Diskriminant va ildizlar formulasi

Bu nima va nega kerak

Oldingi darsda to'liqsiz kvadrat tenglamalarni osonlik bilan yechishni o'rgandik. Ammo barcha hadlari mavjud bo'lgan to'liq kvadrat tenglama berilsa-chi? Masalan:

$x^2 - 4x + 1 = 0.$

Bu ifodani og'zaki yoki oddiy guruhlash bilan darhol ko'paytuvchilarga ajratish oson emas. Har qanday kvadrat tenglamani bir xil, aniq va ishonchli usul bilan yecha oladigan universal vosita bormi?

Ha, bunday vosita bor! Bu — diskriminant va kvadrat tenglama ildizlari formulasidir. U har qanday kvadrat tenglamaning ildizlarini qadamma-qadam topish yoki umuman ildizi yo'qligini darhol aniqlash imkonini beradi.

Asosiy g'oya

Umumiy ko'rinishdagi kvadrat tenglamani qaraymiz: $ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0).$

Ikkala tomonni $a$ ga bo'lib, to'la kvadrat ajratsak: $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}.$

O'ng tomonning maxraji $4a^2 > 0$ doim musbat. Suratdagi $b^2 - 4ac$ ifodaning ishorasi esa tenglama nechta ildizga ega bo'lishini hal qiladi.

Diskriminant tushunchasi

Ta'rif. $D = b^2 - 4ac$ ifodasi kvadrat tenglamaning diskriminanti deyiladi.

Diskriminantga ko'ra uchta holat bo'ladi:

Diskriminant	Ildizlar soni	Formulalar
$D > 0$	2 ta turli haqiqiy ildiz	$x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$D = 0$	1 ta (karrali) ildiz	$x = -\dfrac{b}{2a}$
$D < 0$	Haqiqiy ildiz yo'q	—

Juft ikkinchi koeffitsiyent formulasi

Agar $b$ juft son bo'lsa ($b = 2k$): $D_1 = k^2 - ac \quad \left(D_1 = \frac{D}{4}\right), \qquad x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}.$

Yechilgan misollar

1-misol. $D > 0$ holati

$x^2 - 7x + 12 = 0.$

• Koeffitsiyentlarni aniqlaymiz: $a = 1$, $b = -7$, $c = 12$.
• Diskriminantni hisoblaymiz: $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4\cdot 1\cdot 12 = 49 - 48 = 1.$
• $D > 0$, demak 2 ta turli ildiz bor: $x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{2\cdot 1} = \frac{7 \pm 1}{2}.$ $x_1 = \frac{7 - 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{7 + 1}{2} = 4.$

Tekshirish:

• $x = 3$: $3^2 - 7\cdot 3 + 12 = 9 - 21 + 12 = 0$ ✓.
• $x = 4$: $4^2 - 7\cdot 4 + 12 = 16 - 28 + 12 = 0$ ✓.

Javob: $x_1 = 3,\; x_2 = 4$.

2-misol. Bosh koeffitsiyent $a \neq 1$ va $c$ manfiy

$2x^2 + 5x - 3 = 0.$

• Koeffitsiyentlar: $a = 2$, $b = 5$, $c = -3$.
• Diskriminant: $D = 5^2 - 4\cdot 2\cdot (-3) = 25 - (-24) = 25 + 24 = 49.$
• $\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
• Ildizlar: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{2\cdot 2} = \frac{-5 \pm 7}{4}.$ $x_1 = \frac{-5 - 7}{4} = \frac{-12}{4} = -3,$ $x_2 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0{,}5.$

Javob: $x_1 = -3,\; x_2 = 0{,}5$.

3-misol. $D = 0$ holati

$4x^2 - 12x + 9 = 0.$

• $a = 4$, $b = -12$ ($k = -6$), $c = 9$.
• $D_1 = (-6)^2 - 4\cdot 9 = 36 - 36 = 0$.
• $D_1 = 0$ bo'lgani uchun bitta ildiz bor: $x = \frac{-k}{a} = \frac{6}{4} = 1{,}5.$

Javob: $x = 1{,}5$.

4-misol. $D < 0$ holati

$3x^2 - 2x + 5 = 0.$

• $a = 3$, $b = -2$, $c = 5$.
• $D = (-2)^2 - 4\cdot 3\cdot 5 = 4 - 60 = -56 < 0$.

Javob: Haqiqiy ildizga ega emas.

5-misol. Standart ko'rinishga keltirish

$(x + 2)^2 = 2x + 7.$

• Qavsni ochamiz: $x^2 + 4x + 4 = 2x + 7 \implies x^2 + 2x - 3 = 0$.
• $a = 1$, $k = 1$, $c = -3 \implies D_1 = 1^2 - 1\cdot (-3) = 4$.
• $x_{1,2} = -1 \pm 2 \implies x_1 = -3, \quad x_2 = 1$.

Javob: $x_1 = -3,\; x_2 = 1$.

Mashq

Quyidagi kvadrat tenglamalarni diskriminant formulasi yordamida yeching:

1. $x^2 - 5x + 6 = 0$
2. $x^2 + 2x - 8 = 0$
3. $2x^2 - 7x + 3 = 0$
4. $3x^2 + 8x - 3 = 0$
5. $x^2 - 6x + 9 = 0$
6. $2x^2 - 3x + 5 = 0$
7. $x^2 - 4x + 1 = 0$
8. $5x^2 - 8x + 3 = 0$
9. $(x - 2)(x + 4) = 7$
10. $m$ ning qanday qiymatlarida $x^2 - 6x + m = 0$ tenglama ikkita turli haqiqiy ildizga ega bo'ladi?

Javoblar va yechim yo'llari

1. $D = (-5)^2 - 4\cdot 1\cdot 6 = 25 - 24 = 1$. $x = \dfrac{5 \pm 1}{2}$. Javob: $x_1 = 2,\; x_2 = 3$.
2. $D = 2^2 - 4\cdot 1\cdot (-8) = 4 + 32 = 36$. $x = \dfrac{-2 \pm 6}{2}$. Javob: $x_1 = -4,\; x_2 = 2$.
3. $D = (-7)^2 - 4\cdot 2\cdot 3 = 49 - 24 = 25$. $x = \dfrac{7 \pm 5}{4}$. Javob: $x_1 = 0{,}5,\; x_2 = 3$.
4. $D = 8^2 - 4\cdot 3\cdot (-3) = 64 + 36 = 100$. $x = \dfrac{-8 \pm 10}{6}$. Javob: $x_1 = -3,\; x_2 = \dfrac{1}{3}$.
5. $D = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9 = 36 - 36 = 0$. $x = \dfrac{6}{2} = 3$. Javob: $x = 3$.
6. $D = (-3)^2 - 4\cdot 2\cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0$. Javob: Haqiqiy ildizi yo'q.
7. $D_1 = (-2)^2 - 1\cdot 1 = 3$. $x = 2 \pm \sqrt{3}$. Javob: $x_1 = 2 - \sqrt{3},\; x_2 = 2 + \sqrt{3}$.
8. $k = -4$, $D_1 = (-4)^2 - 5\cdot 3 = 16 - 15 = 1$. $x = \dfrac{4 \pm 1}{5}$. Javob: $x_1 = 0{,}6,\; x_2 = 1$.
9. $x^2 + 2x - 8 = 7 \implies x^2 + 2x - 15 = 0$. $D_1 = 1 - (-15) = 16$. $x = -1 \pm 4$. Javob: $x_1 = -5,\; x_2 = 3$.
10. Ikkita turli ildiz bo'lishi uchun $D > 0$ bo'lishi shart: $D = 36 - 4m > 0 \implies 4m < 36 \implies m < 9$. Javob: $m < 9$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Manfiy sonning kvadratini manfiy qilib hisoblash. ✗ $b = -5$ bo'lganda, $b^2 = -5^2 = -25$ ✓ Har qanday manfiy sonning kvadrati musbat bo'ladi: $(-5)^2 = 25$.

2. Koeffitsiyent manfiy bo'lganda $-4ac$ dagi ishorani adashtirish. ✗ $2x^2 + 3x - 5 = 0 \implies D = 9 - 4\cdot 2\cdot 5 = 9 - 40 = -31$ ✓ $c = -5$ bo'lgani uchun: $D = 9 - 4\cdot 2\cdot (-5) = 9 + 40 = 49$.

3. Maxrajdagi $2a$ ni shunchaki $2$ deb yozish. ✗ $2x^2 + 5x - 3 = 0$ da $x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}$ (maxrajda faqat 2 yozildi) ✓ Maxrajda $2a = 2\cdot 2 = 4$ bo'ladi: $x = \dfrac{-5 \pm 7}{4}$.

4. O'ng tomon nolga teng bo'lmasdan formulani qo'llash. ✗ $x^2 - 3x = 4$ tenglamada $a = 1, b = -3, c = 4$ deb olish ✓ Avval barcha hadlarni chapga o'tkazish kerak: $x^2 - 3x - 4 = 0$, demak $c = -4$.

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzu bo'yicha tayyorlangan 5 ta test savoli platformada interaktiv tarzda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang va to'liq yechimni ko'ring.

Keyingi qadam

Kvadrat tenglamani diskriminant orqali yechishni o'zlashtirdik. Ammo ildizlarni har safar diskriminant hisoblamasdan, og'zaki 3 soniyada topish yoki ularning yig'indisi va ko'paytmasini koeffitsiyentlarning o'zidan bilib olish mumkinmi? Keyingi darsda matematikadagi eng mashhur qoidalardan biri — Viyet teoremasini o'rganamiz.