Irratsional sonlar

Bu nima va nega kerak

Qadimgi Yunonistonda Pifagor va uning shogirdlari olamdagi barcha narsalarni butun sonlar va ularning nisbatlari (oddiy kasrlar) orqali ifodalash mumkin deb ishonishgan.

Biroq ular oddiy bir geometrik masalaga duch kelishdi: tomoni $1$ metr bo'lgan kvadratning diagonali qancha?

Pifagor teoremasiga ko'ra: $d^2 = 1^2 + 1^2 = 2 \implies d = \sqrt{2}$

Ular $\sqrt{2}$ sonini $\dfrac{m}{n}$ ko'rinishidagi qisqarmas kasr shaklida yozishga urinishdi, ammo buning imkoni yo'qligi isbotlandi. Olamda oddiy kasr bilan ifodalab bo'lmaydigan yangi sonlar mavjud edi!

Bunday sonlar irratsional sonlar (lotincha irrationalis — "nisbatsiz") deb ataldi. Ular fizika, muhandislik va oliy matematikaning ajralmas qismidir.

Asosiy g'oya

Sonlar to'plamlari

1. Natural sonlar ($\mathbb{N}$): Sanash sonlari: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$.
2. Butun sonlar ($\mathbb{Z}$): $\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$.
3. Ratsional sonlar ($\mathbb{Q}$): $\dfrac{m}{n}$ ko'rinishidagi sonlar ($m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}$). Ular chekli yoki cheksiz davriy o'nli kasrdir:
   • $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ (chekli)
   • $\dfrac{1}{3} = 0{,}(3)$ (cheksiz davriy)

Irratsional son ta'rifi

Ta'rif. $\dfrac{m}{n}$ ko'rinishida tasvirlab bo'lmaydigan, ya'ni cheksiz nodavriy o'nli kasr shaklidagi sonlar irratsional sonlar deyiladi.

Irratsional sonlar to'plami ko'pincha $\mathbb{I}$ belgisi bilan ifodalanadi.

Eng mashhur irratsional sonlar:

• To'la kvadrat bo'lmagan natural sonlarning kvadrat ildizlari: $\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\dots$ $\sqrt{3} \approx 1{,}73205080\dots$ $\sqrt{5} \approx 2{,}23606797\dots$
• Aylana uzunligining uning diametriga nisbati bo'lgan $\pi$ (pi) soni: $\pi \approx 3{,}14159265\dots$ (Ko'pincha masalalarda ishlatiladigan $3{,}14$ yoki $\dfrac{22}{7}$ sonlari $\pi$ ning faqat taqribiy qiymatlaridir!)

Haqiqiy sonlar to'plami ($\mathbb{R}$)

Ta'rif. Ratsional sonlar to'plami bilan irratsional sonlar to'plamining birlashmasi haqiqiy sonlar to'plami deb ataladi va $\mathbb{R}$ harfi bilan belgilanadi: $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$

Son o'qidagi har bir nuqtaga aniq bitta haqiqiy son mos keladi va aksincha.

$\sqrt{2}$ ning irratsional ekanligini isbotlash

Bu matematika tarixidagi eng go'zal isbotlardan biridir (teskarisidan faraz qilish usuli):

1. Faraz qilaylik, $\sqrt{2}$ ratsional son bo'lsin. U holda uni qisqarmas oddiy kasr shaklida yozish mumkin: $\sqrt{2} = \frac{m}{n} \quad (m \text{ va } n \text{ umumiy bo'luvchiga ega emas})$
2. Ikkala tomonni kvadratga ko'taramiz: $2 = \frac{m^2}{n^2} \implies m^2 = 2n^2$
3. $m^2$ juft son ekani kelib chiqadi. Juft sonning kvadrati juft bo'lgani sababli, $m$ ning o'zi ham juft son bo'lishi shart, ya'ni $m = 2k$.
4. Buni tenglikka qo'yamiz: $(2k)^2 = 2n^2 \implies 4k^2 = 2n^2 \implies n^2 = 2k^2$
5. Bundan $n^2$ ham, demak $n$ ham juft son ekani kelib chiqadi.
6. Ziddiyat! Biz $m$ va $n$ qisqarmas, ya'ni umumiy bo'luvchiga ega emas deb olgan edik. Lekin ularning ikkalasi ham $2$ ga bo'linadigan juft son bo'lib chiqdi.

Demak, bizning dastlabki farazimiz noto'g'ri. $\sqrt{2}$ ratsional son emas, u irratsional sondir.

Yechilgan misollar

1-misol. Sonlarni tasniflash

Quyidagi sonlarni ratsional va irratsional guruhlarga ajrating: $-\frac{4}{9}; \quad \sqrt{49}; \quad \sqrt{15}; \quad 0{,}(7); \quad \pi; \quad \sqrt{0{,}04}; \quad \sqrt{0{,}4}$

Yechish:

• $-\dfrac{4}{9}$ — oddiy kasr, ratsional son.
• $\sqrt{49} = 7$ — butun son, ratsional son.
• $\sqrt{15}$ — $15$ soni to'la kvadrat emas, ildizdan butun chiqmaydi, irratsional son.
• $0{,}(7) = \dfrac{7}{9}$ — cheksiz davriy o'nli kasr, ratsional son.
• $\pi$ — cheksiz nodavriy o'nli kasr, irratsional son.
• $\sqrt{0{,}04} = 0{,}2$ — chekli o'nli kasr, ratsional son.
• $\sqrt{0{,}4} = \sqrt{\dfrac{4}{10}} = \dfrac{2}{\sqrt{10}}$ — maxrajda $\sqrt{10}$ qoladi, irratsional son.

Javob:

• Ratsional sonlar: $-\dfrac{4}{9}, \sqrt{49}, 0{,}(7), \sqrt{0{,}04}$.
• Irratsional sonlar: $\sqrt{15}, \pi, \sqrt{0{,}4}$.

2-misol. Irratsional sonni baholash

$\sqrt{53}$ soni qaysi ikkita ketma-ket butun son orasida joylashgan?

Yechish: $53$ sonidan oldin va keyin keladigan to'la kvadratlarni topamiz: $49 < 53 < 64$

Hamma qismlardan arifmetik kvadrat ildiz chiqaramiz: $\sqrt{49} < \sqrt{53} < \sqrt{64}$ $7 < \sqrt{53} < 8$

Demak, $\sqrt{53}$ soni $7$ va $8$ sonlari orasida joylashgan (taxminan $7{,}28$).

Javob: $7$ va $8$ orasida.

3-misol. Sonlarni taqqoslash

Sonlarni o'sish tartibida joylashtiring: $4; \quad \sqrt{17}; \quad 3\sqrt{2}$

Yechish: Sonlarni taqqoslash uchun ularning barchasini ildiz ko'rinishida yozib olamiz:

• $4 = \sqrt{16}$
• $\sqrt{17}$
• $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$

Ildiz ostidagi sonlarni taqqoslaymiz: $16 < 17 < 18 \implies \sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{18}$ Demak: $4 < \sqrt{17} < 3\sqrt{2}$

Javob: $4; \sqrt{17}; 3\sqrt{2}$.

4-misol. Sonning butun va kasr qismi

$\sqrt{20}$ sonining butun qismi $[x]$ va kasr qismi $\{x\}$ ni toping.

Yechish:

1. Avval sonni butun sonlar orasida baholaymiz: $16 < 20 < 25 \implies 4 < \sqrt{20} < 5$ Demak, uning butun qismi: $[\sqrt{20}] = 4$.
2. Ta'rifga ko'ra, har qanday sonning kasr qismi: $\{x\} = x - [x]$. Demak, uning kasr qismi: $\{\sqrt{20}\} = \sqrt{20} - 4 = 2\sqrt{5} - 4$

Javob: butun qismi $4$, kasr qismi $2\sqrt{5} - 4$.

5-misol. Irratsional sonlar ustida amallar

Quyidagi amallar natijasida ratsional son hosil bo'ladimi yoki irratsional: a) $3 + \sqrt{7}$ va $5 - \sqrt{7}$ sonlarining yig'indisi; b) $(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})$; d) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}$.

Yechish:

• a) Yig'indini hisoblaymiz: $(3 + \sqrt{7}) + (5 - \sqrt{7}) = 3 + 5 + (\sqrt{7} - \sqrt{7}) = 8$ Natija $8$ — butun son, ya'ni ratsional.
• b) Qisqa ko'paytirish formulasini qo'llaymiz ($a^2 - b^2$): $(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 3^2 - (\sqrt{2})^2 = 9 - 2 = 7$ Natija $7$ — ratsional son.
• d) Ko'paytiramiz: $\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{15}$ $15$ to'la kvadrat emas, natija irratsional son.

Javob: a) ratsional; b) ratsional; d) irratsional.

Mashq

Masalalarni mustaqil ishlang:

1. Quyidagi sonlardan qaysilari irratsional: $\sqrt{36}, \sqrt{37}, \sqrt{0{,}81}, \sqrt{0{,}8}, \dfrac{\pi}{2}$?
2. $\sqrt{80}$ soni qaysi ikkita ketma-ket butun son orasida joylashgan?
3. $\sqrt{110}$ soni qaysi ikkita ketma-ket butun son orasida joylashgan?
4. Sonlarni taqqoslang: $5$ va $\sqrt{26}$.
5. Sonlarni taqqoslang: $4\sqrt{3}$ va $5\sqrt{2}$.
6. $[\sqrt{60}]$ ifodaning qiymatini toping.
7. $[\sqrt{95}]$ ifodaning qiymatini toping.
8. $\sqrt{10}$ sonining kasr qismini yozing.
9. Hisoblang: $(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)$. Natija qanday son?
10. $x = 2 + \sqrt{3}$ va $y = 2 - \sqrt{3}$ bo'lsa, $x \cdot y$ ko'paytmani toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $\sqrt{36} = 6$ (ratsional); $\sqrt{37}$ (irratsional); $\sqrt{0{,}81} = 0{,}9$ (ratsional); $\sqrt{0{,}8} = \dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{10}}$ (irratsional); $\dfrac{\pi}{2}$ (irratsional). Javob: $\sqrt{37}, \sqrt{0{,}8}, \dfrac{\pi}{2}$.
2. $64 < 80 < 81 \implies 8 < \sqrt{80} < 9$. Javob: $8$ va $9$ orasida.
3. $100 < 110 < 121 \implies 10 < \sqrt{110} < 11$. Javob: $10$ va $11$ orasida.
4. $5 = \sqrt{25}$. $\sqrt{25} < \sqrt{26}$ bo'lgani uchun $5 < \sqrt{26}$. Javob: $5 < \sqrt{26}$.
5. $4\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$, $5\sqrt{2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$. $48 < 50$ bo'lgani uchun $4\sqrt{3} < 5\sqrt{2}$. Javob: $4\sqrt{3} < 5\sqrt{2}$.
6. $49 < 60 < 64 \implies 7 < \sqrt{60} < 8$. Demak butun qismi $7$. Javob: $7$.
7. $81 < 95 < 100 \implies 9 < \sqrt{95} < 10$. Demak butun qismi $9$. Javob: $9$.
8. $9 < 10 < 16 \implies 3 < \sqrt{10} < 4$. Butun qismi $3$. Kasr qismi $\{x\} = x - [x] = \sqrt{10} - 3$. Javob: $\sqrt{10} - 3$.
9. Kvadratlar ayirmasi formulasi: $(\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4$. Natija ratsional son. Javob: $4$, ratsional son.
10. $x \cdot y = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$. Javob: $1$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Davriy o'nli kasrni irratsional deb hisoblash.

• ✗ Noto'g'ri: $0{,}(6) = 0{,}666\dots$ cheksiz bo'lgani uchun irratsional son.
• ✓ To'g'ri: Davriy o'nli kasrlar har doim oddiy kasrga aylanadi: $0{,}(6) = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$. Demak, u ratsional son. Faqat nodavriy cheksiz kasrlar irratsionaldir.

2. Ildiz belgisi bo'lgan barcha sonlarni irratsional deb o'ylash.

• ✗ Noto'g'ri: $\sqrt{64}$ ildiz belgisi ostida bo'lgani uchun irratsional.
• ✓ To'g'ri: $\sqrt{64} = 8$ butun son, demak u ratsional son.

3. $\pi$ sonini ratsional deb o'ylash.

• ✗ Noto'g'ri: $\pi = \dfrac{22}{7}$, shuning uchun $\pi$ ratsional son.
• ✓ To'g'ri: $\dfrac{22}{7} \approx 3{,}142857\dots$ faqat taqribiy qiymat. $\pi$ sonining o'zi cheksiz nodavriy kasr bo'lib, qat'iy ravishda irratsional sondir.

4. Ikkita irratsional sonning ko'paytmasi doim irratsional deb o'ylash.

• ✗ Noto'g'ri: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$ irratsional son.
• ✓ To'g'ri: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$ — ratsional son.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollarida bilimingizni sinab ko'ring.

Keyingi qadam

Biz irratsional sonlar va ildizli ifodalar bilan tanishdik. Navbatdagi darsda ildizli ifodalarni almashtirish — o'xshash ildizlarni qo'shish, ayirish, qavslarni ochish va eng muhimi, kasr maxrajini irratsionallikdan qutqarish usullarini o'rganamiz.