Kasrlarni ko'paytirish va bo'lish

Bu nima va nega kerak

Oddiy sonli kasrlarni ko'paytirish va bo'lishni eslang:

$\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4} = \frac{2 \cdot 9}{3 \cdot 4} = \frac{3}{2}, \qquad \frac{3}{5} : \frac{9}{10} = \frac{3}{5} \cdot \frac{10}{9} = \frac{2}{3}$

Ko'rib turganingizdek, kasrlarni ko'paytirish uchun umumiy maxraj qidirish shart emas! Surat suratga, maxraj esa maxrajga ko'paytiriladi. Bo'lishda esa ikkinchi kasr to'ntarilib, ko'paytirish amaliga o'tiladi.

Algebraik (ratsional) kasrlarda ham qoidalar aynan shunday ishlaydi. Biroq algebrada eng muhim mahorat — ko'paytirishdan oldin qisqartirishdir. Agar siz qavslarni oldindan ochib, ko'phadlarni bir-biriga ko'paytirib yuborsangiz, juda katta va boshqarib bo'lmaydigan ifodalar hosil bo'ladi. Aksincha, avval ko'paytuvchilarga ajratib, o'xshash qavslarni qisqartirsangiz, eng murakkab ifoda ham bir zumda soddalashadi.

Bu ko'nikma fizikadagi proporsional bog'lanishlar, geometriyaning o'xshashlik mavzusi va DTM testlaridagi ko'p bosqichli algebraik ifodalarni yechishda hal qiluvchi rol o'ynaydi.

Asosiy tushunchalar va qoidalar

1. Ratsional kasrlarni ko'paytirish

Ikki ratsional kasrni ko'paytirish uchun ularning suratlarini o'zaro ko'paytirib yangi kasrning suratiga, maxrajlarini o'zaro ko'paytirib yangi kasrning maxrajiga yozish kerak:

$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$

Bunda $B \neq 0$ va $D \neq 0$.

2. Ratsional kasrlarni bo'lish

Bir ratsional kasrni ikkinchisiga bo'lish uchun birinchi kasrni ikkinchi kasrga teskari bo'lgan kasrga ko'paytirish kerak:

$\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$

Bunda $B \neq 0$, $C \neq 0$ va $D \neq 0$.

3. Butun ifodani kasrga ko'paytirish va bo'lish

Har qanday butun ifodani maxraji 1 bo'lgan kasr deb qarash mumkin: $C = \dfrac{C}{1}$. Shuning uchun:

$C \cdot \frac{A}{B} = \frac{C \cdot A}{B}, \qquad \frac{A}{B} : C = \frac{A}{B \cdot C}$

4. Ratsional kasrni darajaga ko'tarish

Ratsional kasrni natural $n$-darajaga ko'tarish uchun uning surati va maxrajini alohida-alohida shu darajaga ko'tarish kerak:

$\left(\frac{A}{B}\right)^n = \frac{A^n}{B^n}$

5. Ko'paytirish va bo'lishning oltin qoidasi

[!TIP] Kasrlarni ko'paytirish yoki bo'lishda hech qachon qavslarni darhol ochmang!

1. Surat va maxrajdagi har bir ko'phadni ko'paytuvchilarga ajrating (umumiy ko'paytuvchini chiqarish, formulalar, guruhlash).
2. Bo'lish amali bo'lsa, uni teskari kasr ko'paytmasiga aylantiring.
3. Barcha ko'paytuvchilarni bitta umumiy kasr chizig'i ostida yozing.
4. Surat va maxrajdagi umumiy ko'paytuvchilarni to'liq qisqartiring.
5. Qolgan ifodani ixcham holda yozing.

Yechilgan misollar

1-misol. Birhadlardan iborat kasrlar

$\frac{14a^3}{b^2} \cdot \frac{b^5}{21a}$

• Bitta kasr chizig'iga yozamiz: $\frac{14a^3 \cdot b^5}{b^2 \cdot 21a}$
• Sonlarni 7 ga qisqartiramiz: 14 o'rnida 2, 21 o'rnida 3 qoladi.
• Darajalarni qisqartiramiz: $\dfrac{a^3}{a} = a^2$ va $\dfrac{b^5}{b^2} = b^3$.
• Natija: $\frac{2a^2 b^3}{3}$

2-misol. Ko'paytuvchilarga ajratish va ko'paytirish

$\frac{x^2 - 4}{3x} \cdot \frac{6x^2}{x + 2}$

• $x^2 - 4$ kvadratlar ayirmasi: $(x - 2)(x + 2)$.
• Kasrlarni birlashtiramiz: $\frac{(x - 2)(x + 2) \cdot 6x^2}{3x \cdot (x + 2)}$
• Qisqartiramiz:
  • $(x + 2)$ qisqaradi.
  • $6x^2$ va $3x$ qisqarib, suratda $2x$ qoladi.
• Natija: $2x(x - 2) = 2x^2 - 4x \quad (x \neq 0, \; x \neq -2)$

3-misol. Kasrlarni bo'lish

$\frac{a^2 - b^2}{a^2} : \frac{a + b}{a}$

• Bo'lishni ko'paytirishga aylantiramiz (ikkinchi kasr to'ntariladi): $\frac{a^2 - b^2}{a^2} \cdot \frac{a}{a + b}$
• Suratni ko'paytuvchilarga ajratamiz: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. $\frac{(a - b)(a + b) \cdot a}{a^2 \cdot (a + b)}$
• $(a + b)$ va $a$ larni qisqartiramiz: $\frac{a - b}{a} \quad (a \neq 0, \; a \neq -b)$

4-misol. Darajaga ko'tarish va bo'lish

$\left(-\frac{2x^2}{y^3}\right)^3 : \frac{4x^5}{y^8}$

• Avval darajaga ko'taramiz (toq daraja bo'lgani uchun minus saqlanadi): $\left(-\frac{2x^2}{y^3}\right)^3 = -\frac{2^3 \cdot (x^2)^3}{(y^3)^3} = -\frac{8x^6}{y^9}$
• Bo'lishni ko'paytirishga aylantiramiz: $-\frac{8x^6}{y^9} \cdot \frac{y^8}{4x^5}$
• Qisqartiramiz:
  • 8 va 4 qisqarib suratda 2 qoladi.
  • $\dfrac{x^6}{x^5} = x$ va $\dfrac{y^8}{y^9} = \dfrac{1}{y}$.
• Natija: $-\frac{2x}{y}$

5-misol. Ketma-ket amallar

$\frac{x^2 - 9}{x^2 + 4x + 4} \cdot \frac{x + 2}{x - 3} : \frac{x + 3}{2x + 4}$

• Har bir ifodani ko'paytuvchilarga ajratamiz:
  • $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$
  • $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$
  • $2x + 4 = 2(x + 2)$
• Bo'lishni ko'paytirishga aylantirib, yozamiz: $\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 2)^2} \cdot \frac{x + 2}{x - 3} \cdot \frac{2(x + 2)}{x + 3}$
• Endi qisqartiramiz:
  • $(x - 3)$ surat va maxrajdan qisqaradi.
  • $(x + 3)$ surat va maxrajdan qisqaradi.
  • Suratda $(x + 2) \cdot (x + 2) = (x + 2)^2$ bor, bu maxrajdagi $(x + 2)^2$ bilan to'liq qisqaradi.
• Faqat 2 soni qoldi! Natija: $2 \quad (x \neq 3, \; x \neq -3, \; x \neq -2)$

Mashq

Amallarni bajaring va natijani eng sodda ko'rinishga keltiring:

1. $\dfrac{6x^2}{y} \cdot \dfrac{y^3}{12x}$
2. $\dfrac{15a^2}{b^3} : \dfrac{5a}{b^2}$
3. $\dfrac{x^2 - 25}{x} \cdot \dfrac{x^2}{x + 5}$
4. $\dfrac{a + 3}{a - 3} : \dfrac{a^2 - 9}{a - 3}$
5. $\left(\dfrac{3x^2}{2y}\right)^2 \cdot \dfrac{4y^3}{9x^3}$
6. $\dfrac{x^2 - 4y^2}{2x + 4y} \cdot \dfrac{6}{x - 2y}$
7. $\dfrac{a^2 - 4a + 4}{a^2 - 1} : \dfrac{a - 2}{a + 1}$
8. $\dfrac{m^3 - n^3}{m + n} \cdot \dfrac{m^2 - n^2}{m^2 + mn + n^2}$
9. $\dfrac{2x - 6}{x^2 + 2x} : (x - 3)$
10. $\left(\dfrac{x}{y^2}\right)^3 : \left(-\dfrac{x^2}{y^3}\right)^2$

Javoblar va yechim yo'llari

1. $\dfrac{6x^2 \cdot y^3}{12x \cdot y} = \dfrac{xy^2}{2}$.
2. $\dfrac{15a^2}{b^3} \cdot \dfrac{b^2}{5a} = \dfrac{3a}{b}$.
3. $\dfrac{(x - 5)(x + 5) \cdot x^2}{x \cdot (x + 5)} = x(x - 5) = x^2 - 5x$.
4. $\dfrac{a + 3}{a - 3} \cdot \dfrac{a - 3}{(a - 3)(a + 3)} = \dfrac{1}{a - 3}$.
5. $\dfrac{9x^4}{4y^2} \cdot \dfrac{4y^3}{9x^3} = xy$.
6. $\dfrac{(x - 2y)(x + 2y)}{2(x + 2y)} \cdot \dfrac{6}{x - 2y} = \dfrac{6}{2} = 3$.
7. $\dfrac{(a - 2)^2}{(a - 1)(a + 1)} \cdot \dfrac{a + 1}{a - 2} = \dfrac{a - 2}{a - 1}$.
8. $\dfrac{(m - n)(m^2 + mn + n^2)}{m + n} \cdot \dfrac{(m - n)(m + n)}{m^2 + mn + n^2} = (m - n)^2$.
9. $\dfrac{2(x - 3)}{x(x + 2)} \cdot \dfrac{1}{x - 3} = \dfrac{2}{x(x + 2)}$.
10. $\dfrac{x^3}{y^6} : \dfrac{x^4}{y^6} = \dfrac{x^3}{y^6} \cdot \dfrac{y^6}{x^4} = \dfrac{1}{x}$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Qisqartirishdan oldin ko'phadlarni ko'paytirib yuborish. Eng ko'p vaqt yo'qotishga sabab bo'ladigan xato. Qavslarni ochsangiz, 3- yoki 4-darajali ko'phadlar hosil bo'ladi va ularni keyin ko'paytuvchilarga ajratish juda qiyinlashadi. ✗ $\dfrac{x-1}{x+2} \cdot \dfrac{x+2}{x+3} = \dfrac{x^2 + x - 2}{x^2 + 5x + 6}$ ✓ Darhol $(x + 2)$ ni qisqartiring: $\dfrac{x - 1}{x + 3}$.

2. Bo'lishda ikkinchi kasrni to'ntarmaslik yoki birinchisini to'ntarish. Bo'lishda faqat va faqat bo'luvchi (ya'ni ikkinchi kasr) to'ntariladi. ✗ $\dfrac{A}{B} : \dfrac{C}{D} = \dfrac{B}{A} \cdot \dfrac{C}{D}$ ✓ To'g'risi: $\dfrac{A}{B} \cdot \dfrac{D}{C}$.

3. Butun songa bo'lganda uni suratga yozib qo'yish. ✗ $\dfrac{A}{B} : C = \dfrac{A \cdot C}{B}$ ✓ Butun songa bo'lganda u maxrajga ko'paytiriladi: $\dfrac{A}{B \cdot C}$.

4. Manfiy darajalarda ishorani adashtirish. $(-A)^2 = A^2$ (musbat), lekin $(-A)^3 = -A^3$ (manfiy). Qavs ichidagi minus ishorasi darajaning juft-toqligiga qarab belgilanadi.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Ratsional kasrlar ustidagi barcha amallarni (qisqartirish, qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish) to'liq egalladik. Endi ushbu ko'nikmalarni ratsional tenglamalarni yechishda qo'llaymiz.