Sonli tengsizliklar

Bu nima va nega kerak

Hayotda miqdorlar har doim ham o'zaro teng bo'lavermaydi. Masalan, liftga ko'pi bilan $400\text{ kg}$ yuk ortish mumkin ($m \le 400$), avtomobil tezligi $60\text{ km/soat}$ dan oshmasligi kerak ($v \le 60$).

Matematikada bunday munosabatlar tengsizlik yordamida yoziladi. Tengsizliklar orqali ifodalarning chegaralari, eng katta yoki eng kichik qiymatlari baholanadi. Sonli tengsizliklar — chiziqli va kvadrat tengsizliklarni to'g'ri yechishning poydevoridir.

Asosiy g'oya va ta'riflar

Sonlarni taqqoslash ta'rifi

Ikkita $a$ va $b$ sonini taqqoslash uchun ularning ayirmasi qaraladi:

• Agar $a - b > 0$ bo'lsa, $a > b$ ($a$ soni $b$ dan katta).
• Agar $a - b < 0$ bo'lsa, $a < b$ ($a$ soni $b$ dan kichik).
• Agar $a - b = 0$ bo'lsa, $a = b$ ($a$ soni $b$ ga teng).

Sonlar o'qida kattaroq son har doim kichikroq sondan o'ngda joylashadi. Masalan, $4 > -3$, chunki $4 - (-3) = 7 > 0$.

Asosiy xossalar

1. Tranzitivlik: Agar $a > b$ va $b > c$ bo'lsa, $a > c$.
2. Qo'shish xossasi: Agar $a > b$ bo'lsa, ixtiyoriy $c$ uchun $a + c > b + c$ va $a - c > b - c$.
   • Hadni qarama-qarshi ishora bilan tengsizlikning ikkinchi tomoniga ko'chirish mumkin: $x - 3 > 5 \implies x > 8$.
3. Musbat songa ko'paytirish va bo'lish: Agar $a > b$ va $c > 0$ bo'lsa, $ac > bc$ hamda $\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}$.
4. Manfiy songa ko'paytirish va bo'lish: Agar $a > b$ va $c < 0$ bo'lsa, ishora teskarisiga o'zgaradi: $ac < bc \quad \text{va} \quad \frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ Nega? $5 > 2$, lekin ikkala tomonni $-1$ ga ko'paytirsak, $-5 < -2$ bo'ladi.
5. Hadma-had qo'shish: Agar $a > b$ va $c > d$ bo'lsa, $a + c > b + d$.
6. Hadma-had ko'paytirish: Agar $a > b > 0$ va $c > d > 0$ bo'lsa, $ac > bd$.
7. Teskari sonlar: Agar $a > b > 0$ bo'lsa, $\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}$.

Yechilgan misollar

1-misol. Ayirma usuli bilan taqqoslash

Ixtiyoriy $x$ da $A = (x - 3)(x + 7)$ va $B = (x + 2)^2$ ifodalarni taqqoslang.

• Ayirmani hisoblaymiz: $A - B = (x^2 + 4x - 21) - (x^2 + 4x + 4) = x^2 + 4x - 21 - x^2 - 4x - 4 = -25.$
• Natija $-25 < 0$ manfiy son bo'lgani sababli, har qanday $x$ da $A < B$ bo'ladi.

2-misol. Xossalardan foydalanish

Berilgan: $a > b$. Quyidagi tengsizliklarni tekshiring:

• a) $4a + 5 > 4b + 5$. $a > b \implies 4a > 4b \implies 4a + 5 > 4b + 5$. To'g'ri.
• b) $-3a < -3b$. Ikkala tomon manfiy $-3$ ga ko'paytirilgani uchun ishora almashadi. To'g'ri.
• c) $12 - a < 12 - b$. $-a < -b$, ikkala tomonga $12$ qo'shsak, $12 - a < 12 - b$. To'g'ri.

3-misol. Tengsizliklarni baholash

Agar $3 < x < 8$ va $2 < y < 5$ bo'lsa, quyidagi ifodalarni baholang:

• a) $x + y$: Bir xil ishorali tengsizliklarni qo'shamiz: $3 + 2 < x + y < 8 + 5 \implies 5 < x + y < 13.$
• b) $2x - 3y$: Tengsizliklarni hadma-had ayirib bo'lmaydi! Uni $2x + (-3y)$ deb qaraymiz: $6 < 2x < 16 \quad \text{va} \quad -15 < -3y < -6.$ Endi qo'shamiz: $6 + (-15) < 2x - 3y < 16 + (-6) \implies -9 < 2x - 3y < 10$.
• c) $xy$: Barcha hadlar musbat bo'lgani uchun hadma-had ko'paytiramiz: $3 \cdot 2 < xy < 8 \cdot 5 \implies 6 < xy < 40.$

4-misol. To'g'ri to'rtburchak perimetri va yuzini baholash

To'g'ri to'rtburchakning bo'yi $a$ va eni $b$ uchun $5 \le a \le 8$ va $3 \le b \le 4$ o'rinli. Uning perimetri $P$ va yuzi $S$ ni baholang.

• Perimetr: $P = 2(a + b)$. $5 + 3 \le a + b \le 8 + 4 \implies 8 \le a + b \le 12 \implies 16 \le P \le 24.$
• Yuza: $S = ab$. $5 \cdot 3 \le ab \le 8 \cdot 4 \implies 15 \le S \le 32.$

5-misol. Kasrli ifodani baholash

Agar $2 \le x \le 5$ bo'lsa, $\dfrac{20}{x}$ ifodaning qiymatlar sohasini toping.

• Musbat sonlar uchun $2 \le x \le 5 \implies \dfrac{1}{5} \le \dfrac{1}{x} \le \dfrac{1}{2}$.
• $20$ ga ko'paytiramiz: $20 \cdot \dfrac{1}{5} \le \dfrac{20}{x} \le 20 \cdot \dfrac{1}{2} \implies 4 \le \dfrac{20}{x} \le 10$.

Mashq

1. Agar $a - b = 6$ bo'lsa, $a$ va $b$ sonlarini taqqoslang.
2. Agar $m - n = -5$ bo'lsa, $m$ va $n$ sonlarini taqqoslang.
3. Agar $x > y$ bo'lsa, $3x$ va $3y$ ifodalarni taqqoslang.
4. Agar $a < b$ bo'lsa, $-5a$ va $-5b$ ifodalarni taqqoslang.
5. Agar $p > q$ bo'lsa, $p - 7$ va $q - 7$ ifodalarni taqqoslang.
6. Agar $4 < x < 9$ va $2 < y < 6$ bo'lsa, $x + y$ ifodaning qiymatini baholang.
7. Agar $3 < a < 7$ va $2 < b < 4$ bo'lsa, $ab$ ifodaning qiymatini baholang.
8. Agar $5 < x < 9$ va $1 < y < 3$ bo'lsa, $x - y$ ifodaning qiymatini baholang.
9. Agar $2 < m < 6$ bo'lsa, $3m + 4$ ifodaning qiymatini baholang.
10. Agar $x > 5$ bo'lsa, $\dfrac{15}{x}$ ifodaning qiymati qaysi sondan kichik bo'lishini ko'rsating ($x > 0$).

Javoblar va yechim yo'llari

1. $a - b = 6 > 0 \implies a > b$.
2. $m - n = -5 < 0 \implies m < n$.
3. Musbat $3$ ga ko'paytirilganda ishora saqlanadi: $3x > 3y$.
4. Manfiy $-5$ ga ko'paytirilganda ishora teskarisiga o'zgaradi: $-5a > -5b$.
5. Ikkala qismdan bir xil son ayirilganda ishora saqlanadi: $p - 7 > q - 7$.
6. Hadma-had qo'shamiz: $4 + 2 < x + y < 9 + 6 \implies 6 < x + y < 15$.
7. Hadma-had ko'paytiramiz: $3 \cdot 2 < ab < 7 \cdot 4 \implies 6 < ab < 28$.
8. $-3 < -y < -1$. Qo'shsak: $5 - 3 < x - y < 9 - 1 \implies 2 < x - y < 8$.
9. $3$ ga ko'paytirib $4$ qo'shamiz: $6 < 3m < 18 \implies 10 < 3m + 4 < 22$.
10. $x > 5 \implies \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{5}$. Demak, $\dfrac{15}{x} < \dfrac{15}{5} = 3$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Manfiy songa ko'paytirganda ishorani o'zgartirmaslik.

• ✗ $-2x > 6 \implies x > -3$
• ✓ $-2x > 6 \implies x < -3$

2. Tengsizliklarni hadma-had ayirib yuborish.

• ✗ $8 < a < 15$ va $2 < b < 4$ bo'lsa, $8 - 2 < a - b < 15 - 4 \implies 6 < a - b < 11$
• ✓ $a - b = a + (-b)$ qoidasidan foydalanish shart: $-4 < -b < -2 \implies 4 < a - b < 13$.

3. Manfiy sonlarni taqqoslashda adashish.

• ✗ $-7 > -2$
• ✓ Moduli katta manfiy son kichik bo'ladi: $-7 < -2$.

4. Chegaradagi sonni qat'iy tengsizlikka kiritish.

• ✗ $x > 4$ bo'lsa, eng kichik butun qiymat $4$.
• ✓ $x > 4$ da $4$ kirmaydi, eng kichik butun qiymat $5$.

DTM uslubidagi test

Quyidagi test savollari platformada interaktiv shaklda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang, tizim yechimini ko'rsatadi.

Keyingi qadam

Sonli tengsizliklarning asosiy xossalarini o'rgandik. Endi noma'lum qatnashgan tengsizliklarni, ya'ni chiziqli tengsizliklarni yechishga o'tamiz.