Kvadrat tenglama yordamida masalalar yechish

Bu nima va nega kerak

Matematikaning eng katta kuchi — kundalik hayotdagi va texnikadagi muammolarni aniq formulalarga aylantirishdir.

Maydon yuzasi, oqim bo'ylab suzayotgan qayiq tezligi yoki birgalikdagi ish unumdorligi amalda ko'pincha kvadrat tenglamaga keladi.

Chiziqli tenglamalardan farqli ravishda, kvadrat tenglamalar odatda ikkita ildiz beradi. Shuning uchun bu yerda eng muhim qadam — topilgan ildizlarning real ma'noga mos kelishini (uzunlik, tezlik yoki vaqt manfiy bo'lolmasligini) tekshirish va chet ildizlarni ajrata bilishdir.

Asosiy g'oya

Matnli masalalarni yechish tartibi:

1. Noma'lumni tanlash: Noma'lum kattalikni $x$ deb belgilaymiz ($x > 0$).
2. Ifodalarni bog'lash: Boshqa kattaliklarni $x$ orqali yozamiz.
3. Tenglama tuzish: Berilgan shart (yuza, ko'paytma, vaqtlar farqi) asosida kvadrat tenglama tuzamiz.
4. Tenglamani yechish: Diskriminant yoki Viyet teoremasi bilan ildizlarni topamiz.
5. Tahlil va javob: Masala ma'nosiga zid (manfiy) ildizlarni chetlatib, savolga javob yozamiz.

Asosiy modellar

• Geometrik: Yuza $S = a \cdot b$, perimetr $P = 2(a + b)$, Pifagor teoremasi $a^2 + b^2 = c^2$.
• Harakat: $t = \dfrac{s}{v}$. Oqim bo'ylab $v + v_{\text{oq}}$, oqimga qarshi $v - v_{\text{oq}}$.
• Ish: Unumdorlik $\dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2} = \dfrac{1}{t_{\text{birga}}}$.

Yechilgan misollar

1-misol. Sonlarga oid masala

Ikkita ketma-ket juft natural sonning kvadratlari yig'indisi $100$ ga teng. Shu sonlarni toping.

• Sonlarni $x$ va $x + 2$ deb olamiz ($x > 0$ — juft son): $x^2 + (x + 2)^2 = 100 \implies 2x^2 + 4x - 96 = 0 \implies x^2 + 2x - 48 = 0.$
• Viyet teoremasiga ko'ra: $x_1 = 6, x_2 = -8$.
• Natural son bo'lgani uchun $x = 6$. Ikkinchi son: $6 + 2 = 8$.

Javob: $6$ va $8$.

2-misol. Geometrik masala

To'g'ri to'rtburchakning bir tomoni ikkinchisidan $7\text{ cm}$ uzun, diagonali $13\text{ cm}$. Yuzini toping.

• Tomonlari $x$ va $x + 7\text{ cm}$ ($x > 0$).
• Pifagor teoremasi: $x^2 + (x + 7)^2 = 13^2 \implies 2x^2 + 14x - 120 = 0 \implies x^2 + 7x - 60 = 0.$
• Ildizlar: $x_1 = 5, x_2 = -12$.
• $x > 0$ bo'lgani uchun eni $5\text{ cm}$, bo'yi $12\text{ cm}$.
• Yuzi: $S = 5 \cdot 12 = 60\text{ cm}^2$.

Javob: $60\text{ cm}^2$.

3-misol. Harakatga oid masala

Avtomobil $120\text{ km}$ yo'l bosdi. Tezligini $10\text{ km/h}$ ga oshirsa, $1\text{ soat}$ kam vaqt ketardi. Dastlabki tezlikni toping.

• Dastlabki tezlik $v\text{ km/h}$ ($v > 0$): $\frac{120}{v} - \frac{120}{v + 10} = 1 \implies \frac{1200}{v(v + 10)} = 1 \implies v^2 + 10v - 1200 = 0.$
• Ildizlar: $v_1 = 30, v_2 = -40$.
• Tezlik musbat bo'lgani uchun $v = 30\text{ km/h}$.

Javob: $30\text{ km/h}$.

4-misol. Birgalikda ishlash masalasi

Ikki usta birgalikda buyurtmani $4\text{ kunda}$ bajardi. Birinchi usta ikkinchisidan $6\text{ kun}$ tezroq tugatadi. Har bir usta alohida ishlasa, necha kunda bajaradi?

• Birinchi usta $t$ kunda ($t > 0$), ikkinchisi $t + 6$ kunda: $\frac{1}{t} + \frac{1}{t + 6} = \frac{1}{4} \implies 4(2t + 6) = t(t + 6) \implies t^2 - 2t - 24 = 0.$
• Ildizlar: $t_1 = 6, t_2 = -4$.
• Vaqt musbat: $t = 6$ kun, ikkinchi usta: $6 + 6 = 12$ kun.

Javob: 1-usta $6$ kunda, 2-usta $12$ kunda.

Mashq

1. Ikkita ketma-ket toq natural sonning ko'paytmasi $143$ ga teng. Shu sonlarni toping.
2. To'g'ri to'rtburchakning yuzi $48\text{ cm}^2$, bo'yi enidan $2\text{ cm}$ uzun. Uning perimetrini toping.
3. Avtomobil $180\text{ km}$ yo'l bosdi. Agar u tezligini $15\text{ km/h}$ ga oshirsa, shu yo'lga $1\text{ soat}$ kam vaqt sarflardi. Avtomobilning tezligini toping.
4. Ikki quvur birgalikda ishlab hovuzni $6\text{ soatda}$ to'ldiradi. Birinchi quvur ikkinchisiga qaraganda $5\text{ soat}$ tezroq to'ldiradi. Birinchi quvur yolg'iz o'zi hovuzni necha soatda to'ldiradi?
5. To'g'ri burchakli uchburchakning gipotenuzasi $10\text{ cm}$, katetlaridan biri ikkinchisidan $2\text{ cm}$ uzun. Uchburchakning yuzini toping.
6. Bir son ikkinchisidan $5$ taga kichik, ularning ko'paytmasi $84$. Shu natural sonlarni toping.
7. Qayiq daryo oqimi bo'ylab $36\text{ km}$ va oqimga qarshi $36\text{ km}$ suzib, jami $5\text{ soat}$ sarfladi. Oqim tezligi $3\text{ km/h}$ bo'lsa, qayiqning turg'un suvdagi tezligini toping.
8. Kvadratning tomoni $4\text{ cm}$ ga uzaytirilsa, uning yuzi $64\text{ cm}^2$ ga oshadi. Kvadratning dastlabki tomonini toping.
9. Ketma-ket ikkita natural sonning kvadratlari yig'indisi $85$ ga teng. Shu sonlarni toping.
10. Shaxmat turnirida har bir ishtirokchi qolgan barcha ishtirokchilar bilan bir martadan o'ynadi. Jami $28$ ta partiya o'ynalgan bo'lsa, turnirda nechta shaxmatchi qatnashgan?

Javoblar va yechim yo'llari

1. $x(x + 2) = 143 \implies x^2 + 2x - 143 = 0 \implies x = 11$ ($x > 0$). Sonlar: $11$ va $13$.
2. $x(x + 2) = 48 \implies x^2 + 2x - 48 = 0 \implies x = 6\text{ cm}$. Bo'yi: $8\text{ cm}$. $P = 2(6 + 8) = 28\text{ cm}$.
3. $\dfrac{180}{v} - \dfrac{180}{v + 15} = 1 \implies v^2 + 15v - 2700 = 0 \implies v = 45\text{ km/h}$ ($v > 0$).
4. $\dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{t + 5} = \dfrac{1}{6} \implies t^2 - 7t - 30 = 0 \implies t = 10\text{ soat}$ ($t > 0$).
5. $x^2 + (x + 2)^2 = 100 \implies x^2 + 2x - 48 = 0 \implies x = 6\text{ cm}$. Katetlar $6$ va $8\text{ cm}$. $S = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24\text{ cm}^2$.
6. $x(x - 5) = 84 \implies x^2 - 5x - 84 = 0 \implies x = 12$ ($x > 0$). Sonlar: $12$ va $7$.
7. $\dfrac{36}{v + 3} + \dfrac{36}{v - 3} = 5 \implies 5v^2 - 72v - 45 = 0 \implies v = 15\text{ km/h}$ ($v > 3$).
8. $(x + 4)^2 - x^2 = 64 \implies 8x + 16 = 64 \implies 8x = 48 \implies x = 6\text{ cm}$.
9. $x^2 + (x + 1)^2 = 85 \implies 2x^2 + 2x - 84 = 0 \implies x^2 + x - 42 = 0 \implies x = 6$. Sonlar: $6$ va $7$.
10. $\dfrac{n(n - 1)}{2} = 28 \implies n^2 - n - 56 = 0 \implies n = 8$ nafar ishtirokchi ($n > 0$).

Keng tarqalgan xatolar

1. Masala ma'nosiga zid manfiy ildizni ham javobga kiritish. ✗ To'rtburchak enini topishda $x_1 = 5, x_2 = -12$ deb ikkalasini ham javobga olish ✓ Geometrik o'lchamlar (uzunlik, yuza) musbat bo'ladi: faqat $x = 5\text{ cm}$ olinadi.

2. Tenglama ildizini topib, savolga javob bermay to'xtash. ✗ To'rtburchak perimetri so'ralganda faqat eni $x = 6$ ni yozib ketish ✓ Masala savolini diqqat bilan o'qing: agar perimetr so'ralsa, $P = 2(a + b)$ ni hisoblang.

3. Harakat masalalarida vaqtlar ayirmasini teskari tuzish. ✗ Katta vaqtdan kichik vaqtni ayirish o'rniga teskarisini yozish: $\dfrac{s}{v+10} - \dfrac{s}{v} = 1$ ✓ Katta tezlikda vaqt kamroq ketadi, shuning uchun sekinroq harakat vaqtidan tezroq harakat vaqti ayriladi: $\dfrac{s}{v} - \dfrac{s}{v+10} = 1$.

4. O'lchov birliklarini bir xil tizimga keltirmaslik. ✗ Tezlik km/h da berilgan bo'lsa, vaqtni 30 daqiqa deb tenglamaga to'g'ridan-to'g'ri $30$ sonini qo'yish ✓ Daqiqani albatta soatga aylantirish shart: $30\text{ daqiqa} = 0{,}5\text{ soat}$.

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzu bo'yicha tayyorlangan 5 ta test savoli platformada interaktiv tarzda ishlaydi: javob variantini tanlang va har bir masalaning qadamma-qadam yechimini ko'ring.

Keyingi qadam

Kvadrat tenglamalar va ular yordamida masalalar yechish bo'limini muvaffaqiyatli yakunladingiz! Ushbu bilimlar keyingi barcha mavzularda, xususan, tengsizliklar va funksiyalar grafiklarini o'rganishda eng asosiy tayanch bo'lib xizmat qiladi.