Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya

Bu nima va nega kerak

Cheksiz ko'p musbat sonlarni qo'shganda natija cheksiz katta bo'lib ketadimi yoki aniq bir songa teng bo'lishi mumkinmi?

Oddiy bir misolni ko'raylik: yuzi $1$ ga teng kvadratni teng ikkiga bo'lsak, bir qismi $\frac{1}{2}$ bo'ladi. Qolgan qismini yana ikkiga bo'lsak, $\frac{1}{4}$ bo'ladi. Bu jarayonni cheksiz davom ettirsak: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots = 1.$ Qanchalik ko'p bo'lak qo'shmaylik, ularning barchasi bitta kvadrat ichida joylashadi va yig'indi hech qachon $1$ dan oshmaydi. Qo'shiluvchilar soni cheksiz, ammo yig'indi chekli — roppa-rosa $1$ ga teng!

Bunday yig'indilar cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yordamida hisoblanadi. Shuningdek, u $0{,}(3) = 0{,}333\ldots$ kabi davriy o'nli kasrlarni oddiy kasrga aylantirishning eng qulay vositasidir.

Asosiy g'oya

1. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya ta'rifi

Ta'rif. Agar geometrik progressiyaning maxraji moduli $1$ dan kichik bo'lsa, ya'ni $|q| < 1 \quad (-1 < q < 1, \; q \neq 0)$ tengsizlik bajarilsa, bunday ketma-ketlik cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya deyiladi.

Hadlarning tartib raqami $n$ ortib borgan sari, $q^n$ nolga intiladi ($q^n \to 0$). Masalan, $q = \frac{1}{2}$ bo'lganda: $\left(\frac{1}{2}\right)^1 = 0{,}5; \quad \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 0{,}25; \quad \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 0{,}03125.$ Hadlar borgan sari nolga cheksiz yaqinlashadi.

2. Yig'indi formulasi

Geometrik progressiyaning dastlabki $n$ ta hadi yig'indisi formulasini eslaylik: $S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} = \frac{b_1}{1 - q} - \frac{b_1 q^n}{1 - q}.$

Agar $|q| < 1$ bo'lsa, hadlar soni $n$ cheksizlikka intilganda ($n \to \infty$) $q^n \to 0$ bo'ladi. U holda ikkinchi qo'shiluvchi nolga aylanadi: $\frac{b_1 q^n}{1 - q} \to 0.$

Demak, barcha hadlar yig'indisi chekli songa intiladi va quyidagi formula bilan hisoblanadi:

$S = \frac{b_1}{1 - q} \quad (|q| < 1).$

Bu formula faqat va faqat $|q| < 1$ bo'lgandagina ma'noga ega! Agar $|q| \ge 1$ bo'lsa, cheksiz hadlar yig'indisi chekli songa teng bo'lmaydi.

3. Davriy o'nli kasrlarni oddiy kasrga aylantirish

Har qanday davriy o'nli kasrni cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig'indisi sifatida ifodalash mumkin:

• Sof davriy kasrlar: Davr verguldan keyin darhol boshlanadi. $0{,}(a) = 0{,}aaa\ldots = \frac{a}{10} + \frac{a}{100} + \frac{a}{1000} + \ldots$ Bu yerda $b_1 = \frac{a}{10}, \; q = \frac{1}{10}$. Formulaga qo'ysak: $S = \frac{\frac{a}{10}}{1 - \frac{1}{10}} = \frac{\frac{a}{10}}{\frac{9}{10}} = \frac{a}{9}.$ Umumiy qoida: davrdagi son suratga, davrdagi raqamlar sonicha $9$ maxrajga yoziladi. Masalan: $0{,}(27) = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$.

• Aralash davriy kasrlar: Vergul bilan davr oralig'ida raqamlar bo'ladi. Masalan, $0{,}2(3)$ ni o'nli kasr va cheksiz progressiya yig'indisiga ajratamiz: $0{,}2(3) = 0{,}2 + 0{,}0(3) = \frac{2}{10} + \frac{3}{90} = \frac{18 + 3}{90} = \frac{21}{90} = \frac{7}{30}.$

Yechilgan misollar

1-misol. Cheksiz progressiya yig'indisini topish

$18, 6, 2, \dfrac{2}{3}, \ldots$ ketma-ketlik hadlari yig'indisini hisoblang.

Yechish:

1. Birinchi had va maxrajni topamiz: $b_1 = 18, \quad q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}.$
2. Maxrajning modulini tekshiramiz: $|q| = \frac{1}{3} < 1$, demak formula qo'llash mumkin.
3. Cheksiz yig'indi formulasiga qo'yamiz: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{18}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{18}{\frac{2}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27.$

Javob: $27$.

---

2-misol. Yig'indi va hadlar berilganda noma'lumlarni topish

Hadlari yig'indisi $S = 16$ ga, dastlabki ikki hadi yig'indisi $b_1 + b_2 = 12$ ga teng bo'lgan cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyani toping.

Yechish:

1. Yig'indi formulasidan $b_1$ ni topamiz: $S = \frac{b_1}{1 - q} = 16 \implies b_1 = 16(1 - q).$
2. Ikkinchi shartga qo'yamiz: $b_1 + b_2 = b_1(1 + q) = 16(1 - q)(1 + q) = 16(1 - q^2) = 12.$
3. $q$ ga nisbatan tenglamani yechamiz: $1 - q^2 = \frac{12}{16} = \frac{3}{4} \implies q^2 = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \implies q = \pm \frac{1}{2}.$
4. Har bir maxraj uchun birinchi hadni topamiz:
   • Agar $q = \frac{1}{2}$ bo'lsa: $b_1 = 16\left(1 - \frac{1}{2}\right) = 8$.
   • Agar $q = -\frac{1}{2}$ bo'lsa: $b_1 = 16\left(1 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right) = 24$.

Ikkala holda ham $|q| < 1$ sharti bajariladi.

Javob: $b_1 = 8, q = \frac{1}{2}$ yoki $b_1 = 24, q = -\frac{1}{2}$.

---

3-misol. Davriy kasrlarni oddiy kasrga aylantirish

Quyidagi davriy o'nli kasrlarni qisqarmas oddiy kasr ko'rinishida ifodalang: a) $0{,}(27)$;
b) $0{,}4(6)$.

Yechish: a) $0{,}(27)$ — sof davriy kasr. Davrda ikkita raqam bor: $0{,}(27) = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}.$ b) $0{,}4(6)$ — aralash davriy kasr. Uni butun va davriy qismga ajratamiz: $0{,}4(6) = 0{,}4 + 0{,}0(6) = \frac{4}{10} + \frac{6}{90} = \frac{2}{5} + \frac{1}{15} = \frac{6 + 1}{15} = \frac{7}{15}.$

Javob: a) $\dfrac{3}{11}$; b) $\dfrac{7}{15}$.

---

4-misol. Geometrik masala (ichma-ich kvadratlar)

Tomoni $8\text{ sm}$ bo'lgan kvadratning tomonlari o'rtalari tutashtirilib, yangi kvadrat yasaldi. Shu jarayon cheksiz davom ettirilsa, hosil bo'lgan barcha kvadratlar yuzlarining yig'indisini toping.

Yechish:

1. Birinchi kvadratning yuzi: $S_1 = 8^2 = 64\text{ sm}^2$.
2. Ikkinchi kvadratning tomoni Pifagor teoremasiga ko'ra: $a_2 = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{32}\text{ sm} \implies S_2 = (\sqrt{32})^2 = 32\text{ sm}^2.$
3. Kvadratlar yuzlari geometrik progressiya hosil qiladi: $b_1 = 64, \quad q = \frac{S_2}{S_1} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2}.$ $|q| = \frac{1}{2} < 1$ bo'lgani sababli: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{64}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{64}{\frac{1}{2}} = 128\text{ sm}^2.$

Javob: $128\text{ sm}^2$.

Mashq

Quyidagi masalalarni mustaqil yeching:

1. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyada $b_1 = 15, q = \dfrac{1}{4}$ bo'lsa, $S$ ni hisoblang.
2. $9 + 3 + 1 + \dfrac{1}{3} + \ldots$ cheksiz yig'indisini toping.
3. Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyada $S = 40$ va $b_1 = 24$ bo'lsa, maxraj $q$ ni toping.
4. $8 - 4 + 2 - 1 + \dfrac{1}{2} - \ldots$ cheksiz yig'indisini toping.
5. $0{,}(45)$ sof davriy o'nli kasrni qisqarmas oddiy kasrga aylantiring.
6. $0{,}1(6)$ aralash davriy o'nli kasrni oddiy kasr ko'rinishida yozing.
7. Cheksiz kamayuvchi progressiyada $S = 18$ va $q = \dfrac{1}{3}$ bo'lsa, uning ikkinchi hadi $b_2$ ni toping.
8. Tenglamani yeching: $x + \dfrac{x}{3} + \dfrac{x}{9} + \dfrac{x}{27} + \ldots = 15$.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $S = \dfrac{b_1}{1 - q} = \dfrac{15}{1 - \frac{1}{4}} = \dfrac{15}{\frac{3}{4}} = 15\cdot \dfrac{4}{3} = 20$.
   Javob: $20$.

2. $b_1 = 9, q = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$. $S = \dfrac{9}{1 - \frac{1}{3}} = \dfrac{9}{\frac{2}{3}} = \dfrac{27}{2} = 13{,}5$.
   Javob: $13{,}5$ (yoki $\dfrac{27}{2}$).

3. $40 = \dfrac{24}{1 - q} \implies 1 - q = \dfrac{24}{40} = \dfrac{3}{5} \implies q = 1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$.
   Javob: $\dfrac{2}{5}$ (yoki $0{,}4$).

4. $b_1 = 8, q = -\dfrac{4}{8} = -\dfrac{1}{2}$.
   $S = \dfrac{8}{1 - \left(-\frac{1}{2}\right)} = \dfrac{8}{\frac{3}{2}} = \dfrac{16}{3} = 5\dfrac{1}{3}$.
   Javob: $\dfrac{16}{3}$.

5. $0{,}(45) = \dfrac{45}{99} = \dfrac{5}{11}$.
   Javob: $\dfrac{5}{11}$.

6. $0{,}1(6) = \dfrac{1}{10} + \dfrac{6}{90} = \dfrac{9 + 6}{90} = \dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}$.
   Javob: $\dfrac{1}{6}$.

7. $b_1 = S(1 - q) = 18\left(1 - \dfrac{1}{3}\right) = 18\cdot \dfrac{2}{3} = 12$.
   $b_2 = b_1 q = 12\cdot \dfrac{1}{3} = 4$.
   Javob: $4$.

8. Chap tomon cheksiz progressiya: $b_1 = x, q = \dfrac{1}{3}$.
   $S = \dfrac{x}{1 - \frac{1}{3}} = \dfrac{3x}{2} = 15 \implies 3x = 30 \implies x = 10$.
   Javob: $10$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Formulani $|q| \ge 1$ bo'lganda ham qo'llash. ✗ $2 + 4 + 8 + \ldots = \dfrac{2}{1 - 2} = -2$. ✓ Musbat sonlar yig'indisi manfiy bo'lolmaydi. $q = 2 \ge 1$ da yig'indi cheksizdir; formula faqat $|q| < 1$ da o'rinli.

2. Maxraj manfiy bo'lganda ishorani adashtirish. ✗ $q = -\dfrac{1}{3}$ bo'lganda maxrajni $1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$ deb olish. ✓ Formulada $1 - q$: $1 - \left(-\dfrac{1}{3}\right) = 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}$.

3. Davriy kasr maxrajiga nollar yozish. ✗ $0{,}(7) = \dfrac{7}{10}$. ✓ Oddiy o'nli kasr $0{,}7 = \dfrac{7}{10}$, davriy kasr esa $0{,}(7) = \dfrac{7}{9}$ bo'ladi.

4. Cheksiz yig'indi bilan chekli yig'indi formulasini aralashtirish. ✗ Cheksiz yig'indida suratda $(1 - q^n)$ ni qoldirish. ✓ $n \to \infty$ da $q^n \to 0$ bo'lgani sababli, suratda faqat $b_1$ qoladi: $S = \dfrac{b_1}{1 - q}$.

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzu bo'yicha tayyorlangan 5 ta test savoli platformada interaktiv tarzda ishlaydi: o'z javobingizni tanlang va to'liq tushuntirishni ko'ring.

Keyingi qadam

Ketma-ketliklar va ularning yig'indilari bilan tanishib chiqdik. Keyingi bo'limda matematikadagi eng qiziqarli va hayotiy sohalardan biri — turli variantlarni hisoblash san'ati bo'lgan Kombinatorika va Ehtimollik nazariyasi olamiga qadam qo'yamiz. Birinchi mavzu: O'rin almashtirishlar.