Ildizli ifodalarni almashtirish

Bu nima va nega kerak

Tasavvur qiling, hisoblash natijasida $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ soni chiqdi. Uning taqribiy qiymatini bilmoqchisiz. $\sqrt{2} \approx 1{,}4142$ ekanini hisobga olsak, $1$ ni $1{,}4142$ ga qo'lda bo'lish juda uzoq va noqulay amal.

Endi kasrning asosiy xossasidan foydalanib, uning surat va maxrajini $\sqrt{2}$ ga ko'paytiramiz: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Endi hisoblash qanchalik yengillashganiga qarang: $\frac{\sqrt{2}}{2} \approx \frac{1{,}4142}{2} = 0{,}7071$ Bir necha soniyada aniq natija topildi!

Matematikada, ayniqsa DTM va olimpiada testlarida javoblar doimo soddalashtirilgan shaklda beriladi. Maxrajda ildiz qoldirilmaydi, o'xshash ildizlar yig'iladi va qavslar ochiladi. Ushbu darsda biz ildizli ifodalar ustida bajariladigan barcha asosiy almashtirishlarni to'liq o'zlashtiramiz.

Asosiy g'oya

Ildizli ifodalarni almashtirish uchta asosiy ustunga tayanadi:

1. O'xshash ildizlarni ixchamlash

Ildiz ostidagi ifodalari bir xil bo'lgan hadlar o'xshash ildizlar deyiladi. Masalan, $4\sqrt{3}$ va $5\sqrt{3}$ o'xshash ildizlardir.

Ularni qo'shish yoki ayirishda umumiy ko'paytuvchi ($\sqrt{3}$) qavsdan tashqariga chiqariladi: $4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (4 + 5)\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$

Ko'pincha dastlab ildiz ostidagi sonlar turlicha ko'rinadi: masalan, $\sqrt{12}$ va $\sqrt{75}$. Bunday paytda avval ko'paytuvchini ildiz ostidan chiqarib, ularni bir xil ko'rinishga keltirib olamiz:

• $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
• $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$
• Endi ularni qo'shish mumkin: $2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 7\sqrt{3}$.

2. Qavslarni ochish va qisqa ko'paytirish formulalari

Ildizli ifodalar bilan ishlashda 7-sinfda o'rganilgan barcha algebraik formulalar aynan qo'llaniladi:

1. Taqsimot qonuni: $\sqrt{a}(\sqrt{b} + \sqrt{c}) = \sqrt{ab} + \sqrt{ac}$
2. Kvadratlar ayirmasi formulasi: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b$ Bu formula maxrajdagi ildizlardan qutulishda hal qiluvchi rol o'ynaydi.
3. Yig'indi va ayirma kvadrati: $(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 \pm 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a \pm 2\sqrt{ab} + b$

3. Kasr maxrajini irratsionallikdan qutqarish

Kasrning maxrajidagi ildizli ifodani yo'qotib, maxrajni butun songa aylantirish amali maxrajni irratsionallikdan qutqarish deyiladi.

Bunda ikkita asosiy holat uchraydi:

A holat: Maxrajda bitta ildiz bo'lsa ($\sqrt{b}$) Kasrning surati va maxraji $\sqrt{b}$ ga ko'paytiriladi: $\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b} \cdot \sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$

B holat: Maxrajda ikki hadli ifoda bo'lsa ($\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ yoki $a \pm \sqrt{b}$) Kasrning surati va maxraji maxrajning qo'shmasiga ko'paytiriladi.

• $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ ning qo'shmasi $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ bo'ladi.
• Ularning ko'paytmasi kvadratlar ayirmasiga ko'ra ildizdan xalos bo'ladi: $(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b$

Masalan: $\frac{c}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})} = \frac{c(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a - b}$

Yechilgan misollar

1-misol. O'xshash ildizlarni ixchamlash

Ifodani soddalashtiring: $2\sqrt{18} - \sqrt{50} + 3\sqrt{8}$

Yechish: Har bir ildiz ostidagi sonni to'la kvadrat ajratib, ko'paytuvchini tashqariga chiqaramiz:

• $2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \cdot 2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$
• $3\sqrt{8} = 3\sqrt{4 \cdot 2} = 3 \cdot 2\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Endi o'xshash ildizlarni jamlaymiz: $6\sqrt{2} - 5\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = (6 - 5 + 6)\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$

Javob: $7\sqrt{2}$.

2-misol. Qavslarni ochish

Ifodalarni hisoblang: a) $(\sqrt{12} + \sqrt{3})\cdot\sqrt{3}$; b) $(3\sqrt{2} - \sqrt{5})(3\sqrt{2} + \sqrt{5})$.

Yechish:

• a) Taqsimot qonuni bo'yicha har bir hadni $\sqrt{3}$ ga ko'paytiramiz: $\sqrt{12} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} + 3 = 6 + 3 = 9$
• b) Kvadratlar ayirmasi formulasini qo'llaymiz: $(3\sqrt{2} - \sqrt{5})(3\sqrt{2} + \sqrt{5}) = (3\sqrt{2})^2 - (\sqrt{5})^2$ $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot 2 = 9 \cdot 2 = 18$ va $(\sqrt{5})^2 = 5$. $18 - 5 = 13$

Javob: a) $9$; b) $13$.

3-misol. Qisqa ko'paytirish formulasini qo'llash

Hisoblang: $(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 + \sqrt{84}$

Yechish:

1. Qavsni ayirma kvadrati formulasi bo'yicha ochamiz: $(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 - 2\sqrt{7}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 7 - 2\sqrt{21} + 3 = 10 - 2\sqrt{21}$
2. $\sqrt{84}$ dan ko'paytuvchini chiqaramiz: $\sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}$
3. Ikkala natijani qo'shamiz: $10 - 2\sqrt{21} + 2\sqrt{21} = 10$

Javob: $10$.

4-misol. Maxrajni irratsionallikdan qutqarish

Kasrlarning maxrajini irratsionallikdan qutqaring: a) $\dfrac{14}{\sqrt{7}}$; b) $\dfrac{6}{\sqrt{5} - \sqrt{2}}$.

Yechish:

• a) Maxrajda bitta $\sqrt{7}$ bor. Surat va maxrajni $\sqrt{7}$ ga ko'paytiramiz: $\frac{14}{\sqrt{7}} = \frac{14 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{14\sqrt{7}}{7} = 2\sqrt{7}$
• b) Maxrajning qo'shmasi $(\sqrt{5} + \sqrt{2})$. Surat va maxrajni unga ko'paytiramiz: $\frac{6}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \frac{6(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})} = \frac{6(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2}$ Maxrajni hisoblaymiz: $5 - 2 = 3$. $\frac{6(\sqrt{5} + \sqrt{2})}{3} = 2(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}$

Javob: a) $2\sqrt{7}$; b) $2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}$.

5-misol. Kasrlar ayirmasini soddalashtirish

Ifodaning qiymatini toping: $\frac{1}{4 - \sqrt{15}} - \frac{1}{4 + \sqrt{15}}$

Yechish: 1-usul (umumiy maxrajga keltirish): Umumiy maxraj ularning ko'paytmasi bo'ladi: $(4 - \sqrt{15})(4 + \sqrt{15}) = 4^2 - (\sqrt{15})^2 = 16 - 15 = 1$ Maxraj $1$ ga teng bo'ldi!

Endi suratlarni qo'shamiz: $\frac{1 \cdot (4 + \sqrt{15}) - 1 \cdot (4 - \sqrt{15})}{1} = 4 + \sqrt{15} - 4 + \sqrt{15} = 2\sqrt{15}$

Javob: $2\sqrt{15}$.

Mashq

Masalalarni mustaqil daftarda yeching:

1. Soddalashtiring: $4\sqrt{3} + 2\sqrt{27} - \sqrt{75}$
2. Soddalashtiring: $5\sqrt{2} - \sqrt{32} + \sqrt{98}$
3. Ko'paytirishni bajaring: $\sqrt{2}(\sqrt{18} + \sqrt{8})$
4. Hisoblang: $(\sqrt{11} - \sqrt{5})(\sqrt{11} + \sqrt{5})$
5. Hisoblang: $(2\sqrt{3} - 1)(2\sqrt{3} + 1)$
6. Hisoblang: $(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 - 2\sqrt{15}$
7. Kasr maxrajini irratsionallikdan qutqaring: $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$
8. Kasr maxrajini irratsionallikdan qutqaring: $\dfrac{8}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$
9. Kasr maxrajini irratsionallikdan qutqaring: $\dfrac{2}{3 - \sqrt{7}}$
10. Hisoblang: $\dfrac{1}{\sqrt{3} + 1} + \dfrac{1}{\sqrt{3} - 1}$

Javoblar va yechim yo'llari

1. $2\sqrt{27} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$, $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$. Ifoda: $4\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 5\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$. Javob: $5\sqrt{3}$.
2. $\sqrt{32} = 4\sqrt{2}$, $\sqrt{98} = 7\sqrt{2}$. Ifoda: $5\sqrt{2} - 4\sqrt{2} + 7\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. Javob: $8\sqrt{2}$.
3. $\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{36} + \sqrt{16} = 6 + 4 = 10$. Javob: $10$.
4. $(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{5})^2 = 11 - 5 = 6$. Javob: $6$.
5. $(2\sqrt{3})^2 - 1^2 = 4 \cdot 3 - 1 = 12 - 1 = 11$. Javob: $11$.
6. $(\sqrt{5})^2 + 2\sqrt{15} + (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{15} = 5 + 3 = 8$. Javob: $8$.
7. Surat va maxrajni $\sqrt{5}$ ga ko'paytiramiz: $\dfrac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}$. Javob: $2\sqrt{5}$.
8. Qo'shmasiga ko'paytiramiz: $\dfrac{8(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{7 - 3} = \dfrac{8(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4} = 2(\sqrt{7} + \sqrt{3})$. Javob: $2(\sqrt{7} + \sqrt{3})$ (yoki $2\sqrt{7} + 2\sqrt{3}$).
9. Qo'shmasiga ko'paytiramiz: $\dfrac{2(3 + \sqrt{7})}{3^2 - 7} = \dfrac{2(3 + \sqrt{7})}{9 - 7} = \dfrac{2(3 + \sqrt{7})}{2} = 3 + \sqrt{7}$. Javob: $3 + \sqrt{7}$.
10. Umumiy maxraj $(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = 3 - 1 = 2$. Surat: $(\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1) = 2\sqrt{3}$. Natija: $\dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. Javob: $\sqrt{3}$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Har xil ildizlarni qo'shib yuborish.

• ✗ Noto'g'ri: $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
• ✓ To'g'ri: Faqat bir xil ildiz osti ifodalari qo'shiladi: $2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$. Har xil ildizlar esa o'zgarishsiz qoldiriladi: $\sqrt{2} + \sqrt{3}$.

2. Qo'shmaga ko'paytirganda faqat maxrajni ko'paytirish.

• ✗ Noto'g'ri: $\dfrac{3}{\sqrt{5} - 1} = \dfrac{3}{5 - 1} = \dfrac{3}{4}$
• ✓ To'g'ri: Kasrning qiymati o'zgarmasligi uchun surat ham qo'shmaga ko'paytiriladi: $\dfrac{3(\sqrt{5}+1)}{5 - 1} = \dfrac{3(\sqrt{5}+1)}{4}$.

3. Ikkilangan ko'paytmani tushirib qoldirish.

• ✗ Noto'g'ri: $(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{2})^2 = 5 + 2 = 7$
• ✓ To'g'ri: O'rtada $2ab$ hadi bor: $(\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 = 5 + 2\sqrt{10} + 2 = 7 + 2\sqrt{10}$.

4. Kasrlar ayirmasida qavslarni unutish.

• ✗ Noto'g'ri: $-(4 - \sqrt{7}) = -4 - \sqrt{7}$
• ✓ To'g'ri: Qavs oldidagi minus barcha ishoralarni o'zgartiradi: $-(4 - \sqrt{7}) = -4 + \sqrt{7}$.

DTM uslubidagi test

Ushbu bo'limdagi test savollarini mustaqil yechib ko'ring.

Keyingi qadam

Kvadrat ildiz va uning ustidagi barcha amallarni muvaffaqiyatli o'rganib chiqdik. Endi biz 8-sinf algebrasining eng muhim mavzularidan biri bo'lgan kvadrat tenglamalar mavzusiga to'liq tayyormiz!