Arifmetik kvadrat ildiz

Bu nima va nega kerak

Tasavvur qiling, sizga maydoni $49 \text{ m}^2$ bo'lgan kvadrat shaklidagi yer maydoni berildi. Uning devorlari uzunligi, ya'ni kvadratning tomoni necha metr bo'ladi?

Kvadratning yuzi $S = a^2$ formulasi orqali topilishini bilamiz. Demak, biz shunday $a$ sonini topishimiz kerakki, uning kvadrati $49$ ga teng bo'lsin: $a^2 = 49$

Biz bilamizki, $7 \cdot 7 = 49$, ya'ni $7^2 = 49$. Demak, yer maydonining tomoni $7$ metrga teng.

Bu yerda biz darajaga ko'tarish amaliga teskari bo'lgan amalni bajardik: berilgan son qaysi sonning kvadrati ekanini topdik. Mana shu amal kvadrat ildiz chiqarish deb ataladi.

Fizikada erkin tushish tezligi $v = \sqrt{2gh}$, geometriyada gipotenuza $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, DTM testlarida kvadrat ildiz doim uchraydi. Bu mavzu 8-sinf algebrasining, ayniqsa kvadrat tenglamalarning asosiy poydevoridir.

Asosiy g'oya

Kvadrat ildiz va arifmetik kvadrat ildiz

Diqqat qiling: $7^2 = 49$ bo'lgani kabi, $(-7)^2 = 49$ ham to'g'ri. Demak, kvadrati $49$ ga teng bo'lgan ikkita son bor: $7$ va $-7$.

Biroq, yer maydonining tomoni manfiy bo'lishi mumkin emas. Matematikada noaniqlik bo'lmasligi uchun maxsus arifmetik kvadrat ildiz tushunchasi kiritilgan.

Ta'rif. Manfiy bo'lmagan $a$ sonining arifmetik kvadrat ildizi deb, kvadrati $a$ ga teng bo'lgan manfiy bo'lmagan $b$ soniga aytiladi.

Belgilanishi: $\sqrt{a} = b$

Bu yerda:

• $\sqrt{\phantom{a}}$ belgisi — radikal (ildiz belgisi) deb ataladi;
• $a$ — ildiz ostidagi ifoda deyiladi;
• Ta'rifga ko'ra ikkita muhim shart bir vaqtda bajarilishi shart:
  1. $b \ge 0$ (ildizning qiymati hech qachon manfiy bo'lmaydi);
  2. $b^2 = a$.

Misol uchun:

• $\sqrt{49} = 7$, chunki $7 \ge 0$ va $7^2 = 49$. (Hech qachon $\sqrt{49} = -7$ deb yozilmaydi!)
• $\sqrt{0} = 0$, chunki $0^2 = 0$.
• $\sqrt{1} = 1$, chunki $1^2 = 1$.

Muhim xulosalar va cheklovlar

1. Ildiz osti manfiy bo'lishi mumkin emas: Haqiqiy sonning kvadrati hech qachon manfiy bo'lmaydi ($b^2 \ge 0$). Shu sababli, manfiy sonlardan arifmetik kvadrat ildiz chiqarib bo'lmaydi. Masalan, $\sqrt{-16}$ haqiqiy sonlar to'plamida ma'noga ega emas!
2. Ildiz qiymati manfiy bo'lmaydi: $\sqrt{a} \ge 0$.
3. Asosiy ayniyat: Agar $a \ge 0$ bo'lsa, u holda kvadrat ildiz ta'rifiga ko'ra: $(\sqrt{a})^2 = a$ Masalan: $(\sqrt{5})^2 = 5$, $(\sqrt{17})^2 = 17$.

Tenglama va arifmetik ildiz orasidagi farq

Ko'pchilik o'quvchilar $x^2 = 25$ tenglama bilan $\sqrt{25}$ ifodani chalkashtirib yuborishadi:

• $x^2 = 25$ — bu tenglama. Uning ikkita ildizi bor: $x_1 = 5$ va $x_2 = -5$ (chunki ikkalasining ham kvadrati $25$). Buni $x = \pm\sqrt{25} = \pm 5$ deb yozamiz.
• $\sqrt{25}$ — bu sonli ifoda (arifmetik kvadrat ildiz). Uning qiymati bitta va u faqat musbat: $\sqrt{25} = 5$.

Yechilgan misollar

1-misol. Kvadrat ildizlarni hisoblash

Quyidagi ildizlarning qiymatini toping: a) $\sqrt{81}$; b) $\sqrt{144}$; d) $\sqrt{0{,}36}$; e) $\sqrt{\dfrac{25}{64}}$.

Yechish:

• a) $\sqrt{81} = 9$, chunki $9 \ge 0$ va $9^2 = 81$.
• b) $\sqrt{144} = 12$, chunki $12 \ge 0$ va $12^2 = 144$.
• d) $\sqrt{0{,}36} = 0{,}6$, chunki $0{,}6 \ge 0$ va $(0{,}6)^2 = 0{,}36$.
• e) $\sqrt{\dfrac{25}{64}} = \dfrac{5}{8}$, chunki $\dfrac{5}{8} \ge 0$ va $\left(\dfrac{5}{8}\right)^2 = \dfrac{25}{64}$.

2-misol. Ildizlar qatnashgan ifodalarni hisoblash

Ifodaning qiymatini hisoblang: $3\sqrt{64} - 2\sqrt{121} + \sqrt{225}$

Yechish: Avval har bir arifmetik kvadrat ildizning qiymatini alohida topib olamiz:

• $\sqrt{64} = 8$
• $\sqrt{121} = 11$
• $\sqrt{225} = 15$

Endi bu qiymatlarni ifodaga qo'yamiz va amallarni tartibi bilan bajaramiz: $3 \cdot 8 - 2 \cdot 11 + 15 = 24 - 22 + 15 = 2 + 15 = 17$

Javob: $17$.

3-misol. Ildiz ostidagi amallar tartibi

Hisoblang: $\sqrt{13^2 - 12^2}$

Yechish: Bu yerda juda ehtiyot bo'lish kerak: ildiz ostidagi ayirmani alohida ildizlarga ajratish mutlaqo mumkin emas! Avval ildiz ostidagi ifodani hisoblaymiz.

1-usul (kvadratga ko'tarib ayirish): $13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25$ Endi ildiz chiqaramiz: $\sqrt{25} = 5$

2-usul (qisqa ko'paytirish formulasi — kvadratlar ayirmasidan foydalanib): $13^2 - 12^2 = (13 - 12)(13 + 12) = 1 \cdot 25 = 25$ $\sqrt{25} = 5$

Javob: $5$.

4-misol. Ifodaning ma'noga ega bo'lish sharti

$x$ ning qanday qiymatlarida $\sqrt{3x - 15}$ ifoda ma'noga ega bo'ladi?

Yechish: Arifmetik kvadrat ildiz ta'rifiga ko'ra, ildiz ostidagi ifoda nomanfiy, ya'ni noldan katta yoki teng bo'lishi shart: $3x - 15 \ge 0$

Hosil bo'lgan chiziqli tengsizlikni yechamiz:

• $3x \ge 15$
• Ikkala tomonni $3$ ga bo'lamiz: $x \ge 5$.

Demak, $x$ soni $5$ dan kichik bo'lmagan har qanday qiymatni qabul qilishi mumkin (ya'ni $x \in [5; +\infty)$).

Javob: $x \ge 5$.

5-misol. Ildizli tenglamalarni yechish

Tenglamalarni yeching: a) $\sqrt{x} = 7$; b) $\sqrt{2x + 1} = 5$; d) $\sqrt{x} = -3$.

Yechish:

• a) $\sqrt{x} = 7$. Ikkala tomonni kvadratga ko'taramiz: $(\sqrt{x})^2 = 7^2 \implies x = 49$. Tekshiramiz: $\sqrt{49} = 7$ ✓.
• b) $\sqrt{2x + 1} = 5$. Ikkala tomonni kvadratga ko'taramiz: $2x + 1 = 5^2$ $2x + 1 = 25 \implies 2x = 24 \implies x = 12$ Tekshiramiz: $\sqrt{2 \cdot 12 + 1} = \sqrt{25} = 5$ ✓.
• d) $\sqrt{x} = -3$. Arifmetik kvadrat ildizning qiymati hech qachon manfiy bo'la olmaydi ($\sqrt{x} \ge 0$). Shuning uchun bu tenglama ildizga ega emas.

Javob: a) $x = 49$; b) $x = 12$; d) Ildiz yo'q.

Mashq

Quyidagi masalalarni daftaringizda mustaqil yeching, so'ng yechimlar bilan solishtiring:

1. Hisoblang: $\sqrt{49} + \sqrt{100} - \sqrt{81}$
2. Hisoblang: $4\sqrt{25} - 3\sqrt{64} + 2\sqrt{144}$
3. Hisoblang: $\sqrt{0{,}09} + \sqrt{0{,}64} - \sqrt{0{,}01}$
4. Hisoblang: $\sqrt{\dfrac{16}{49}} \cdot \sqrt{\dfrac{49}{64}}$
5. Ifodaning qiymatini toping: $(\sqrt{23})^2 - \sqrt{169}$
6. Hisoblang: $\sqrt{10^2 - 8^2}$
7. Tenglamani yeching: $x^2 = 81$
8. Tenglamani yeching: $\sqrt{x} = 11$
9. Tenglamani yeching: $\sqrt{3x - 2} = 4$
10. $x$ ning qanday qiymatlarida $\sqrt{4x - 12}$ ifoda ma'noga ega bo'ladi?

Javoblar va yechim yo'llari

1. $\sqrt{49} = 7$, $\sqrt{100} = 10$, $\sqrt{81} = 9$. Amallar: $7 + 10 - 9 = 8$. Javob: $8$.
2. $4 \cdot 5 - 3 \cdot 8 + 2 \cdot 12 = 20 - 24 + 24 = 20$. Javob: $20$.
3. $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$; $\sqrt{0{,}64} = 0{,}8$; $\sqrt{0{,}01} = 0{,}1$. Amallar: $0{,}3 + 0{,}8 - 0{,}1 = 1{,}0 = 1$. Javob: $1$.
4. $\sqrt{\dfrac{16}{49}} = \dfrac{4}{7}$ va $\sqrt{\dfrac{49}{64}} = \dfrac{7}{8}$. Ko'paytiramiz: $\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{7}{8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}$. Javob: $\dfrac{1}{2}$ (yoki $0{,}5$).
5. $(\sqrt{23})^2 = 23$ va $\sqrt{169} = 13$. Ayiramiz: $23 - 13 = 10$. Javob: $10$.
6. Ildiz ostini hisoblaymiz: $10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$. $\sqrt{36} = 6$. Javob: $6$.
7. $x^2 = 81$ tenglamaning ikkita ildizi mavjud: $x_1 = 9$ va $x_2 = -9$. Javob: $x = \pm 9$.
8. Ikkala tomonni kvadratga ko'taramiz: $x = 11^2 = 121$. Tekshirish: $\sqrt{121} = 11$ ✓. Javob: $x = 121$.
9. Ikkala tomonni kvadratga ko'taramiz: $3x - 2 = 4^2 \implies 3x - 2 = 16 \implies 3x = 18 \implies x = 6$. Tekshirish: $\sqrt{3\cdot 6 - 2} = \sqrt{16} = 4$ ✓. Javob: $x = 6$.
10. Ildiz osti nomanfiy bo'lishi kerak: $4x - 12 \ge 0 \implies 4x \ge 12 \implies x \ge 3$. Javob: $x \ge 3$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Arifmetik ildizni manfiy deb olish.

• ✗ Noto'g'ri: $\sqrt{36} = \pm 6$
• ✓ To'g'ri: $\sqrt{36} = 6$. Arifmetik kvadrat ildiz faqat manfiy bo'lmagan qiymat qabul qiladi. Faqatgina $x^2 = 36$ tenglama yechilganda javob $x = \pm 6$ bo'ladi.

2. Ildiz ostidagi yig'indi yoki ayirmani bo'lib yuborish.

• ✗ Noto'g'ri: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$
• ✓ To'g'ri: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$. Yig'indi va ayirmada ildizni alohida qismlarga ajratib bo'lmaydi!

3. Manfiy sondan ildiz chiqarish.

• ✗ Noto'g'ri: $\sqrt{-25} = -5$
• ✓ To'g'ri: $\sqrt{-25}$ haqiqiy sonlar to'plamida mavjud emas, chunki hech qanday haqiqiy sonning kvadrati $-25$ ga teng bo'la olmaydi ($(-5)^2 = +25$).

4. Ildiz qiymatini manfiy songa tenglashtirish.

• ✗ Noto'g'ri: $\sqrt{x} = -4 \implies x = (-4)^2 = 16$
• ✓ To'g'ri: $\sqrt{x} = -4$ tenglama ildizga ega emas, chunki arifmetik ildiz doim nomanfiy bo'ladi ($\sqrt{16} = 4 \neq -4$).

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari orqali mavzuni qay darajada o'zlashtirganingizni sinab ko'ring.

Keyingi qadam

Endi arifmetik kvadrat ildiz nima ekanini va uning asosiy qoidalarini bilib oldik. Keyingi darsda ildizning xossalari — ko'paytma, bo'linma va darajadan ildiz chiqarish usullari bilan tanishamiz. Bu xossalar murakkab ifodalarni oson hisoblash imkonini beradi.