Ildizning xossalari

Bu nima va nega kerak

Quyidagi ifodani hisoblash kerak bo'lsin: $\sqrt{50} \cdot \sqrt{2}$

Agar har bir ildizni alohida hisoblamoqchi bo'lsak, qiyinchilik tug'iladi: $50$ ham, $2$ ham biror butun sonning kvadrati emas.

Lekin bu sonlarni bitta ildiz ostiga birlashtirib ko'paytirsak: $\sqrt{50 \cdot 2} = \sqrt{100} = 10$ Natija bir zumda topildi va u butun son chiqdi!

Xuddi shunday, $\sqrt{16 \cdot 25}$ ni hisoblashda $16 \cdot 25 = 400$ ko'paytmasidan ildiz olish o'rniga, har biridan alohida ildiz chiqarib: $\sqrt{16} \cdot \sqrt{25} = 4 \cdot 5 = 20$ deb hisoblash ancha qulay.

Kvadrat ildizning xossalari murakkab hisob-kitoblarni yengillashtiradi, ifodalarni soddalashtiradi va DTM testlaridagi masalalarni tez yechishga imkon beradi.

Asosiy g'oya

Kvadrat ildizning barcha amallari uchta asosiy teoremaga tayanadi.

1. Ko'paytmaning kvadrat ildizi

Teorema. Agar $a \ge 0$ va $b \ge 0$ bo'lsa, u holda: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

So'z bilan aytganda: Manfiy bo'lmagan ko'paytuvchilar ko'paytmasining kvadrat ildizi shu sonlar ildizlarining ko'paytmasiga teng.

Ildizlarni bitta ildiz ostiga birlashtirish: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \quad (a \ge 0, b \ge 0)$

Uchta va undan ortiq ko'paytuvchilar uchun ham o'rinli: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c} \quad (a \ge 0, b \ge 0, c \ge 0)$

2. Bo'linmaning (kasrning) kvadrat ildizi

Teorema. Agar $a \ge 0$ va $b > 0$ bo'lsa, u holda: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

So'z bilan aytganda: Kasrning kvadrat ildizi suratining ildizini maxrajining ildiziga bo'linganiga teng.

Teskari qo'llash: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (a \ge 0, b > 0)$

3. Darajaning kvadrat ildizi va modul ayniyati

Har qanday son uchun uning kvadrati nomanfiy son ($a^2 \ge 0$). Shuning uchun $\sqrt{a^2}$ ifoda har doim ma'noga ega. Biroq arifmetik ildiz natijasi manfiy bo'lishi mumkin emas.

Shuning uchun:

Asosiy ayniyat: Har qanday haqiqiy $a$ soni uchun: $\sqrt{a^2} = |a|$

• Agar $a \ge 0$ bo'lsa, $\sqrt{a^2} = a$. Masalan: $\sqrt{7^2} = 7$.
• Agar $a < 0$ bo'lsa, $\sqrt{a^2} = -a = |a|$. Masalan: $\sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7$.

Umumiy holda juft daraja uchun: $\sqrt{a^{2k}} = |a^k| \quad (k \in \mathbb{N})$ Agar $a \ge 0$ bo'lsa, $\sqrt{a^{2k}} = a^k$. Masalan: $\sqrt{a^6} = |a^3|$, $\sqrt{x^4} = x^2$ (chunki $x^2$ har doim nomanfiy).

4. Ko'paytuvchini ildiz ostidan chiqarish va kiritish

Yuqoridagi teoremalarning bevosita amaliy tatbiqi:

1. Ildiz ostidan chiqarish: Ildiz ostidagi sonni biri to'la kvadrat bo'lgan ikkita ko'paytuvchiga ajratamiz: $\sqrt{a^2 b} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{b} = a\sqrt{b} \quad (a \ge 0, b \ge 0)$ Masalan: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$.

2. Ildiz ostiga kiritish:

   • Agar ko'paytuvchi musbat yoki nol bo'lsa ($a \ge 0$): uni kvadratga ko'tarib kiritamiz: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$ Masalan: $5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$.
   • Agar ko'paytuvchi manfiy bo'lsa ($a < 0$): minus ishorasi tashqarida qoladi, ildiz ichiga faqat modulining kvadrati kiradi: $-3\sqrt{2} = -\sqrt{3^2 \cdot 2} = -\sqrt{18}$

Yechilgan misollar

1-misol. Ko'paytma xossasini qo'llash

Hisoblang: a) $\sqrt{64 \cdot 81}$; b) $\sqrt{45} \cdot \sqrt{5}$; d) $\sqrt{18 \cdot 32}$.

Yechish:

• a) Ikkala ko'paytuvchidan alohida ildiz chiqaramiz: $\sqrt{64 \cdot 81} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{81} = 8 \cdot 9 = 72$
• b) Alohida butun ildiz chiqmaydi, shuning uchun bitta ildiz ostiga keltiramiz: $\sqrt{45} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{45 \cdot 5} = \sqrt{225} = 15$
• d) Sonlarni ko'paytirib katta son hosil qilish o'rniga, ularni to'la kvadratlarga ajratamiz: $18 = 9 \cdot 2, \quad 32 = 16 \cdot 2$ $\sqrt{18 \cdot 32} = \sqrt{9 \cdot 2 \cdot 16 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 16 \cdot 4} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{16} \cdot \sqrt{4} = 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$

Javob: a) $72$; b) $15$; d) $24$.

2-misol. Bo'linma xossasini qo'llash

Hisoblang: a) $\sqrt{\dfrac{49}{169}}$; b) $\dfrac{\sqrt{192}}{\sqrt{3}}$; d) $\sqrt{1\dfrac{9}{16}}$.

Yechish:

• a) Kasrning surati va maxrajidan alohida ildiz olamiz: $\sqrt{\dfrac{49}{169}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{169}} = \dfrac{7}{13}$
• b) Bitta umumiy ildiz ostida bo'lamiz: $\dfrac{\sqrt{192}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{192}{3}} = \sqrt{64} = 8$
• d) Aralash kasrdan ildiz chiqarishdan oldin uni noto'g'ri kasrga aylantirish shart: $1\dfrac{9}{16} = \dfrac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \dfrac{25}{16}$ $\sqrt{\dfrac{25}{16}} = \dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \dfrac{5}{4} = 1\dfrac{1}{4} = 1{,}25$

Javob: a) $\dfrac{7}{13}$; b) $8$; d) $1{,}25$.

3-misol. Darajadan ildiz chiqarish va modul

Hisoblang: a) $\sqrt{2^6 \cdot 3^4}$; b) $\sqrt{(-19)^2}$; d) Agar $a < 2$ bo'lsa, $\sqrt{(a - 2)^2}$ ifodani soddalashtiring.

Yechish:

• a) Daraja ko'rsatkichlarini $2$ ga bo'lamiz: $\sqrt{2^6 \cdot 3^4} = 2^{6:2} \cdot 3^{4:2} = 2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$
• b) $\sqrt{a^2} = |a|$ formulaga asosan: $\sqrt{(-19)^2} = |-19| = 19$
• d) $\sqrt{(a - 2)^2} = |a - 2|$. Masala shartiga ko'ra $a < 2$, ya'ni $a - 2 < 0$ (modul ichi manfiy). Manfiy sonning moduli qarama-qarshi ishora bilan ochiladi: $|a - 2| = -(a - 2) = 2 - a$

Javob: a) $72$; b) $19$; d) $2 - a$.

4-misol. Ko'paytuvchini ildiz ostidan chiqarish

Ifodalarda ko'paytuvchini ildiz ostidan chiqaring: a) $\sqrt{75}$; b) $\sqrt{98}$; d) $\sqrt{50a^2}$ ($a \ge 0$).

Yechish:

• a) $75$ sonini to'la kvadrat qatnashgan ko'paytmaga ajratamiz: $75 = 25 \cdot 3$. $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$
• b) $98 = 49 \cdot 2$. $\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$
• d) $\sqrt{50a^2} = \sqrt{25 \cdot 2 \cdot a^2} = 5 \cdot |a| \cdot \sqrt{2}$. Shartga ko'ra $a \ge 0$, demak $|a| = a$. Natija: $5a\sqrt{2}$.

Javob: a) $5\sqrt{3}$; b) $7\sqrt{2}$; d) $5a\sqrt{2}$.

5-misol. Ko'paytuvchini ildiz ostiga kiritish va taqqoslash

Sonlarni taqqoslang: $3\sqrt{5} \quad \text{va} \quad 5\sqrt{2}$

Yechish: Ikkala sonning ko'paytuvchisini ildiz ostiga kiritamiz:

• $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$
• $5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$

Endi ildiz ostidagi sonlarni taqqoslaymiz: $45 < 50$ bo'lganligi sababli, $\sqrt{45} < \sqrt{50}$ bo'ladi. Demak: $3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}$

Javob: $3\sqrt{5} < 5\sqrt{2}$.

Mashq

Masalalarni mustaqil yeching:

1. Hisoblang: $\sqrt{25 \cdot 144}$
2. Hisoblang: $\sqrt{8} \cdot \sqrt{18}$
3. Hisoblang: $\dfrac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}}$
4. Hisoblang: $\sqrt{2\dfrac{7}{9}}$
5. Hisoblang: $\sqrt{3^4 \cdot 2^6}$
6. Hisoblang: $\sqrt{(-23)^2} - \sqrt{17^2}$
7. Ildiz ostidan chiqaring: $\sqrt{48}$
8. Ildiz ostidan chiqaring: $\sqrt{128}$
9. Ildiz ostiga kiriting: $4\sqrt{5}$
10. Agar $x > 5$ bo'lsa, $\sqrt{(5 - x)^2} + x$ ifodaning qiymatini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $\sqrt{25 \cdot 144} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{144} = 5 \cdot 12 = 60$. Javob: $60$.
2. $\sqrt{8} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{8 \cdot 18} = \sqrt{144} = 12$. Javob: $12$.
3. $\dfrac{\sqrt{150}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\dfrac{150}{6}} = \sqrt{25} = 5$. Javob: $5$.
4. Noto'g'ri kasrga aylantiramiz: $2\dfrac{7}{9} = \dfrac{25}{9}$. So'ng $\sqrt{\dfrac{25}{9}} = \dfrac{5}{3} = 1\dfrac{2}{3}$. Javob: $\dfrac{5}{3}$ (yoki $1\dfrac{2}{3}$).
5. Darajalarni $2$ ga bo'lamiz: $\sqrt{3^4 \cdot 2^6} = 3^2 \cdot 2^3 = 9 \cdot 8 = 72$. Javob: $72$.
6. Modul qoidasi bo'yicha: $\sqrt{(-23)^2} = |-23| = 23$ va $\sqrt{17^2} = 17$. Ayiramiz: $23 - 17 = 6$. Javob: $6$.
7. $48 = 16 \cdot 3$, demak $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$. Javob: $4\sqrt{3}$.
8. $128 = 64 \cdot 2$, demak $\sqrt{128} = \sqrt{64 \cdot 2} = 8\sqrt{2}$. Javob: $8\sqrt{2}$.
9. $4\sqrt{5} = \sqrt{4^2 \cdot 5} = \sqrt{16 \cdot 5} = \sqrt{80}$. Javob: $\sqrt{80}$.
10. $\sqrt{(5 - x)^2} = |5 - x|$. Agar $x > 5$ bo'lsa, $5 - x < 0$, demak $|5 - x| = -(5 - x) = x - 5$. Ifodaga qo'ysak: $(x - 5) + x = 2x - 5$. Javob: $2x - 5$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Ko'paytma xossasini yig'indiga tatbiq qilish.

• ✗ Noto'g'ri: $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$
• ✓ To'g'ri: Faqat ko'paytma va bo'linma uchun: $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$. Yig'indi uchun bu qoida mutlaqo xato! Masalan: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \neq 3 + 4 = 7$.

2. $\sqrt{a^2}$ dan manfiy natija chiqarish.

• ✗ Noto'g'ri: $\sqrt{(-6)^2} = -6$
• ✓ To'g'ri: $\sqrt{(-6)^2} = |-6| = 6$. Arifmetik ildiz doim nomanfiy bo'ladi.

3. Manfiy sonni ildiz ostiga noto'g'ri kiritish.

• ✗ Noto'g'ri: $-2\sqrt{3} = \sqrt{(-2)^2 \cdot 3} = \sqrt{12}$ (manfiy son musbat songa aylanib qoldi!)
• ✓ To'g'ri: Minus tashqarida qoladi: $-2\sqrt{3} = -\sqrt{2^2 \cdot 3} = -\sqrt{12}$.

4. Aralash kasrdan butun va kasr qismini alohida ildiz chiqarish.

• ✗ Noto'g'ri: $\sqrt{1\dfrac{9}{16}} = \sqrt{1} + \sqrt{\dfrac{9}{16}} = 1 + \dfrac{3}{4} = 1\dfrac{3}{4}$
• ✓ To'g'ri: Avval noto'g'ri kasrga o'tiladi: $\sqrt{1\dfrac{9}{16}} = \sqrt{\dfrac{25}{16}} = \dfrac{5}{4} = 1\dfrac{1}{4}$.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari orqali xossalarni qo'llash ko'nikmangizni sinab ko'ring.

Keyingi qadam

Kvadrat ildiz xossalarini o'rganib chiqdik. Biroq har doim ham ildizdan aniq butun yoki kasr son chiqavermaydi: masalan $\sqrt{2}$ yoki $\sqrt{3}$ qanday sonlar? Keyingi darsda biz irratsional sonlar tushunchasi va haqiqiy sonlar to'plami bilan chuqur tanishamiz.