Ehtimollik asoslari

Bu nima va nega kerak

Biz har kuni tasodifiy vaziyatlarga duch kelamiz: tanga tashlash, ob-havo o'zgarishi yoki lotereyada yutish imkoniyati. Bir qarashda bu hodisalar oldindan aytib bo'lmaydigandek tuyuladi, biroq ularning ortida qat'iy matematik qonuniyatlar mavjud.

Tasodifiy hodisalarning yuz berish imkoniyatini sonlar vositasida o'rganuvchi soha ehtimollar nazariyasi deb ataladi. U moliya, sug'urta, axborot xavfsizligi, tibbiyot va sun'iy intellektda xavf-xatarlarni baholashning asosiy vositasidir.

Ushbu darsda biz oldingi mavzularda o'rgangan kombinatorik bilimlarga tayanib, ehtimollikning klassik ta'rifi va hisoblash qoidalarini o'rganamiz.

Asosiy g'oya

1. Hodisalar tushunchasi

Sinov natijasida ro'y beradigan har qanday oqibat hodisa deyiladi:

• Muqarrar hodisa: Sinovda albatta yuz beradi ($P = 1$). Masalan, o'yin suyagi tashlanganda 7 dan kichik son tushishi.
• Mumkin bo'lmagan hodisa: Aslo yuz bera olmaydi ($P = 0$). Masalan, o'yin suyagida 8 ochko chiqishi.
• Tasodifiy hodisa: Yuz berishi ham, bermasligi ham mumkin bo'lgan hodisa ($0 \le P \le 1$). Masalan, tanga tashlanganda gerb tushishi.

2. Ehtimollikning klassik ta'rifi

Agar sinovning barcha elementar oqibatlari teng imkoniyatli bo'lsa, hodisaning ehtimolligi quyidagicha aniqlanadi:

$P(A) = \frac{m}{n}$

bu yerda:

• $n$ — barcha mumkin bo'lgan teng imkoniyatli natijalar soni;
• $m$ — $A$ hodisaga qulaylik yaratuvchi natijalar soni ($0 \le m \le n$).

Har qanday hodisa uchun: $0 \le P(A) \le 1$

3. Qarama-qarshi hodisa

$A$ hodisaning ro'y bermasligidan iborat hodisa $\overline{A}$ bilan belgilanadi:

$P(A) + P(\overline{A}) = 1 \implies P(A) = 1 - P(\overline{A})$

"Kamida bitta" shartli masalalarda qarama-qarshi hodisa orqali yechish ancha qulaydir.

4. Hodisalar ustida amallar

• Birgalikda bo'lmagan hodisalar yig'indisi: Agar $A$ va $B$ bir vaqtda yuz bera olmasa: $P(A + B) = P(A) + P(B)$
• Bog'liq bo'lmagan hodisalar ko'paytmasi: Agar $A$ va $B$ bir-biriga bog'liq bo'lmasa: $P(A \cdot B) = P(A) \cdot P(B)$

Yechilgan misollar

1-misol. Suyak va tanga

a) Standart o'yin suyagi tashlanganda tub son tushish ehtimolligini toping. b) Ikkita tanga tashlanganda kamida bitta gerb tushish ehtimolligini toping.

Yechish: a) Barcha natijalar: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, demak $n = 6$. Tub sonlar: $\{2, 3, 5\}$, demak $m = 3$. $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5.$

b) Natijalar: $\{GG, GR, RG, RR\}$, demak $n = 4$. Kamida bitta gerb: $GG, GR, RG$, demak $m = 3$. $P = \frac{3}{4} = 0{,}75.$

Javob: a) $0{,}5$; b) $0{,}75$.

2-misol. Ikkita o'yin suyagi

Ikkita o'yin suyagi birgalikda tashlanganda ochkolar yig'indisi: a) 8 ga teng bo'lish; b) kamida 10 bo'lish ehtimolligini toping.

Yechish: Barcha mumkin bo'lgan natijalar soni: $n = 6 \cdot 6 = 36$.

a) Yig'indisi 8 bo'ladigan juftliklar: $(2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2)$ — jami $m = 5$ ta. $P = \frac{5}{36}.$

b) Yig'indisi kamida 10 bo'ladigan juftliklar:

• 10: $(4;6), (5;5), (6;4)$ (3 ta);
• 11: $(5;6), (6;5)$ (2 ta);
• 12: $(6;6)$ (1 ta). Jami $m = 3 + 2 + 1 = 6$ ta. $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.$

Javob: a) $\dfrac{5}{36}$; b) $\dfrac{1}{6}$.

3-misol. Kombinatorik ehtimollik

Qutida 6 ta oq va 4 ta qora shar bor. Tavakkaliga 3 ta shar olindi. Ulardan 2 tasi oq va 1 tasi qora bo'lish ehtimolligini toping.

Yechish: Jami sharlar: $6 + 4 = 10$ ta.

1. Barcha usullar soni: $n = C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120.$
2. Qulay usullar soni: 2 ta oq va 1 ta qora shar tanlash: $m = C_6^2 \cdot C_4^1 = 15 \cdot 4 = 60.$
3. Ehtimollik: $P = \frac{m}{n} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2} = 0{,}5.$

Javob: $0{,}5$.

4-misol. Qarama-qarshi hodisa ("kamida bitta")

Nishonga 3 ta mustaqil o'q uzildi. Har bir o'qning nishonga tegish ehtimolligi $0{,}8$. Nishonga kamida bitta o'q tegish ehtimolligini toping.

Yechish: Qarama-qarshi hodisa $\overline{A}$ — "bitta ham o'q tegmadi".

• Har bir o'qning tegmaslik ehtimolligi: $q = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$.
• 3 ta o'qning ham tegmaslik ehtimolligi: $P(\overline{A}) = 0{,}2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}008.$
• Kamida bitta o'q tegish ehtimolligi: $P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0{,}008 = 0{,}992.$

Javob: $0{,}992$.

5-misol. Mustaqil hodisalar

Ikkita merganning nishonga urish ehtimolliklari mos ravishda $0{,}7$ va $0{,}8$. Ikkalasi bittadan o'q uzganda faqat bitta o'q tegish ehtimolligini toping.

Yechish: Faqat bitta o'q tegishi ikki holatda bo'ladi:

1. 1-mergan urdi, 2-si urmadi: $0{,}7 \cdot (1 - 0{,}8) = 0{,}7 \cdot 0{,}2 = 0{,}14$.
2. 1-mergan urmadi, 2-si urdi: $(1 - 0{,}7) \cdot 0{,}8 = 0{,}3 \cdot 0{,}8 = 0{,}24$. Jami: $P = 0{,}14 + 0{,}24 = 0{,}38.$

Javob: $0{,}38$.

Mashq

Quyidagi masalalarni yeching:

1. Qutida 7 ta qizil va 3 ta oq shar bor. Tavakkaliga olingan bitta shar qizil bo'lish ehtimolligini toping.
2. O'yin suyagi tashlanganda 4 dan katta son tushish ehtimolligini toping.
3. 1 dan 20 gacha natural sonlar orasidan tanlangan son 3 ga karrali bo'lish ehtimolini toping.
4. Ikkita o'yin suyagi tashlanganda ochkolar yig'indisi 7 bo'lish ehtimolligini toping.
5. Qutida 6 ta oq va 4 ta qora shar bor. Olingan 2 ta sharning ikkalasi ham qora bo'lish ehtimolini toping.
6. Qutida 6 ta oq va 4 ta qora shar bor. Olingan 2 ta sharning biri oq, biri qora bo'lish ehtimolini toping.
7. Merganning nishonga urish ehtimoli $0{,}7$. Ketma-ket 2 ta o'q uzganda, ikkalasi ham nishonga tegish ehtimolini toping.
8. Merganning nishonga urish ehtimoli $0{,}7$. Ketma-ket 2 ta o'q uzganda kamida bitta o'q tegish ehtimolini toping.
9. 10 ta detaldan 2 tasi yaroqsiz. Tavakkaliga olingan 2 ta detalning ikkalasi ham yaroqli bo'lish ehtimolini toping.
10. Tanga 3 marta tashlanganda rosa 2 marta gerb tushish ehtimolligini toping.

Javoblar va yechim yo'llari

1. $P = \dfrac{7}{10} = 0{,}7$. Javob: $0{,}7$.

2. Sonlar: 5, 6. $P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. Javob: $\dfrac{1}{3}$.

3. Sonlar: 3, 6, 9, 12, 15, 18 (6 ta). $P = \dfrac{6}{20} = 0{,}3$. Javob: $0{,}3$.

4. Juftliklar: $(1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1)$ (6 ta). $P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$. Javob: $\dfrac{1}{6}$.

5. $n = C_{10}^2 = 45$, $m = C_4^2 = 6$. $P = \dfrac{6}{45} = \dfrac{2}{15}$. Javob: $\dfrac{2}{15}$.

6. $n = 45$, $m = C_6^1 \cdot C_4^1 = 24$. $P = \dfrac{24}{45} = \dfrac{8}{15}$. Javob: $\dfrac{8}{15}$.

7. Mustaqil hodisalar: $P = 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}49$. Javob: $0{,}49$.

8. Qarama-qarshi: $0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09$. Kamida bittasi: $1 - 0{,}09 = 0{,}91$. Javob: $0{,}91$.

9. Yaroqlilar 8 ta: $n = C_{10}^2 = 45$, $m = C_8^2 = 28$. $P = \dfrac{28}{45}$. Javob: $\dfrac{28}{45}$.

10. Jami: $2^3 = 8$. Qulay: $GGR, GRG, RGG$ (3 ta). $P = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$. Javob: $\dfrac{3}{8}$.

Keng tarqalgan xatolar

1. Ehtimollik 1 dan katta yoki manfiy chiqishi mumkin deb o'ylash. ✗ Natijada $P = 1{,}25$ yoki $P = -0{,}2$ chiqsa, buni to'g'ri deb qabul qilish. ✓ Ehtimollik doim $0 \le P(A) \le 1$ oraliqda bo'ladi.

2. Teng imkoniyatli bo'lmagan natijalarni teng deb hisoblash. ✗ Ikki tanga tashlanganda {2 ta gerb, 1 ta gerb, 0 ta gerb} deb, 1 ta gerb ehtimolini $\frac{1}{3}$ deb olish. ✓ Teng imkoniyatli natijalar 4 ta: $\{GG, GR, RG, RR\}$. Demak, $P = \dfrac{2}{4} = 0{,}5$.

3. "Kamida bitta" shartida ehtimolliklarni noto'g'ri qo'shish. ✗ Har birining ehtimoli $0{,}5$ bo'lgan 2 ta mustaqil hodisa uchun kamida birini $0{,}5 + 0{,}5 = 1$ deb hisoblash. ✓ Qarama-qarshi hodisa orqali hisoblanadi: $1 - (1 - 0{,}5)^2 = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$.

4. Birgalikda bo'lmagan hodisalar ehtimolini ko'paytirib yuborish. ✗ Zarda 1 yoki 2 tushish ehtimolini $\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{36}$ deb topish. ✓ "Yoki" bog'lovchisida ehtimolliklar qo'shiladi: $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

DTM uslubidagi test

Ushbu mavzu bo'yicha tayyorlangan 5 ta test savoli platformada interaktiv tarzda ishlaydi: yuqoridagi test blokida o'z javobingizni belgilang va to'liq tushuntirish bilan tanishing.

Keyingi qadam

Kombinatorika va ehtimollik asoslarini muvaffaqiyatli o'zlashtirdingiz. Siz endi turli to'plamlarni tartiblash, guruhlash va tasodifiy tajribalarning imkoniyatlarini aniq hisoblashni bilasiz.

Keyingi sinflarda bu bilimlar yanada kengaytirilib, Bernulli formulasi, geometrik ehtimollik hamda matematik statistikaning chuqurlashtirilgan mavzulariga poydevor bo'ladi.