Kasrlarni qo'shish va ayirish

Bu nima va nega kerak

Ikkita quvur orqali hovuzga suv quyilmoqda. Birinchi quvur hovuzni yolg'iz o'zi $a$ soatda, ikkinchi quvur esa $b$ soatda to'ldiradi. Birgalikda ular 1 soatda hovuzning qancha qismini to'ldiradi?

Birinchi quvur 1 soatda hovuzning $\dfrac{1}{a}$ qismini, ikkinchi quvur esa $\dfrac{1}{b}$ qismini to'ldiradi. Birgalikda:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Bu ifodani bitta kasrga keltirish uchun oddiy kasrlardagidek umumiy maxraj topamiz:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab}$

Fizikada parallel ulangan qarshiliklar ($\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$), tezlik va mehnat masalalari hamda DTM imtihonlaridagi algebraik ifodalar aynan shu amallarga tayanadi.

Asosiy tushunchalar va qoidalar

1. Bir xil maxrajli kasrlar

Bir xil maxrajli kasrlarni qo'shish yoki ayirishda suratlari qo'shiladi (ayiriladi), maxraj esa o'zgarishsiz qoladi:

$\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A + B}{C}, \qquad \frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A - B}{C}$

[!WARNING] Ayirish amalini bajarganda ikkinchi kasrning butun surati ayriladi: $\dfrac{A}{C} - \dfrac{B}{C} = \dfrac{A - (B)}{C}$. Qavs ochilganda $B$ dagi barcha hadlarning ishorasi o'zgaradi!

2. Har xil maxrajli kasrlar

Har xil maxrajli kasrlarni qo'shish va ayirish ketma-ketligi:

1. Maxrajlarni ko'paytuvchilarga ajrating: umumiy ko'paytuvchini chiqarish yoki formulalar orqali.
2. Eng kichik umumiy maxrajni (EKUM) toping: barcha ko'paytuvchilarning eng yuqori darajalarini ko'paytiring.
3. Qo'shimcha ko'paytuvchini toping: umumiy maxrajni har bir kasrning o'z maxrajiga bo'ling.
4. Suratlarni ko'paytirib, yig'ing: suratlarni o'z qo'shimcha ko'paytuvchilariga ko'paytirib, umumiy maxraj ustida yozing.
5. Ixchamlang va qisqartiring: suratdagi o'xshash hadlarni birlashtiring, imkon bo'lsa kasrni qisqartiring.

3. Ishorani boshqarish

Agar maxrajlar qarama-qarshi bo'lsa ($a - b$ va $b - a$), $b - a = -(a - b)$ qoidasidan foydalanib kasr oldidagi ishorani almashtiramiz:

$\frac{M}{b - a} = -\frac{M}{a - b}$

Yechilgan misollar

1-misol. Bir xil maxrajli kasrlar va qavs

$\frac{3x - 1}{x - 4} - \frac{2x + 3}{x - 4}$

• Maxrajlar bir xil. Suratlar ayirmasini qavs bilan yozamiz: $\frac{(3x - 1) - (2x + 3)}{x - 4} = \frac{3x - 1 - 2x - 3}{x - 4} = \frac{x - 4}{x - 4} = 1 \quad (x \neq 4)$

2-misol. Birhadli maxrajlar

$\frac{5}{6a^2} - \frac{2}{9ab} + \frac{1}{2b^2}$

• Koeffitsiyentlar 6, 9, 2 uchun EKUK — 18. Harflar: $a^2$ va $b^2$. Umumiy maxraj: $18a^2b^2$.
• Qo'shimcha ko'paytuvchilar: mos ravishda $3b^2$, $2ab$ va $9a^2$.
• Birlashtiramiz: $\frac{5 \cdot 3b^2 - 2 \cdot 2ab + 1 \cdot 9a^2}{18a^2b^2} = \frac{9a^2 - 4ab + 15b^2}{18a^2b^2}$

3-misol. Kvadratlar ayirmasi qatnashgan holat

$\frac{2}{x - 3} - \frac{12}{x^2 - 9}$

• $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Umumiy maxraj: $(x - 3)(x + 3)$.
• 1-kasrga qo'shimcha ko'paytuvchi: $(x + 3)$.
• Yozamiz: $\frac{2(x + 3) - 12}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{2x + 6 - 12}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{2(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{2}{x + 3}$

4-misol. Ishorani almashtirish

$\frac{y^2}{y - 5} + \frac{25}{5 - y}$

• $5 - y = -(y - 5)$ bo'lgani uchun, kasr oldidagi ishorani minusga almashtiramiz: $\frac{y^2}{y - 5} - \frac{25}{y - 5} = \frac{y^2 - 25}{y - 5} = \frac{(y - 5)(y + 5)}{y - 5} = y + 5 \quad (y \neq 5)$

5-misol. Uchta kasr yig'indisi

$\frac{1}{a - 1} - \frac{2a}{a^2 - 1} + \frac{1}{a + 1}$

• Umumiy maxraj: $(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1$.
• Suratlarni yig'amiz: $\frac{1(a + 1) - 2a + 1(a - 1)}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a + 1 - 2a + a - 1}{a^2 - 1} = \frac{0}{a^2 - 1} = 0 \quad (a \neq \pm 1)$

Mashq

Amallarni bajaring va natijani qisqarmaydigan kasrga keltiring:

1. $\dfrac{5x}{x + 2} + \dfrac{10}{x + 2}$
2. $\dfrac{a^2}{a - 3} - \dfrac{9}{a - 3}$
3. $\dfrac{1}{2x} + \dfrac{3}{4x}$
4. $\dfrac{x}{x - 1} - \dfrac{1}{x}$
5. $\dfrac{3}{a + 2} + \dfrac{2}{a - 2}$
6. $\dfrac{x}{x - 4} + \dfrac{4}{4 - x}$
7. $\dfrac{a + 1}{a - 1} - \dfrac{a - 1}{a + 1}$
8. $\dfrac{2x}{x^2 - 4} - \dfrac{1}{x - 2}$
9. $\dfrac{1}{x^2 - x} - \dfrac{1}{x^2 - 1}$
10. $\dfrac{m - 3}{m^2 - 4} + \dfrac{1}{2 - m}$

Javoblar va yechim yo'llari

1. $\dfrac{5x + 10}{x + 2} = \dfrac{5(x + 2)}{x + 2} = 5$.
2. $\dfrac{a^2 - 9}{a - 3} = \dfrac{(a - 3)(a + 3)}{a - 3} = a + 3$.
3. Umumiy maxraj $4x$: $\dfrac{2 + 3}{4x} = \dfrac{5}{4x}$.
4. Umumiy maxraj $x(x - 1)$: $\dfrac{x^2 - (x - 1)}{x(x - 1)} = \dfrac{x^2 - x + 1}{x(x - 1)}$.
5. Umumiy maxraj $a^2 - 4$: $\dfrac{3(a - 2) + 2(a + 2)}{a^2 - 4} = \dfrac{5a - 2}{a^2 - 4}$.
6. $\dfrac{x}{x - 4} - \dfrac{4}{x - 4} = \dfrac{x - 4}{x - 4} = 1$.
7. $\dfrac{(a + 1)^2 - (a - 1)^2}{a^2 - 1} = \dfrac{4a}{a^2 - 1}$.
8. $\dfrac{2x - (x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{x - 2}{(x - 2)(x + 2)} = \dfrac{1}{x + 2}$.
9. $\dfrac{1}{x(x - 1)} - \dfrac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{(x + 1) - x}{x(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{1}{x(x^2 - 1)}$.
10. $\dfrac{m - 3}{(m - 2)(m + 2)} - \dfrac{1}{m - 2} = \dfrac{m - 3 - (m + 2)}{(m - 2)(m + 2)} = -\dfrac{5}{m^2 - 4}$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Ayirishda suratdagi hadlarning ishorasini o'zgartirmaslik. ✗ $\dfrac{5x}{x-1} - \dfrac{2x - 3}{x-1} = \dfrac{5x - 2x - 3}{x-1}$ ✓ Butun surat qavsga olinadi: $\dfrac{5x - (2x - 3)}{x-1} = \dfrac{5x - 2x + 3}{x-1} = \dfrac{3x + 3}{x-1}$

2. Maxrajlarni bir-biriga shunchaki qo'shib yuborish. ✗ $\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b + d}$ ✓ Faqat umumiy maxrajga keltirib qo'shiladi: $\dfrac{ad + bc}{bd}$.

3. Qo'shimcha ko'paytuvchini faqat bir hadga ko'paytirish. ✗ $\dfrac{x+1}{2} + \dfrac{x}{3}$ da birinchi kasrni 3 ga ko'paytirganda $3x + 1$ deb yozish. ✓ To'g'risi butun ifodaga ko'paytiriladi: $3(x + 1) = 3x + 3$.

4. Qarama-qarshi maxrajda ishorani almashtirishni unutish. $b - a$ o'rniga $a - b$ yozilganda, kasr oldidagi ishora ham teskarisiga o'zgarishi shart.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: variantni tanlang, to'g'ri javob va yechimi ko'rsatiladi.

Keyingi qadam

Kasrlarni qo'shish va ayirishni o'zlashtirdik. Keyingi darsda ratsional kasrlarni ko'paytirish, bo'lish va darajaga ko'tarish qoidalari bilan tanishamiz.