Viyet teoremasi

Bu nima va nega kerak

Kvadrat tenglamani yechishda diskriminant universal vositadir. Ammo ko'pincha tenglama ildizlarini qog'ozda uzun hisoblamay, 3 soniyada og'zaki topish mumkin.

Masalan, $x^2 - 5x + 6 = 0$ tenglamasini olaylik. Qaysi ikkita sonning ko'paytmasi $6$, yig'indisi esa $5$? Darhol $2$ va $3$ keladi. Haqiqatan ham, bu tenglamaning ildizlari $2$ va $3$ dir.

Bu qonuniyatni XVI asrda fransuz matematigi Fransua Viyet kashf etgan. Viyet teoremasi ildizlarni tez topish, ularni hisoblamasdan turib yig'indisi va ko'paytmasini aniqlash hamda ko'paytuvchilarga ajratish imkonini beradi.

Asosiy g'oya

1. Keltirilgan kvadrat tenglama ($a = 1$)

$x^2 + px + q = 0$ tenglama ildizlari $x_1$ va $x_2$ bo'lsa ($D \ge 0$):

$\begin{cases} x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \cdot x_2 = q \end{cases}$

Qoida: Ildizlar yig'indisi qarama-qarshi ishora bilan olingan ikkinchi koeffitsiyentga, ko'paytmasi esa ozod hadga teng.

2. Umumiy kvadrat tenglama ($a \neq 1$)

$ax^2 + bx + c = 0$ bo'lsa, har bir hadni $a$ ga bo'lamiz: $\begin{cases} x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} \\ x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a} \end{cases}$

3. Viyet teoremasiga teskari teorema

Agar $u + v = -p$ va $u \cdot v = q$ bo'lsa, $u$ va $v$ sonlari $x^2 + px + q = 0$ tenglamaning ildizlari bo'ladi. Ushbu qoida orqali:

• Ildizlarni og'zaki tanlash mumkin;
• Berilgan ildizlar bo'yicha tenglama tuziladi: $x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2 = 0$.

4. Kvadrat uchhadni ko'paytuvchilarga ajratish

Agar $x_1, x_2$ — ildizlar bo'lsa: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2).$

Yechilgan misollar

1-misol. Keltirilgan tenglamani og'zaki yechish

$x^2 - 8x + 15 = 0.$

• Viyet teoremasiga ko'ra: $\begin{cases} x_1 + x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 15 \end{cases}$
• Ko'paytmasi $15$ bo'lgan butun sonlar juftliklarini qaraymiz: $1$ va $15$, yoki $3$ va $5$.
• Qaysi juftlikning yig'indisi $8$ ga teng? Albatta, $3 + 5 = 8$.

Javob: $x_1 = 3,\; x_2 = 5$.

2-misol. Manfiy hadli tenglama

$x^2 + 3x - 10 = 0.$

• Viyet teoremasiga ko'ra: $\begin{cases} x_1 + x_2 = -3 \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \end{cases}$
• Ko'paytma manfiy ($-10$), demak ildizlarning ishoralari har xil (biri musbat, biri manfiy).
• Yig'indi $-3$ bo'lgani uchun modul bo'yicha katta son manfiy: $-5$ va $2$.
• Tekshiramiz: $(-5)\cdot 2 = -10$ va $(-5) + 2 = -3$ ✓.

Javob: $x_1 = -5,\; x_2 = 2$.

3-misol. Tenglamani yechmasdan simmetrik ifodalarni hisoblash

$3x^2 - 9x + 2 = 0$ tenglamaning ildizlarini topmasdan: a) $x_1 + x_2$ va $x_1 x_2$; b) $x_1^2 + x_2^2$; c) $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$ qiymatlarini toping.

• a) Viyet teoremasiga ko'ra ($a = 3, b = -9, c = 2$): $x_1 + x_2 = -\frac{-9}{3} = 3, \qquad x_1 x_2 = \frac{2}{3}.$
• b) Yig'indining kvadrati formulasidan foydalanamiz: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2 \implies x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2.$ Qiymatlarni qo'yamiz: $x_1^2 + x_2^2 = 3^2 - 2\cdot \frac{2}{3} = 9 - \frac{4}{3} = \frac{23}{3}.$
• c) Umumiy maxrajga keltiramiz: $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{3}{\frac{2}{3}} = 3\cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5.$

Javob: a) $3$ va $\dfrac{2}{3}$; b) $\dfrac{23}{3}$; c) $4{,}5$.

4-misol. Bitta ildiz orqali koeffitsiyent va ikkinchi ildizni topish

$x^2 + px - 24 = 0$ tenglamaning bitta ildizi $x_1 = 8$ ga teng. Ikkinchi ildiz $x_2$ va $p$ koeffitsiyentni toping.

• Viyet teoremasiga ko'ra $x_1 \cdot x_2 = -24$.
• $x_1 = 8$ ni qo'yamiz: $8\cdot x_2 = -24 \implies x_2 = -3$.
• Endi ildizlar yig'indisini topamiz: $x_1 + x_2 = 8 + (-3) = 5.$
• Teoremaga ko'ra $x_1 + x_2 = -p$, demak $-p = 5 \implies p = -5$.

Javob: $x_2 = -3,\; p = -5$.

5-misol. Kvadrat uchhadni ko'paytuvchilarga ajratish

$2x^2 + 7x - 4$ uchhadni ko'paytuvchilarga ajrating.

• Tenglamaning ildizlarini topamiz: $2x^2 + 7x - 4 = 0$. $D = 7^2 - 4\cdot 2\cdot (-4) = 49 + 32 = 81.$ $x_{1,2} = \frac{-7 \pm 9}{4} \implies x_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-16}{4} = -4.$
• Formulaga ko'ra $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$: $2x^2 + 7x - 4 = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x - (-4)) = (2x - 1)(x + 4).$

Javob: $(2x - 1)(x + 4)$.

Mashq

1. $x^2 - 6x + 8 = 0$ tenglamani Viyet teoremasi bilan og'zaki yeching.
2. $x^2 + 7x + 12 = 0$ tenglamaning ildizlarini toping.
3. $x^2 - 2x - 15 = 0$ tenglamaning ildizlarini toping.
4. $2x^2 - 10x + 3 = 0$ tenglamaning ildizlari yig'indisi va ko'paytmasini toping.
5. $x^2 - 5x - 6 = 0$ tenglama ildizlari uchun $x_1^2 + x_2^2$ ni hisoblang.
6. Ildizlari $x_1 = -4$ va $x_2 = 7$ bo'lgan keltirilgan kvadrat tenglama tuzing.
7. $x^2 - 11x + q = 0$ tenglamaning bir ildizi $x_1 = 3$. $q$ ni va ikkinchi ildizni toping.
8. $3x^2 - 10x + 3$ kvadrat uchhadni ko'paytuvchilarga ajrating.
9. $x^2 + 4x - 7 = 0$ tenglama ildizlari uchun $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$ ni toping.
10. $x^2 - 6x + 4 = 0$ tenglama berilgan. Ildizlari $2x_1$ va $2x_2$ bo'lgan yangi kvadrat tenglama tuzing.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $x_1 + x_2 = 6, x_1 x_2 = 8 \implies x_1 = 2,\; x_2 = 4$.
2. $x_1 + x_2 = -7, x_1 x_2 = 12 \implies x_1 = -3,\; x_2 = -4$.
3. $x_1 + x_2 = 2, x_1 x_2 = -15 \implies x_1 = 5,\; x_2 = -3$.
4. $x_1 + x_2 = -\dfrac{-10}{2} = 5$, $x_1 x_2 = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$.
5. $x_1 + x_2 = 5, x_1 x_2 = -6$. $x_1^2 + x_2^2 = 5^2 - 2(-6) = 25 + 12 = 37$.
6. $x_1 + x_2 = 3$, $x_1 x_2 = -28 \implies x^2 - 3x - 28 = 0$.
7. $x_1 + x_2 = 11 \implies 3 + x_2 = 11 \implies x_2 = 8$. $q = x_1 x_2 = 3\cdot 8 = 24$.
8. $3x^2 - 10x + 3 = 0$ ildizlari: $x_1 = 3, x_2 = \dfrac{1}{3}$. Ko'paytuvchilar: $3(x - 3)\left(x - \dfrac{1}{3}\right) = (x - 3)(3x - 1)$.
9. $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \dfrac{-4}{-7} = \dfrac{4}{7}$.
10. Yangi ildizlar: $y_1 + y_2 = 2(x_1 + x_2) = 2\cdot 6 = 12$, $y_1 y_2 = 4x_1 x_2 = 4\cdot 4 = 16$. Tenglama: $y^2 - 12y + 16 = 0$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Ildizlar yig'indisida ishorani unutish. ✗ $x^2 - 7x + 10 = 0$ da $x_1 + x_2 = -7$ deb olish ✓ $x_1 + x_2 = -p = -(-7) = 7$. Har doim ikkinchi koeffitsiyent qarama-qarshi ishora bilan olinadi!

2. Umumiy kvadrat tenglamada bosh koeffitsiyent $a$ ga bo'lishni unutish. ✗ $2x^2 - 6x + 1 = 0$ da $x_1 + x_2 = 6$ deb olish ✓ $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-6}{2} = 3$.

3. Ko'paytuvchilarga ajratishda $a$ koeffitsiyentni tushirib qoldirish. ✗ $2x^2 + 7x - 4 = (x - 0{,}5)(x + 4)$ ✓ Oldida $a = 2$ koeffitsiyent bo'lishi shart: $2(x - 0{,}5)(x + 4) = (2x - 1)(x + 4)$.

4. Diskriminant manfiy bo'lganda Viyet teoremasini qo'llash. ✗ $x^2 + 2x + 5 = 0$ tenglamaning haqiqiy ildizlari yig'indisi $-2$ deb da'vo qilish ✓ Bu tenglamada $D = 4 - 20 = -16 < 0$. Haqiqiy ildizlar umuman mavjud emas, shuning uchun haqiqiy ildizlar yig'indisi haqida gapirib bo'lmaydi.

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzu bo'yicha tayyorlangan 5 ta test savoli platformada interaktiv tarzda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang va qadamma-qadam yechimni ko'ring.

Keyingi qadam

Kvadrat tenglamaning o'zini mukammal o'rgandik. Ammo amaliyotda 4-darajali, qavsli yoki kasr-ratsional tenglamalar ham uchraydi. Keyingi darsda ularni yangi o'zgaruvchi kiritish orqali kvadrat tenglamaga keltirib yechish usullarini — Kvadrat tenglamaga keltiriladigan tenglamalar mavzusini o'rganamiz.