To'liqsiz kvadrat tenglama

Bu nima va nega kerak

7-sinfda chiziqli tenglamalarni ($3x + 6 = 0$) o'rgandik. Ammo maydon, tezlanish yoki erkin tushish masalalarida noma'lum ikkinchi darajada qatnashadi:

Tomoni $x$ bo'lgan kvadrat maydonning yuzi $64\text{ m}^2$ ga teng. Maydon tomonini toping.

Matematik tilda: $x^2 = 64$ yoki $x^2 - 64 = 0$. Bu yerda $x$ ikkinchi darajada turibdi. Bunday tenglamalar kvadrat tenglamalar deyiladi.

Kvadrat tenglamalar orasida umumiy formulalarsiz, ko'paytuvchilarga ajratish yoki arifmetik ildiz chiqarish bilan yechiladigan turi bor — bular to'liqsiz kvadrat tenglamalardir.

Asosiy g'oya

Ta'rif. $ax^2 + bx + c = 0$ ko'rinishidagi tenglama kvadrat tenglama deyiladi. Bu yerda:

• $x$ — noma'lum;
• $a, b, c$ — berilgan sonlar (koeffitsiyentlar);
• $a \neq 0$ bo'lishi shart ($a = 0$ bo'lsa, $bx + c = 0$ chiziqli tenglama qoladi);
• $a$ — bosh koeffitsiyent, $b$ — ikkinchi koeffitsiyent, $c$ — ozod had.

Agar $b = 0$ yoki $c = 0$ bo'lsa, tenglama to'liqsiz kvadrat tenglama deyiladi.

To'liqsiz kvadrat tenglamalarning 3 ta asosiy turi bor:

Turi	Shart	Ko'rinishi	Yechish usuli	Ildizlari
1-tur	$b = 0,\; c = 0$	$ax^2 = 0$	$a$ ga bo'lish	$x = 0$ (yagona)
2-tur	$b = 0,\; c \neq 0$	$ax^2 + c = 0$	$x^2 = -\dfrac{c}{a}$	$-\dfrac{c}{a} > 0$ da: $x = \pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}$ $-\dfrac{c}{a} < 0$ da: ildiz yo'q
3-tur	$b \neq 0,\; c = 0$	$ax^2 + bx = 0$	$x(ax + b) = 0$	Har doim 2 ta: $x_1 = 0,\; x_2 = -\dfrac{b}{a}$

1-tur: $ax^2 = 0$

$a \neq 0$ bo'lgani uchun $x^2 = 0$, bundan $x = 0$.

2-tur: $ax^2 + c = 0$ ($b = 0$)

Ozod hadni o'ngga o'tkazamiz: $ax^2 = -c \implies x^2 = -\dfrac{c}{a}$.

• Agar $-\dfrac{c}{a} > 0$ bo'lsa, ikkita ildiz: $x = \pm\sqrt{-\dfrac{c}{a}}$.
• Agar $-\dfrac{c}{a} < 0$ bo'lsa, sonning kvadrati manfiy bo'lolmaydi, shuning uchun haqiqiy ildiz yo'q.

3-tur: $ax^2 + bx = 0$ ($c = 0$)

Umumiy ko'paytuvchi $x$ ni qavsdan chiqaramiz: $x(ax + b) = 0 \implies x_1 = 0 \quad \text{yoki} \quad ax + b = 0 \implies x_2 = -\frac{b}{a}.$ Bunday tenglamada har doim ildizlardan biri nolga teng bo'ladi.

Yechilgan misollar

1-misol. $b = 0, c = 0$ holati

$5x^2 = 0.$

• Tenglamaning ikkala tomonini $5$ ga bo'lamiz: $x^2 = 0.$
• Kvadrati 0 ga teng son faqat 0: $x = 0.$

Javob: $x = 0$.

2-misol. $b = 0, c \neq 0$ holati (ildizlar mavjud)

$3x^2 - 48 = 0.$

• Ozod had $-48$ ni o'ng tomonga ishorasini o'zgartirib o'tkazamiz: $3x^2 = 48.$
• Ikkala tomonni $3$ ga bo'lamiz: $x^2 = 16.$
• Qaysi sonlarning kvadrati $16$ ga teng? Bu $4$ va $-4$: $x = \pm\sqrt{16} \implies x_1 = 4, \quad x_2 = -4.$

Tekshirish:

• $x = 4$ bo'lganda: $3\cdot 4^2 - 48 = 3\cdot 16 - 48 = 48 - 48 = 0$ ✓.
• $x = -4$ bo'lganda: $3\cdot (-4)^2 - 48 = 3\cdot 16 - 48 = 0$ ✓.

Javob: $x_1 = 4,\; x_2 = -4$.

3-misol. $b = 0, c \neq 0$ holati (haqiqiy ildiz yo'q)

$2x^2 + 50 = 0.$

• Ozod hadni o'ng tomonga o'tkazamiz: $2x^2 = -50.$
• Ikkala tomonni $2$ ga bo'lamiz: $x^2 = -25.$
• Hech qanday haqiqiy sonning kvadrati manfiy songa ($-25$ ga) teng bo'la olmaydi.

Javob: Haqiqiy ildizga ega emas (ildizi yo'q).

4-misol. $c = 0, b \neq 0$ holati

$4x^2 - 20x = 0.$

• Chap tomondan $4x$ ni umumiy ko'paytuvchi sifatida qavsdan chiqaramiz: $4x(x - 5) = 0.$
• Ko'paytuvchilarni nolga tenglashtiramiz: $4x = 0 \implies x_1 = 0,$ $x - 5 = 0 \implies x_2 = 5.$

Tekshirish:

• $x = 0$: $4\cdot 0^2 - 20\cdot 0 = 0$ ✓.
• $x = 5$: $4\cdot 5^2 - 20\cdot 5 = 4\cdot 25 - 100 = 0$ ✓.

Javob: $x_1 = 0,\; x_2 = 5$.

5-misol. Standart ko'rinishga keltirib yechish

$(x - 3)(x + 3) + 2x = 2x + 7.$

• Chap tomondagi $(x - 3)(x + 3)$ ifodaga kvadratlar ayirmasi formulasini qo'llaymiz: $x^2 - 9 + 2x = 2x + 7.$
• Barcha hadlarni chap tomonga o'tkazib, o'xshash hadlarni ixchamlaymiz: $x^2 - 9 + 2x - 2x - 7 = 0,$ $x^2 - 16 = 0.$
• Bu 2-tur to'liqsiz kvadrat tenglama: $x^2 = 16 \implies x = \pm 4.$

Javob: $x_1 = -4,\; x_2 = 4$.

Mashq

Quyidagi tenglamalarni yeching:

1. $x^2 - 49 = 0$
2. $7x^2 = 0$
3. $2x^2 - 18x = 0$
4. $3x^2 + 27 = 0$
5. $5x^2 - 20 = 0$
6. $6x^2 + 12x = 0$
7. $(x - 4)(x + 4) = 9$
8. $4x^2 - 7x = x^2 + 2x$
9. $\dfrac{x^2 - 1}{4} = 6$
10. $(2x - 1)^2 = -4x + 17$

Javoblar va yechim yo'llari

1. $x^2 = 49 \implies x = \pm 7$. Javob: $x_1 = -7,\; x_2 = 7$.
2. $x^2 = 0 \implies x = 0$. Javob: $x = 0$.
3. $2x(x - 9) = 0 \implies x_1 = 0,\; x_2 = 9$. Javob: $x_1 = 0,\; x_2 = 9$.
4. $3x^2 = -27 \implies x^2 = -9$. Haqiqiy sonning kvadrati manfiy bo'la olmaydi. Javob: Ildizga ega emas.
5. $5x^2 = 20 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. Javob: $x_1 = -2,\; x_2 = 2$.
6. $6x(x + 2) = 0 \implies x_1 = 0,\; x_2 = -2$. Javob: $x_1 = 0,\; x_2 = -2$.
7. $x^2 - 16 = 9 \implies x^2 = 25 \implies x = \pm 5$. Javob: $x_1 = -5,\; x_2 = 5$.
8. Hadlarni chapga o'tkazamiz: $4x^2 - x^2 - 7x - 2x = 0 \implies 3x^2 - 9x = 0 \implies 3x(x - 3) = 0$. Javob: $x_1 = 0,\; x_2 = 3$.
9. Ikkala tomonni $4$ ga ko'paytiramiz: $x^2 - 1 = 24 \implies x^2 = 25 \implies x = \pm 5$. Javob: $x_1 = -5,\; x_2 = 5$.
10. Qavsni ochamiz: $4x^2 - 4x + 1 = -4x + 17$. Hadlarni o'tkazsak: $4x^2 = 16 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. Javob: $x_1 = -2,\; x_2 = 2$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Noma'lum $x$ ga bo'lib yuborish va nol ildizni yo'qotish. ✗ $3x^2 - 6x = 0 \implies 3x = 6 \implies x = 2$ (bitta ildiz yo'qotildi!) ✓ Har doim umumiy ko'paytuvchini qavsdan chiqaring: $3x(x - 2) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = 2$.

2. Kvadrat ildiz chiqarayotganda manfiy ildizni unutish. ✗ $x^2 = 25 \implies x = 5$ ✓ Kvadrati $25$ ga teng son ikkita: $x = \pm 5$ (ya'ni $x_1 = 5, x_2 = -5$).

3. Manfiy songa teng bo'lganda ildiz chiqarishga urinish. ✗ $x^2 = -16 \implies x = \pm 4$ ✓ Haqiqiy sonlar sohasida manfiy sondan kvadrat ildiz chiqmaydi: haqiqiy ildiz yo'q.

4. Kvadrat tenglamada bosh koeffitsiyentni nolga teng deb olish. ✗ $0\cdot x^2 + 4x - 8 = 0$ — kvadrat tenglama deb hisoblash. ✓ Kvadrat tenglamada $a \neq 0$ bo'lishi shart. Agar $a = 0$ bo'lsa, u $4x - 8 = 0$ chiziqli tenglamadir.

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzu bo'yicha tayyorlangan 5 ta test savoli platformada interaktiv tarzda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang va batafsil yechimni tekshiring.

Keyingi qadam

To'liqsiz kvadrat tenglamalarni yechishni o'rgandik. Ammo barcha koeffitsiyentlari noldan farqli bo'lgan to'liq kvadrat tenglamalarni ($ax^2 + bx + c = 0$) qanday yechamiz? Keyingi darsda bu muammoni hal qiluvchi universal qurol — Diskriminant va kvadrat tenglama ildizlari formulasi bilan tanishamiz.