga bo'lish mumkin emas, bu ildiz yo'qolishiga olib keladi.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Siz 8-sinf algebrasining "Ratsional kasrlar" bo'limini muvaffaqiyatli yakunladingiz. Keyingi bo'limda kvadrat ildizlar va irratsional sonlar bilan tanishamiz.